Что значит обозначение промежутка
Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения.
Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства.
В этой статье мы разберем все виды числовых промежутков. Здесь мы дадим их названия, введем обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют. В заключение наглядно представим всю информацию в виде таблицы числовых промежутков.
Навигация по странице.
Виды числовых промежутков
Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:
Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).
Переходим к конкретике. Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон.
Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч. Заметим, что часто прилагательное «числовой» опускают, оставляя название открытый луч.
Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам. В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.
Например, числовой отрезок, который задается двойным неравенством 
можно обозначить как 
, на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты корень из двух и корень из трех.
Таблица числовых промежутков
Итак, в предыдущем пункте мы определили и описали следующие числовые промежутки:
Для удобства сведем все данные о числовых промежутках в таблицу. Занесем в нее название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой. Получаем следующую таблицу числовых промежутков:
Числовая прямая (или, что то же самое, числовая ось) — понятие нехитрое. Более того, числовая прямая — главный помощник в решении любых заданий с неравенствами! Любых. От примитивных линейных неравенств до сложных показательных или логарифмических неравенств, систем неравенств и метода интервалов. Освоим темку, пока всё просто?)
Что такое числовая прямая? Что такое координатная прямая?
С понятием числовой прямой вы все уже сталкивались, когда изучали такие темы как координаты точек (5-й класс), страшное понятие модуля числа (6-й класс), и особенно когда рисовали графики функций (7-й класс). Вспомним ещё разок?)
Всё то же самое, ничего нового! Первым делом возьмём и нарисуем в тетрадке самую обычную прямую и дополнительно укажем на ней:
1) Начало отсчёта или начало координат (точку О);
2) Положительное направление (стрелочкой);
3) Масштаб или единицу измерения длины (например, одна тетрадная клетка).
Вот и всё. Про устройство числовой прямой вы тоже давно в курсе (надеюсь). Но на всякий случай напоминаю. Начало координат всегда соответствует числу 0. Все положительные числа изображаются на положительной полуоси справа от нуля, в направлении стрелочки. А все отрицательные — слева от нуля, на отрицательной полуоси. Большее число всегда располагается правее меньшего, а меньшее — левее большего. Элементарно, Ватсон!)
Ну хорошо, прямая и прямая. Но почему — числовая? Ответ очевиден. Каждой точке на прямой соответствует какое-то число. Положительное, отрицательное, целое, дробное, иррациональное — какое угодно. Но — число! Поэтому и прямая — числовая. Это число имеет специальное и вполне научное название — координата точки. Отсюда следует, что числовая прямая — и координатная прямая тоже. Вот так. Два термина в одном флаконе.)
А вот теперь мы с вами колоссально расширяем наши возможности. Начинаем работать с числовой прямой на полную катушку! Готовы?)
Что такое числовой промежуток? Виды числовых промежутков.
В уравнениях было всё просто. Нашли икс, да и записали в ответ. Например, х=2. В неравенствах же ответом обычно служит не одно-два числа, а промежуток. Числовой промежуток. Или даже несколько числовых промежутков. Это и смущает поначалу…) Что это за зверь такой — числовой промежуток?
Числовой промежуток — это просто какой-то кусочек числовой прямой. И всё!
Сейчас начинается самое весёлое. Сейчас мы нашу числовую прямую будем пилить.) Пилить не на дрова, а на… числовые промежутки.)
Вот прям берём числовую прямую и вырезаем из неё какой-то кусочек какими-то точками. Которые, напоминаю, соответствуют каким-то числам. Вот и получаем — числовой промежуток. Разумеется, вырезать конкретный кусочек числовой прямой можно по-разному, да…)
Соответственно, и числовые промежутки в математике бывают разных видов.
Вот они, эти виды (подкрашены красным цветом):
Смотрим на табличку и… мама родная! Какие-то непонятные кружочки (пустые внутри и закрашенные), какой-то странный иероглиф «∞», да ещё и со знаками плюс/минус, круглые и квадратные скобочки.
Вам и вправду страшно? Возможно… Но сейчас вы увидите, насколько всё просто! Читаем дальше.)
Граничные точки
Я разгадала знак бесконечность… (Земфира)
А может ли числовой промежуток в каком-то направлении быть неограниченным?
А почему — нет? Запросто! Можно распилить числовую прямую не в двух точках, а в какой-то одной точке. И забрать себе одну часть — левую или правую. Бесконечную… Или — луч. Только для обозначения этой бесконечной границы буквы или числа не годятся. Зато есть специальный значок «∞«. Значок этот так и называется — «бесконечность». Очевидно, бесконечность бывает двух видов (точнее, двух знаков) — плюс (+∞) или минус (-∞). В зависимости от того, какой именно луч, какая часть прямой, правая или левая, берётся на дальнейшее рассмотрение.
Кружочки и скобочки…
Граничная точка — это, как и намекает название, точка, задающая границу числового промежутка. Слева или справа. Естественно, у думающих тут же возникает вполне логичный и важный вопрос: А куда относить саму граничную точку? Включать её в состав промежутка или нет?
Именно для ответа на этот вопрос нам и служат всякие кружочки и скобочки в обозначениях и на рисунках!
Запоминаем:
Если граничная точка в числовой промежуток НЕ ВХОДИТ, то на числовой прямой она рисуется НЕЗАКРАШЕННОЙ. Т.е. пустой внутри. В математике такие точки называются выколотыми точками. В обозначениях выколотые точки всегда соседствуют с круглыми скобками «(» или «)».
Если же граничная точка в числовой промежуток ВХОДИТ, то на числовой прямой она рисуется ЗАКРАШЕННОЙ, а в записи обозначается квадратной скобкой «[» или «]».
Вот и вся расшифровка.) Кстати говоря, специальные названия промежутков (луч, отрезок, интервал, полуинтервал) запоминать пока не обязательно. Всё равно поначалу будете путаться. Это для общей эрудиции сделано.) На практике обычно не заморачиваются и говорят «числовой промежуток такой-то…», без уточнения вида — луч, отрезок и т.д. А иногда и совсем кратко — просто «промежуток». Если и вы путаетесь — говорите так же. Не ошибётесь! А спецназвания оставим для старших классов. Но если запомнили (и поняли!) названия промежутков — что ж, только респект!)
Теперь можно потренироваться в записи и чтении числовых промежутков. Чтобы не мычать… Ну что, потренируемся?
Читаем числовые промежутки и рисуем их на оси!
С чтением и рисованием числовых промежутков обычно никаких проблем нет. Нужно только чётко понимать, что означают все эти скобочки и кружочки, что разбирались в предыдущем параграфе.
Например, задан числовой промежуток (0; 5].
Словами эта запись звучит так: числовой промежуток от нуля до пяти, не включая ноль и включая пять.
Читаем (и пишем) именно в таком порядке — от левой границы до правой.
Левая граница (т.е. число 0) соседствует с круглой скобкой «(«, о чём нам и говорят слова «не включая». Этот факт означает, что число 0 в наш промежуток не входит. Например, число 0,1 входит, и даже 0,000001 — ещё входит. Хоть чуть-чуть, да больше нуля. А вот ровно ноль — уже нет…
Пятёрка же — напротив, соседствует с квадратной скобкой «]», что говорит нам о том, что сама она также входит в наш промежуток. И отражено словом «включая» в словесной расшифровке.
А теперь нарисуем наш промежуток на оси. Для этого рисуем числовую прямую и отмечаем на ней граничные точки 0 и 5.
Заметили разницу между нулём и пятёркой? Ну да, трудно не заметить! 😉 Точка 0 изображена белой, т.е. незакрашенной. Пустой внутри. Или, по-математически, выколотой точкой. Это, как мы с вами уже выяснили, означает, что ноль — не входит в наш промежуток. В отличие от пятёрки, которая входит в промежуток. И на рисунке, соответственно, нарисованной чёрной. Закрашенной.) Я специально точки такими здоровыми изобразил. Чтобы хорошенько врезались в память…
Итак, мы отметили на оси границы промежутка. Осталось лишь отметить все остальные числа, которые входят в этот промежуток. Вы спросите: Как? Ведь между нулём и пятёркой находится бесконечно много чисел! Это и 1, и 2,5, и 3,14, и 4,9999 и так далее… И что? Все-все отмечать)?
Нет, конечно. Всё гораздо проще!) Сейчас мы с вами отметим на прямой все интересующие нас числа одним махом! Тут есть два варианта. Вариант первый — штриховка. Просто берём и подштриховываем весь кусочек прямой между 0 и 5.
Вариант второй рассмотрим на следующем примере.
В этот раз дан промежуток такой: [-3; +∞).
Для начала читаем словами название промежутка с гордо поднятой головой: Числовой промежуток от минус трёх до плюс бесконечности, включая минус три!
Вот так. А теперь вопрос на засыпку: почему я оборвал чтение на словах «включая минус три…» и не продолжил мысль гениальными словами «…и не включая плюс бесконечность»?
Всё очень просто. Бесконечность (что плюс, что минус) не может включаться никогда. Это не число, это — символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой, а в расшифровке говорится просто: «до плюс бесконечности». Или «до минус бесконечности». И всё.
А теперь всё как обычно, рисуем прямую, отмечаем на ней одну единственную точку минус три. Закрашенную, естественно, раз уж скобочка перед минус тройкой — квадратная. Вот так:
И отмечаем все остальные числа, входящие в промежуток от минус тройки до плюс бесконечности. На этот раз я отмечу нужный кусок оси дужкой (от слова дуга) вместо штриховки. Вот так:
Особой разницы между штриховкой и дужками нет. Рисуйте как удобнее. Но в сложных заданиях с неравенствами, где надо постоянно пересекать и объединять много промежутков, дужки предпочтительнее, ибо штриховка куда менее наглядна. Запутаться можно.
Я предпочитаю совмещать оба способа. Получается красиво и наглядно! В следующем уроке, на примерах, сами увидите.)
Вот так рисуются числовые промежутки на оси.
Входит и выходит… ))
А какая нам разница, входит число в указанный промежуток или не входит?
Вопрос смешной. Огромная! Ответ на этот вопрос (входит/не входит) — это ключевой этап в работе с промежутками и с неравенствами вообще! Даже значки специальные придуманы для этого. Вот такие:
За этими странными значками скрываются безобидные слова «принадлежит» и «не принадлежит».
Возьмём, к примеру, промежуток (1; 3].
Входит в этот промежуток, допустим, двойка? Конечно! Раз уж она посерёдке между единичкой и тройкой… А единичка? Э-э-э… Скобка перед ней — круглая! Не входит единичка в наш промежуток. Тройка входит? Попадает на границу, но скобочка — квадратная. Значит, входит! А вот три с половиной — снова не входит. 3,5 строго больше, чем тройка. Выпадает 3,5 из нашего промежутка…
Математически, с помощью значков принадлежности, эти факты можно записать вот так:
А словами можно прочитать вот так:
Два принадлежит промежутку от одного (не включая) до трёх (включая).
Один не принадлежит промежутку от одного (не включая) до трёх (включая).
В этом уроке было простое чтение и рисование промежутков на оси. Пока — цветочки. Переходим к ягодкам. К операциям над числовыми промежутками. Те ещё грабли, да…) Об этом — в следующем уроке.
Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения
Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.
Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств. В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.
Виды числовых промежутков
Каждый числовой промежуток характеризуется:
Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.
Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:
Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной. Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее. Тогда неравенство вида x a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x > a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.
Рассмотрим несколько примеров.
Для наглядного примера зададим числовой луч.
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Таблица числовых промежутков
Промежутки могут быть изображены в виде:
Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.
Числовые промежутки представляют собой множества чисел на координатной прямой. Это ось, на которой расположены точки или переменные, имеющие определенные координаты. Для нее важно начало отсчета, выбранный единичный отрезок и направление, чтобы обозначать положительные и отрицательные значения.
Знакомство с координатами и числами происходит на уроках математики в 6 классе, но некоторые понятия вводятся уже с 1 класса. Понятия и обозначения используются на протяжении всего курса алгебры и геометрии. Знакомство с азами в средней школе позволит легко справляться со сложными задачами в будущем. Со временем проводятся вычисления со множествами чисел, это касается их пересечения и объединения.
Виды числовых промежутков
На координатной прямой можно выделить несколько видов промежутков. При этом они зависят от одной или двух переменных, расположенных на оси. Они служат границами. Сама прямая имеет координаты (-∞; +∞), то есть от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Промежутки позволяют находить значения числовых выражений даже для учащихся младших классов. Выбирается место отсчета и единичный отрезок, что характеризует любую координатную прямую.
Чтобы выполнить простое арифметическое действие, нужно нарисовать нужное число отрезков. Чтобы сложить «2» и «3», достаточно отмерить сначала два, затем три выбранных единицы и сосчитать полученный результат. Так наглядно представляются простые математические операции для младших школьников.
На координатную прямую можно нанести известные значения и сравнить их, обращая внимание на положение. Так дети наглядно представляют, какое число меньше, а какое больше.
Открытый числовой луч
Открытый луч – интервал с бесконечно большим числом точек. При объяснении понятие «числовой» часто опускается, при этом смысл не меняется.
Точки расположены по одну сторону от определенной переменной, признанной началом координат.
Находиться они могут как с правой, так и с левой стороны. При этом если за основу берется А, то множество обозначается следующим образом:
Таким образом указываются координаты. Читается как «от минус бесконечности до А» и «от А до плюс бесконечности».
Также можно охарактеризовать неравенством:
Знак зависит от расположения луча относительно А.
Замкнутый числовой луч
Замкнутый луч отличается от открытого тем, что к множеству относится А.
Также ему соответствует условие:
х ≤ А (значение меньше или равно А) или (-∞; А], то есть используются квадратные скобки;
х ≥ А (значение больше или равно А) или [А; +∞).
При графическом изображении А в этом случае закрашивается, на рисунке она черная.
Что касается открытого луча, то там А остается пустой, еще ее называют выколотой. Она связана с переменной строгим неравенством, не принадлежит к рассматриваемому множеству.
Числовой отрезок
Отрезок – замкнутый, закрытый промежуток или расстояние. Это множество переменных, расположенных на прямой между двумя точками, А и В. При этом они относятся к рассматриваемому множеству и называются концами.
При изображении они будут закрашены. Остальные точки отрезка считаются внутренними.
Интервал
Интервал представляет собой открытый отрезок, от которого он отличается тем, что границы к нему не относятся. Интервалу принадлежат исключительно внутренние точки прямой, границы же будут выколоты.
Числовые промежутки. Контекст. Определение
Введём понятие числового промежутка. Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства. Тогда как множеством решения уравнения будет не числовой промежуток, а просто несколько чисел на числовой прямой, с неравенствами, иначе говоря, любыми ограничениями значения переменной появляются числовые промежутки.
— это множество всех точек числовой прямой, ограниченное данным числом или числами (точками на числовой прямой).
Числовой промежуток любого вида (множество значений x, заключённых между некоторыми числами) всегда можно представить тремя видами математических обозначений: специальными обозначениями промежутков, цепочками неравенств (одним неравенством или двойным неравенством) или геометрически на числовой прямой. По сути, все эти обозначения имеют один смысл. Они дают ограничение(-я) для значений какого-то математического объекта, переменной величины (некоторой переменной, любого выражения с переменной, функции и т.д.).
Из вышесказанного можно понять, что так как можно по-разному ограничить область числовой прямой (есть разные типы неравенств), то и типы числовых промежутков бывают разные.
Виды числовых промежутков
Каждый тип числового промежутка имеет собственное название, особое обозначение. Для обозначения числовых промежутков используют круглую и квадратную скобку. Круглая скобка означает, что конечная, определяющая границу, точка на числовой прямой (конец) у этой скобки не входит во множество точек данного промежутка. Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток. С бесконечностью (с этой стороны промежуток не ограничен) используют круглую скобку. Иногда вместо круглых скобок можно писать квадратные, повёрнутые в обратную сторону: (a;b) ⇔]a;b[
С помощью промежутков в математике обозначается очень большое количество вещей: есть промежутки изоляции при решении уравнений, промежутки интегрирования, промежутки сходимости рядов. Промежутками принято всегда обозначать при при исследовании функции её область значений и область определения. Промежутки очень важны, например, есть теорема Больцано — Коши (можно узнать больше в «Википедии»).
Системы и совокупности неравенств
Система неравенств
Любую систему можно решать графически с использованием числовой прямой. Там, где решения составляющих систему неравенств пересекаются и будет решение самой системы.
Представим для каждого случая графическое решение.
Далее, системы неравенств можно классифицировать как равносильные, если они имеют общее множество решений. Отсюда (как можно видеть выше) следует, что более сложные системы можно упрощать (например, используя геометрическое решение).
Фигурную скобку можно условно, грубо говоря, назвать эквивалентом союза «И» для неравенств
Совокупность неравенств
Итак, все неравенства в совокупности объединяют скобкой совокупности «[«. Если значение переменной удовлетворяет хотя бы одному неравенству из совокупности, то оно принадлежит множеству решений всей совокупности. Также и с уравнениями (опять же их можно назвать частным случаем).