Что значит парадокс зенона
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и парадокс Зенона
Когда в общеобразовательных школах изучают свойства упорядоченных последовательностей чисел, то в обязательном порядке рассматривают так называемую убывающую бесконечную геометрическую прогрессию. Раскроем подробнее этот вопрос в статье.
Что такое геометрическая прогрессия?
Вам будет интересно: Future in the Past: правила речи, склонение, время, понятие, определения, особенности изучения и нюансы произношения
Исходя из определения этого вида прогрессии, можно n-й ее член найти, используя следующее выражение: an = a1*r(n-1), то есть достаточно знать знаменатель и первый член числового ряда.
Например, найдем 8-е число в геометрической прогрессии, приведенной выше. Имеем: a8 = a1*r7 = 1*47 = 16384.
Еще одной важной формулой для геометрической прогрессии является выражение для нахождения суммы ее n первых членов. Эта формула имеет вид: Sn = a1*(rn-1)/(r-1). Применим ее для нахождения суммы 8-ми чисел из последовательности выше. Получаем: S8 = 1*(48-1)/(4-1) = 21845.
Какие бывают геометрические прогрессии
В зависимости от знака и модуля знаменателя r выделяют 4 вида геометрической прогрессии:
Черепаха и Ахиллес (парадокс Зенона)
Где можно использовать результат, полученный в пункте выше? Например, при объяснении парадокса древнегреческого философа Зенона. Суть этого парадокса заключается в том, что Ахиллес (с древнегреческого языка это имя переводится, как «тот, кто обладает «легкими» ногами»), будучи самым быстрым воином, не может догнать черепаху.
Зенон рассуждал следующим образом: если черепаха будет впереди Ахиллеса, и они одновременно начнут движение, то когда воин достигнет места, откуда взяла старт черепаха, последняя уже отползет на некоторое расстояние, поэтому Ахиллесу придется снова его преодолевать (хотя оно и меньше, чем первоначальное). Пробежав новый отрезок пути, воин все равно окажется позади черепахи, ведь она опять проползет некоторую дистанцию. Так способом можно рассуждать до бесконечности.
Каждый из нас знает, что не только Ахиллес, но и любой человек, двигаясь пешком, обгонит черепаху. В чем же ошибся философ? Он не учел, что хотя сумма отрезков является бесконечной, она приводит к конечному числу S∞. Как только Ахиллес преодолеет расстояние S∞, он сразу же обгонит черепаху.
Любопытно отметить, что сам философ объяснял тот факт, что Ахиллес на практике все же обгоняет черепаху, тем, что движение и время являются иллюзией, и в реальности не существуют.
Парадокс Зенона
Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.
 |
Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.
Апория, известная под названием Ахилл, еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.
Вот еще одна апория, словами Зенона:
Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).
Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.
Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.
Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.
Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени. Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.
Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.
Но мое любимое опровержение парадокса Зенона связано не с дифференциальным исчислением Ньютона, а с цитатой из скетча «Второго города», комедийного театра в моем родном Чикаго. В этом скетче лектор описывает различные философские проблемы. Дойдя до парадокса об Ахилле и черепахе, он произносит следующее:
Решение парадоксов Зенона
Решение парадоксов Зенона.
На протяжении многих лет предпринимались попытки решения парадоксов Зенона. Однако ни одна из них не увенчалась успехом. В этой работе предлагается рассмотреть парадоксы Зенона не как парадоксы, а как принципы движения, невыполнение которых ведет к возникновению парадоксов. В более правильной трактовке парадоксы Зенона рассматривались как аргументы против движения. В этих аргументах, как будет показано ниже, скрываются принципы движения.
I. Движение и делимость пространства.
«Творение не только не продолжалось шесть дней, но даже не начиналось во времени, ибо само время есть лишь качество вещей, явилось вместе с вещами и есть длительный образ Вечности». Филон
Рассмотрим само понятие «движение». Движение само по себе, как таковое, есть фикция, non sens. Движение есть форма какого либо процесса. Есть движение тела, изменение какого либо параметра некоторого процесса. Можно в общем случае определить движение как изменение величины какого-либо определенного параметра в наблюдаемом процессе. Чтобы определить изменение какой-либо величины необходимо сравнить ее с предыдущей величиной того же параметра. Чтобы сравнить соседние величины необходимо их предварительно измерить. Что представляет собой процесс измерения какой либо изменяющейся величины (движущееся тело)? Сам процесс движения это непрерывный процесс, нам же необходимо снять показание в определенной точке. Для этого мы расчленяем этот непрерывный процесс на как бы неподвижные кадры (процесс киносъемки), где на этот определенный кадр налагаем систему измерения. Для однозначности измерения и возможности сравнения результатов последующие расчленения и системы измерения должны быть тождественны. В системе измерения должны не изменяться единица измерения и точка отсчета.
Важен так же такой параметр измерения как частота измерения. Если частота измерения будет высокой, то изменение параметра будет в пределах единицы измерения (единица измерения в метрах, а изменение в сантиметрах) и сравнение соседних результатов покажет, что движение нет. Если частота измерения будет низкой, то измеряемая величина выйдет за пределы изменения системы измерения (предел изменения системы измерения в метрах, а изменение произошло в километрах).
Итак, процесс выявления движения делится на два этапа:
1. Это измерение двух соседних величин наблюдаемого параметра.
2. Сравнение полученной величины измеряемого параметра с величиной предыдущей того же самого параметра.
Если разница между этими величинами отлична от нуля — движение есть. Для возможности сравнения и однозначности результатов необходим эталон измерения, единица измерения, одна и та же система измерения. Изменение в пределах погрешности единицы измерения приводит к неоднозначности результатов измерения. Если измерительный прибор показывает расстояние в метрах, то изменение в сантиметрах он не покажет и по его показаниям движения не было. Следовательно для уменьшения неоднозначности результатов измерения и увеличения ее точности необходимо уменьшать размер единицы измерения. Однако возникает вопрос о пределе этого уменьшения, т. е. возникает вопрос о делимости пространства. Единицу измерения можно уменьшать до реально сознаваемого устойчивого тела. Относительный мир, где мы существуем, это мир тел. Само тело можно определить как целостный замкнутый вихрь. Феномены не имеющие замкнутый, устойчивый характер телом называться не могут. В результате развития техники наблюдения и измерения казалось бы теоретически можно расчленять пространство до бесконечности. Однако границы относительного мира (с низшей стороны), а следовательно и минимальные размеры тела (частицы) ограничены предельной скоростью движения в среде (скорость света). Это связано, как указано выше, с тем, что простейшая устойчивая система представляет собой замкнутый вихрь и сам вихрь не может двигаться выше определенной скорости. При дальнейшем уменьшении размера исчезает тело, исчезает единица измерения, исчезает возможность самого измерения, а следовательно и возможность однозначного определения движения.
Таким образом делимость пространства не бесконечна, а ограничивается формой реально сознаваемого тела, размеры которого мы можем еще воспринять. Пространство, само по себе, непрерывно, но для его измерения мы должны использовать дискретные величины.
«Действительность непрерывна и постоянна, но мы для того, чтобы иметь возможность воспринимать ее, должны расчленять ее на отдельные моменты, т. е. представлять ее себе в виде бесконечного ряда отдельных моментов, из которых для нас всегда существует только один …»
II. Аргументы Зенона.
Трактовка аргументов Зенона в различных источниках немного отличается своей формулировкой. В данной работе мы воспользуемся трактовкой аргументов Зенона изложенной в работе А. Койре «Очерки истории философской мысли» (статья «Заметки о парадоксах Зенона» Москва «Прогресс» 1985 год).
Дихотомия. Движение невозможно. Ибо до того, как движущееся тело достигнет конечной точки своего пути, оно должно преодолеть половину расстояния своего пути, и так далее до бесконечности.
Движение относительное — это движение некоторого тела до некоторой конкретной цели, точки, или же наоборот, движение тела от некоторой точки. Как в том, так и в другом случае есть конкретный измеряемый параметр движения — это расстояние от тела до данной точки или от данной точки до тела. Если это расстояние изменяется во времени, то движение есть, если не изменяется, то движения нет.
В аргументе «Дихотомия» измеряемый параметр постоянно меняется, измерение проводится каждый раз по отношении к другой конечной точки, обе точки не зафиксированы. Это не дает возможности для сравнения соседних результатов измеряемого параметра в виду постоянного изменения такового. Соседние измерения проводятся в различных системах измерения. Таким образом однозначно определить наличие движения не представляется возможным.
Постоянное изменение начальной и конечной точки измерения, постоянное изменение измеряемого параметра (расстояния до цели) можно определить как отсутствие конкретного, относительного движения, как рассмотрение движения самого по себе, т. е. как абсолютного.
В результате мы можем вывести первый принцип движения: Движение относительно, движения абсолютного, движения самого по себе не существует.
Таким образом, в данном аргументе выявлен принцип относительности движения.
Ахиллес и черепаха. Движение невозможно. Ибо самый быстрый бегун никогда не сможет догнать самого медленного. Действительно, если второй из них в начале движения находится на некотором расстоянии от первого, то первый, чтобы догнать его, должен сначала достичь точки, в которой более медленный, находился в начале движения. Расстояние между ними, разумеется, будет убывать. Но оно никогда не исчерпается полностью.
В этом аргументе появляется относительность движения (постоянно измеряемый параметр) — расстояние от Ахиллеса до черепахи. Однако, чтобы сохранить эту относительность, оставить измеряемый параметр неизменным, мы должны использовать одно из тел как постоянную начальную точку измерения. В описываемом случае мы меняем измеряемый параметр во время каждого измерения (расстояние до точки, где была черепаха в начале движения при каждом измерении), т. е. нарушено требование о неизменяемости точки отсчета.
Таким образом мы можем описать следующий принцип: Для однозначности и сопоставимости результатов измерения (возможности сравнения соседних результатов) должен измеряться один и тот же параметр (расстояние от Ахиллеса до черепахи), для чего одно из тел (неважно какое) должно быть зафиксировано как начальная точка отсчета.
Стрела. Летящая стрела в каждое мгновение и в каждой точке траектории своего полета неподвижна.
Данный аргумент описывает принцип соизмеримости измерительной системы и наблюдаемого параметра. Величина наблюдаемого параметра должна быть соизмерима с параметрами измерительной системы. Как указано выше, частота измерения величины этого параметра должна быть в таких пределах, чтобы измерительная система могла фиксировать изменения величины наблюдаемого параметра. Если частота измерения будет высокой, то изменение параметра будет в пределах единицы измерения (единица измерения в метрах, а изменение в сантиметрах) и сравнение соседних результатов покажет, что движение нет. Если частота измерения будет низкой, то измеряемая величина выйдет за пределы изменения системы измерения (предел изменения системы измерения в метрах, а изменение произошло в километрах).
Принцип: Параметры измерения системы должны соответствовать параметрам измеряемой величины.
Для однозначного выявления движения необходимо чтобы разница между двумя соседними величинами одного и того же параметра, сделанными в тождественных системах измерения была не равна нулю.
В данном аргументе рассматривается вопрос о невозможности сравнения результатов измерения, полученных в разных системах измерения. Здесь сравниваются разности величин (для определения наличия движения) двух различных параметров: расстояние пройденное за единицу времени от первого отрезка до второго и расстояние от первого отрезка до третьего. Для наглядности можно ввести и четвертый отрезок, который будет двигаться параллельно первому с той же скоростью и в том же направлении. Тогда отрезок первый по отношению к отрезку четвертому будет вообще неподвижен, т. е. отрезок первый будет одновременно находится в двух состояниях — двигаться и покоится. Тело не может одновременно находится в двух состояниях — подвижном и неподвижном. Данная ситуация и приводит к парадоксу «Стадий».
При рассмотрении движения более двух тел приходится сравнивать одновременно несколько результатов измерений, полученных из разных систем измерения, что и приводит к неоднозначности сравнения.
Исследуемый параметр должен быть один.
Движение относительно и в данном случае возможно исследование движения одного тела по одному параметру. Сравнение результатов измерения сразу по нескольким параметрам приводит к неоднозначности результатов и невозможности их сравнения и переходит из области относительного в область абсолютного, (где движение отсутствует).
Принцип: При изучении процесса движения тела возможна только одна система измерения, возможно исследование процесса только одного параметра движения тела, рассмотрение движения более двух тел приводит к неоднозначности результатов и невозможности определения самого движения.
Аргументы Зенона описывают вполне определенные условия при которых движение, как таковое, невозможно определить. Несоблюдение этих условий приводит к неоднозначности и невозможности определения процесса движения. Некоторые их этих принципов были уже освещены А. Энштейном в теории относительности.
Литература: А. Койре «Очерки истории философской мысли» (статья «Заметки о парадоксах Зенона» Москва «Прогресс» 1985 год).
Парадоксы Секст Эмпирика и апории Зенона
Древнегреческий философ второго века христианской эры Сэкст Эмпирик, в третьей книге своих «Пирроновых предложений», обращает внимание на любопытный, связанный с понятием «времени» парадокс. Если время, пишет он, состоит из прошлого, настоящего и будущего, то оно не существует. Ведь прошлого уже не существует, будущего еще не существует, а настоящее представляет собой не имеющую длительности точку. И поскольку протяженность точки равна нулю, то есть она не занимает места ни в пространстве, ни во времени, настоящее тоже как бы не существует. Таким образом, получается, что время состоит из несуществующих частей, а состоящее из несуществующего существовать не может.
Следует сказать, что этот удивительный парадокс не дает покоя любителям головоломок и интеллектуальных шарад и по сей день. С одной стороны, как мы имели возможность убедиться, логика подобных рассуждений кажется безупречной и опровергнуть ее логическим же путем, похоже, нет никакой возможности. Однако с другой – как можно согласиться с тем, что явно противоречит здравому рассудку? Ведь время является самой очевидной вещью на свете. Каждое мгновение мы можем убедиться в его существовании, просто посмотрев на часы. Во времени происходит смена дня и ночи, времен года, лет. Время превращает цветущего юношу в дряхлого старца. Почему же то, что видят наши глаза и слышат наши уши, находится в столь явном противоречии с нашими умозаключениями?
Среди попыток найти объяснение данному парадоксу, чаще всего встречается точка зрения, согласно которой уже в самом условии задачи содержится ошибка. Считается, что если то же самое условие переписать несколько иначе, то проблема разрешится как бы сама собой. Например, поскольку факт восприятия человеком мира во всех его звуках, красках и запахах происходит, как известно, в настоящем, ничто не мешает нам сказать, что время состоит не из прошлого, настоящего и будущего, как у Секста, а из череды «настоящих» моментов «теперь». Тогда о времени нельзя уже будет сказать, что оно не существует, поскольку время, в этом случае, тут же превращается в длительность, а задача разрешения противоречия сводится к определению некоего момента, в течение которого происходит первичный акт восприятия.
Тем не менее, как выясняется, такая уловка не только не облегчает задачу, но напротив, заводит ее решение в еще более глубокий тупик. Дело в том, что определить момент времени, в течение которого происходит первичный акт восприятия, оказывается так же не просто, как и опровергнуть сделанный Секстом Эмпириком вывод. В самом деле, если время состоит из череды «настоящих» моментов «теперь», которые являются его изначальными составляющими, его, так сказать, неделимыми кирпичиками, то что же тогда представляет собой это самое «настоящее»? Ведь если принять, что первичным элементом времени является не имеющее длительности мгновение (точка), то, сколько бы мы не складывали таких мгновений, длительности из их сложения все равно не получится: сложение нулей может дать в результате только ноль. Значит, нам ничего не остается, как только предположить, что первичным элементом времени является некая бесконечно малая длительность.
Но, во-первых, выделить бесконечно малую длительность, как первичный, неделимый элемент вряд ли возможно. Ведь как ни мала была бы эта длительность, она все же остается длительностью по определению, и, следовательно, может быть разделена на еще более мелкие отрезки. И во-вторых, если предположить, что «настоящее» все же имеет длительность, то это означало бы, ни много, ни мало, что оно может быть разбито. на «прошлое», «настоящее» и «будущее». Но что же это за «настоящее», если оно включает в себя также «прошлое» и «будущее»? Это уже не «настоящее» времени, а само «время» и мы, таким образом, просто возвращаемся к началу задачи. Вот и выходит, что точка не может являться первичным элементом времени, поскольку сложение нулей не даст в результате ничего, кроме того же нуля, а длительность не может быть элементом времени, потому что бесконечно делима.
Тем не менее, проблема решается. Мне ее решение подсказал любопытный диалог между юным Адсоном и его многомудрым учителем Вильгельмом Баскервильским в романе Умберто Эко «Имя розы»: «Да как же это вышло, – спрашивал Адсон, – что вы разгадали тайну библиотеки, находясь снаружи? Тогда как изнутри ничего разгадать не удалось?» «Так, – ответил Вильгельм, – и Господу известно все в этом мире, ибо все зачато в его помышлении, то есть извне, еще до акта творения. А нам законы мира невнятны, ибо мы обитаем внутри него и нашли его уже сотворенным».
То есть решение проблемы заключается в том, чтобы взглянуть на мир «извне». Встать на точку зрения бога и увидеть вселенную с внешней стороны. Тогда мы поймем, что нет прошедшего, настоящего и будущего, а есть некая целостность, в которой все мгновения жизни пребывают в единовременности. Это как река: если нас уносит ее течением, мы видим берег относительно себя движущимся. Если же мы поднимаемся на высоту птичьего полета, она предстает перед нами со своим берегом в единстве.
Примечательно, что подобные парадоксы возникают всегда, когда мы пытаемся составить представление о целом исходя из его составных частей. На этом, я думаю, основаны и знаменитые апории (неразрешимые противоречия), составленные древнегреческим философом Зеноном Элейским в IV веке до нашей эры и до сих пор не получившие внятного объяснения. Если верить Диогену Лаэртскому, первоначально таких апорий было сорок пять, и они охватывали все стороны жизни. До нашего времени дошли девять. Но мы рассмотрим только две из них, так как именно в этих апориях продемонстрирован тот же тупик, который уже был рассмотрен нами в случае с делением времени на мгновения «теперь».
Так, в апории «Ахиллес» все умозаключения строятся на основе представления о дробности целого на бесконечное множество отрезков. Утверждается, что существуют ситуации, при которых Ахиллес, который способен бежать в десять раз быстрее черепахи, тем не менее, не сможет ее догнать. Ахиллес дает черепахе десять метров фору, но пока он пробегает эти десять метров, черепаха успевает преодолеть один метр. Ахиллес пробегает метр, черепаха проходит дециметр. Ахиллес пробегает дециметр, черепаха продвигается на один сантиметр. Ахиллес пробегает этот сантиметр, черепаха переползает на миллиметр. Ахиллес пробегает миллиметр, черепаха – десятую долю миллиметра и так до бесконечности. В результате получается, что догнать черепаху Ахиллес не может.
Не трудно заметить что вывод этот входит в противоречие с очевидным. Однако если исходить из представления о дробности отрезка, с ним придется согласиться. В самом деле, поскольку, по условиям задачи, здесь нет единой для Ахиллеса и черепахи дистанции, а есть множество дистанций, на каждой из которых состязание как бы начинается заново, Ахиллес может успеть добежать только до того места, с которого черепаха уже начала свое движение. А поскольку отрезок, который преодолевает черепаха, каждый раз становится меньше, движение, в целом, стремится к нулю. Из этого, в соответствии с доктриной философов-элеатов, должен был следовать вывод, что если отрезок разделить на бесконечное множество частей, преодолеть его будет невозможно. А поскольку бесконечно делимым может быть любой отрезок, то невозможность его преодоления говорит о невозможности движения в принципе.
Совершенно иначе выглядит та же ситуация, если рассматривать дистанцию как целое. Тогда Ахиллесу легко будет догнать черепаху, поскольку времени для преодоления одной и той же дистанции ему потребуется значительно меньше, чем ей.
Аналогичный вывод следует и из апории «Стрела». С той лишь разницей, что здесь целое (время) представлено состоящим не из бесконечного множества отрезков, как в рассмотренной нами апории «Ахиллес», а из бесконечного множества неделимых точек (мгновений «теперь»). В изложении Аристотеля эта апория звучит следующим образом: «Если всякое тело покоится там, где оно движется, всякий раз, как занимает равное себе пространство, а движущееся тело всегда занимает равное себе пространство в каждый момент «теперь», то летящая стрела неподвижна».
И действительно, если принять, что время полета стрелы разделено на множество моментов «теперь», то тогда, как разъяснял еще Филопон, в каждый из этих моментов она должна занимать равное себе пространство и, следовательно, не двигаться, поскольку «двигаться в равном себе пространстве невозможно». Однако если принять за основу, что моментов «теперь» не существует, а существует целостное время полета, и стрела занимает не равное себе пространство, а пространство равное величине всего ее полета, то окажется, что стрела находится в состоянии движения. Она как бы пребывает во всем пространстве полета одновременно.
Таким образом, если исходить из приведенных нами примеров, первичной реальностью обладает все-таки целое. Поэтому целое не является результатом сложения отдельных, входящих в него частей. Напротив, чтобы понять смысл и назначение любой части, нужно знать, какое место она занимает в целом. Как можно понять назначение, скажем, печени или легких, не зная, какое место они занимают в организме? Мы же, будучи составной частью вселенной, можем наблюдать ее только изнутри. Все процессы, которые в ней происходят, мы воспринимаем только относительно себя самих, и не знаем, как они протекают относительно целого. Вот почему, в то время как мир представляет собой единство, мы видим его в раздельности. Нам кажется, будто раздельность – одно из свойств мира, а она существует только в нашем сознании. Мы думаем, будто релятивизм теории относительности – фундаментальное свойство мира, а он лишь результат нашего способа его восприятия.