Что значит ооф в алгебре

Область определения функции

Каждая функция имеет свою собственную область определения. Целью этого материала является объяснение этого понятия и описание способов ее вычисления. Сначала мы введем основное определение, а потом на конкретных примерах покажем, как выглядит область определения основных элементарных функций (степенной, постоянной и др.) Разбирать случаи с более сложными функциями мы пока не будем.

В рамках данной статьи мы рассмотрим область определения функций, включающих в себя только одну переменную.

Понятие и обозначение области определения функции

Самое простое определение этого понятия дается в учебниках тогда, когда впервые вводится понятие функции как таковой. На этом этапе термином «область определения» обозначают множество всех возможных значений аргумента.

По мере углубления знаний о функциях определение сужается и усложняется. Так, в одном из учебников можно встретить следующую формулировку:

Используя это определение, охарактеризуем нужное нам понятие более четко:

Областью определения функции называется множество значений аргумента, на котором можно задать эту функцию.

Как найти области определения для основных элементарных функций

Прочитав определения выше, легко понять, что понятие области определения очень важно для любой функции. Это ее неотъемлемая часть, которую задают вместе с самой функцией. То есть когда мы вводим какую-либо функцию, то мы сразу указываем и область ее определения. Обычно в рамках школьного курса основные функции изучаются последовательно: сначала прямые пропорциональности, затем линейные функции, потом y = x 2 и т.д., а их области определения указываются в качестве основных свойств.

В этом пункте мы расскажем, какие области определения имеют основные элементарные функции.

Область определения постоянной функции

Область определения функции с корнем

Область определения таких функций будет зависеть от того, является ли показатель четным или нечетным числом.

Область определения степенной функции

Перечислим возможные варианты.

Поясним нашу мысль несколькими примерами.

Область определения показательной функции

Область определения логарифмической функции

Область определения тригонометрических функций

Чтобы узнать, на каком промежутке будут определены тригонометрические функции, нужно вспомнить, как именно они задаются и как называются.

Область определения тригонометрических функций

К обратным тригонометрическим относятся функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Области определения основных функций в табличном виде

Чтобы запомнить или легко найти нужные нам области, правила вычисления которых мы объяснили выше, представим всю информацию в табличном виде. Не лишним будет оформить ее на отдельном листе и держать под рукой, так же, как и таблицу простых чисел, квадратов и др. Она очень пригодится при работе с функциями, пока вы не выучите ее содержимое наизусть.

y = sin x y = cos x y = t g x y = c t g x

y = a r c sin x y = a r c cos x y = a r c t g x y = a r c c t g x

Подводя итоги статьи, следует отметить, что в рамках школьного курса изучаются не только основные элементарные функции, но и их различные сочетания. Задачи такого типа встречаются очень часто. Области определения таких комбинированных функций указываются далеко не всегда. Авторы задач подразумевают, что в таких случаях областью определения функции можно считать множество таких значений аргумента, при которых она будет иметь смысл. Это позволяет нам приблизиться к ответу на вопрос, как именно вычисляется область определения функции в подобных случаях.

Источник

Как найти область определения функции?

Что значит найти область определения

После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y = f ( x ) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Ограничение области определения

Правила нахождения области определения

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.

Найти область определения функции вида y = x 7 + x + 5 + t g x .

Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:

Ответ: область определения y = 3 · a r c t g x · ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f 1 и f 2 _.

Для нахождения области определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x получим, что

Область определения сложной функции

Видно, что область определения сложной функции вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) находится на пересечении двух множеств таких, где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . В стандартном обозначении это примет вид

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 )

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Тогда получим систему неравенств вида

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Преобразуем систему вида

Заданная функция может быть расписана, как y = f 1 ( f 2 ( f 3 ( x ) ) ) , где имеем f 1 – функция синуса, f 2 – функция с корнем 4 степени, f 3 – логарифмическая функция.

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0

Область определения логарифма с переменной в основании

x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1

А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 log a f 2 ( x ) ≠ 0 = x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1

Область определения показательно-степенной функции

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф

Сумма, разность, произведение функций

Расположим функции и их области определения.

Прямая пропорциональность y = k · x

Обратная пропорциональность y = k x

Дробная y = f 1 ( x ) f 2 ( x )

y = log f 2 ( x ) f 1 ( x )

В частности, y = log a f 1 ( x )

В частности, y = log f 2 ( x ) a

Источник

Область определения функции

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола a(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

Рассмотрим несколько примеров.

Область определения показательной функции

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции

Источник

Область определения функции. Примеры.

Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными. Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)

В элементарном понятии функции фигурируют две величины. Независимая переменная (аргумент) x и зависимая переменная (функция) y.

Все допустимые (разрешённые) значения аргумента x и есть область определения функции. И всё.

Достаточно разобраться в этой нехитрой фразе, как всё сразу становится на свои места.

Что такое «допустимые значения»? Говоря по-простому, это те значения икса, для которых можно посчитать игрек. В принципе. Например, дана функция:

Разумеется, функция может быть такой замороченной, что и не посчитаешь ничего, да. Это не страшно. Нам ведь не считать надо, а область определения найти). Чуть ниже мы научимся легко и элегантно расправляться с любыми функциями. Даже самыми злыми.)

Слова «можно посчитать в принципе«, «принципиальные запреты» я не зря употребил. Вот вам другой простенький пример. Дана функция:

Область определения любой функции устанавливают:

1. Математика. Это законы и правила, которые всегда должны выполняться. Эти правила не зависят от нашего желания и вида задания. Они работают всегда. Область определения по этим правилам иногда называют «естественной».

2. Люди. Это дополнительные ограничения на область определения функции, которые могут быть (а могут и не быть) в любом конкретном задании и зависят исключительно от составителя задания.

Самым важным является первый пункт. С него и начнём.

Как найти область определения функции?

На первом этапе ищем в функции операции, которые могут оказаться недопустимыми при каких-то значениях икса. Т.е. ищем потенциально опасные операции.

На втором этапе определяем иксы, которые не приводят к запретному действию в этих самых операциях. Это и будет область определения функции.

Если эти этапы не очень понятны, читаем дальше, на примерах всё куда яснее будет.

Что такое потенциально опасные операции? Это операции, в которых существуют принципиальные ограничения. Не пугайтесь, таких операций всего ничего и вы их прекрасно знаете). Перечисляю:

До 9-го класса включительно:

1. Деление. Нельзя делить на ноль.

2. Извлечение корня. Нельзя извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел.

В выпускных классах и ВУЗах:

3. Логарифмы. Ограничения в логарифмах: если log_ab = c, то а>0, a≠1, b>0.

4. Тригонометрия. Ограничения в тригонометрии: значения углов, для которых тангенс и котангенс не существуют, ограничения на выражения под знаком арксинуса, арккосинуса.

Это, практически, весь набор потенциально опасных операций. Можно запомнить, правда?)

Вот и всё, что надо знать, чтобы найти область определения любой функции.

Теперь самое время применить эти знания в деле. Найдём область определения самой первой функции. Не перебором, а вполне научно):

D(f)=(-∞;+∞)

Как видите, в этом примере второй этап вовсе не понадобился. Бывает. Хорошая функция.)

Определяем иксы, которые не приводят к запретному действию, т.е. делению на ноль. Собственно, к делению на ноль приводит лишь одно значение икса: x=0. Следовательно, все остальные значения безопасны. Областью определения функции будут все действительные числа, кроме нуля. В краткой записи:

D(f)=(-∞;0) ∪ (0; +∞)

Это были совсем простые примеры. Для знакомства). Переходим к более солидным заданиям.

Найти область определения функции:

Что, внушает?) Ничего не боимся и работаем по схеме.

Выполняем первый этап: осматриваем функцию, на предмет потенциально опасных операций.

Внимание! Мы ничего не решаем! Не упрощаем, не складываем дроби, не раскладываем на множители, не извлекаем корни, ни-че-го! Мы именно осматриваем функцию. Любые преобразования могут изменить область определения функции и мы получим неверный ответ.

Сразу же выполняем и второй этап: то, что найдём в процессе осмотра, будем записывать, чтобы не забыть.)

Итак, в первом слагаемом видим квадратный корень из выражения с иксом. Это потенциально опасная операция. Под корнем, при каких-то иксах, может оказаться отрицательное число. Обезопасим себя вот такой записью (второй этап):

Уловили? Квадратный корень извлекается только из положительных чисел и нуля. Всё подкоренное выражение должно быть больше, либо равно нулю. Не икс, а всё подкоренное выражение, целиком. Прошу заметить: в этой записи уже нет знака корня! А то так и норовят его написать. Корень нам не нужен, нас интересует только подкоренное выражение. Так, с корнем разобрались, идём дальше.

Второе слагаемое. В нём есть деление на выражение с иксом. Знаменатель (весь знаменатель, целиком!) не может быть равен нулю. Записываем (второй этап):

х-3 ≠ 0

Так, соломки подстелили, идём дальше. В третьем слагаемом опять есть деление. Записываем:

х+1 ≠ 0

Ну, всё, функция кончилась.) Теперь сводим все наши записи в систему неравенств:

Система необходима, так как все наши условия должны выполняться одновременно.

Осталось решить эту систему. В ответе получится как раз область определения этой функции. Ответ будет такой:

Как видим, функция может быть каким угодно монстром. Но в процессе осмотра и соответствующих записей мы получаем системку неравенств, которая вполне решаема.

Так поступаем при нахождении области определения любой функции.

Не знаете, как решать системы!? Ну, это вопрос не к функциям. Имейте в виду: задание как найти область определения функции почти всегда заканчивается решением системы неравенств. Как решать квадратные неравенства можно посмотреть по ссылке. Там, кстати, решено с пояснениями именно наше квадратное неравенство. Чисто случайно. )

Последовательный осмотр и запись системы неравенств обычно особого труда не составляют. Хуже, когда потенциально опасные операции ещё и наслаиваются друг на друга. Здесь требуется пристальное внимание, чтобы чего не упустить. Например:

Найти область определения функции:

На первом этапе замечаем квадратный корень. Сразу пишем условие для всего подкоренного выражения:

Так, квадратный корень обезопасили. Но двигаться дальше ещё рано. Внутри корня есть ещё две потенциально опасные операции! Логарифм и деление. Для логарифма записываем:

Для деления записываем:

Вот теперь первое слагаемое разобрано по косточкам. Можно двигаться дальше. Для тангенса нужно записать:

Вот и всё. Сводим все наши записи в систему:

Повторю алгоритм ещё раз:

1. Работаем с исходной функцией! Ничего не упрощаем и не преобразовываем! Это всё делаем (если надо будет) после нахождения области определения.

2. Внимательно осматриваем функцию на предмет потенциально опасных операций.

3. В процессе осмотра записываем в систему неравенства, которые обеспечивают допустимость опасных операций.

4. Решаем систему неравенств и записываем ответ.

Самые внимательные, наверняка, почувствовали схожесть этого процесса с нахождением области допустимых значений (ОДЗ).

Ну, что тут сказать. Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.

А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)

Дополнительные ограничения на область определения функции.

Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.

Например, такое задание:

Найти область определения функции:

на множестве положительных чисел.

Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:

А теперь учитываем дополнительные ограничения. Слова «на множестве положительных чисел» означают, что иксы могут быть только положительные. Вместо этих слов может быть задано условие «где x>0″, или «где х ∈ (0; +∞)». Если наложить это ограничение на ответ, получим новую область определения:

D(f)=(0; 2] ∪ [6; +∞)

Всё предыдущее относилось к области определения аналитически заданных функций. Это самые популярные функции. Но существуют и другие способы задания функции. Они менее привычны и могут поставить в тупик. Во избежание таких фокусов, кратенько пробежимся по D(f) для функций, заданных НЕ аналитически.

В табличном способе областью определения функций будут только те значения икса, которые даны в таблице. Других иксов для такой функции просто не существует. Разумеется, если в задании будут дополнительные ограничения на D(f), их надо будет учесть. Но основным источником информации будет таблица.

Найти область определения функции у=f(x):

При значении х=+6, на графике отмечена закрашенная точка. Это значит, что при х=+6 функция существует. Этот икс необходимо включить в D(f). Вот и всё. Ответ:

В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да. ) Пример из предыдущего урока:

Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.

Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:

D(f): х ∈ N

Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств. И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система.

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →