Что значит непериодические числа
Периодические дроби
Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:
Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби и как с ними работать.
Получаем периодическую дробь
Попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.
Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется вновь и вновь. В результате в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 будет выполняться бесконечно, поэтому разýмнее будет остановиться на достигнутом.
Такие дроби называют периодическими, поскольку у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять из одной как в нашем примере.
В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 это цифра 3. Обычно такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают цéлую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).
В нашем примере повторяется цифра 3, она является периодом в дроби 0,33333. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:
Читается как «ноль целых и три в периоде»
Пример 2. Разделить 5 на 11
Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:
Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»
Пример 3. Разделить 15 на 13
Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:
Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».
Пример 4. Разделить 471 на 900
В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:
Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».
Виды периодических дробей
Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смéшанные.
Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:
Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.
Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смéшанной. Например, следующие периодические дроби являются смéшанными:
Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.
Избавляемся от хвоста
Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нýжного разряда.
Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:
Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.
Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33
Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.
Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:
Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317
Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь
Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для общего развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.
Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, то такую дробь называют чистой.
Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.
В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.
Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби.
Итак, записываем в числителе период дроби 0, (3) то есть тройку:
А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).
В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:
Полученную дробь 
можно сократить на 3, тогда получим следующее:
Получили обыкновенную дробь 
.
Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается
Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.
Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:
А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).
В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:
Полученную дробь 
можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:
Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается 
Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь
Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.
В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.
Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.
Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:
Итак, записываем в числителе разность:
А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)
В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:
Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.
В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:
Получили выражение, которое вычисляется легко:
Получили ответ 
Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается
Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь
Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:
Итак, записываем в числителе разность:
А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)
В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:
Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.
В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:
Получили выражение, которое вычисляется легко:
Получили ответ 
Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
33 thoughts on “Периодические дроби”
Когда же следующие уроки? Уже что-то долго ничего нету
Большое спасибо за урок! Откровенно говоря…эту тему не помню вообще…Будто ее и не было в школе О__о Ну или я ее проболела… (Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь)
Вы бы хоть номер кошелька написали. А то столько трудились и никакой отдачи. С такими уроками никакой экзамен не страшен.
Спасибо большое Тэла, за столь добрый отзыв 😉
Если люди получают пользу от этих уроков — это уже отдача)
Огромное Вам спасибо за уроки! Всё объясняете доступно и наглядно! На ваших уроках готовлюсь поступать на ФИТ на программиста. Хорошо бы еще алгебру выложили.)
Вы не могли бы объяснить логику алгоритма перевода периодической дроби в обычную?
Зачем в знаменателе ставятся девятки — заместно, например, округления числа, подставляемого в числитель, до последней цифры периода, и постановки степени 10 в знаменатель? Зачем, при переводе смешанной периодической дроби, производится соотв. вычитание и чем объясняется подстановка нулей и единиц в зависимости от принадлежности цифры к периоду??…
Спасибо большое за урок 🙂 Скажите пожалуйсто при округлении(когда избавляемся от хвоста) откуда знать до каких разряд надо округлять?
Вот и здесь последняя задача говорит округлить до разряда сотых,а почему не до десятых(например)?
зависит от задачи, которую решаете. Если в задаче сказано округлять до десятых, значит округляете до десятых. Если сказано округлять до сотых — округляете до сотых
Урок по теме. Непериодические бесконечные десятичные дроби.
Содержимое разработки
Урок по теме. Непериодические бесконечные десятичные дроби.
Предметные: познакомить учащихся с понятиями бесконечной непериодической десятичной дроби, иррационального числа, действительного числа.
Личностные: формировать целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики.
Метапредметные: формировать умение использовать приобретенные знания в практической деятельности.
Планируемые результаты: учащиеся научатся приводить примеры бесконечных непериодических десятичных дробей, научатся различать иррациональные и рациональные числа, действительные числа.
Тип урока: комбинированный
Оборудование. Карточки для проверочной работы. Презентация
Проверка домашнего задания. 1. Устная работа
Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной методом домножения: 1/2, 1/4, 3/4, 1/5, 3/8, 2/25, 3/50
Ответы на вопросы учащихся.
Постановка формируемых результатов и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
Актуализация опорных знаний.
а) Любое рациональное число 
разлагается в ____________.
б) Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого ____________________.
2). Запишите число в виде периодической дроби и укажите ее период:
а) 
( 
); б) 
( 
);
3).Обратите периодическую дробь в обыкновенную: а) 0,2(3) (0,3(2)); б) 0,(31) (0, (21)).
3. Назовите пять чисел:
а) натуральных, б) положительных, в) отрицательных, г) целых, д) рациональных,
е) четных, ж) нечетных, з) простых, и) составных, к) кратных 3, л) кратных 2 и 5.
Изучение нового материала. Работа по презентации
1.Рассмотрим положительную бесконечную десятичную дробь 0,1011011101111…, в которой после запятой записаны цифры: единица, нуль, две единицы, нуль, три единицы, нуль и т.д. У этой дроби никакая группа цифр не является периодом. Эта дробь непериодическая, а, значит, она не является десятичным разложением какого – либо рационального числа.
2. Приведите примеры положительных бесконечных непериодических десятичных дробей.
4. Приведите примеры отрицательных бесконечных непериодических десятичных дробей.
5. Бесконечные десятичные дроби называют числами.
6. Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.
Любое действительное число представляется в виде бесконечной десятичной дроби. Если число рациональное, то дробь периодическая, а если число иррациональное, то дробь непериодическая.
. Составим схему.
Вновь у нас физкультминутка
Наклонились, ну-ка, ну-ка!
А теперь назад прогнулись.
Разминаем руки, плечи,
Чтоб сидеть нам было легче,
Чтоб писать, читать, считать
И совсем не уставать.
Хоть зарядка коротка,
Отдохнули мы слегка.
1. Учебник стр. 199. В два столбика под схемой записать числа из упражнения № 990.
3. №4 и №5 из презентации
1. Найдите приближенно сумму чисел, беря слагаемые с точностью до 0,001.
2. Найдите результат приближенно, беря числа с точностью до второй значащей цифры.
3. Запишите результат в виде обыкновенной дроби: 0,1(2) + 0,11.
4. Решить задачу. Пылесос подорожал на 16% и стал стоить 17400 рублей. Потом он подешевел на 14%. На сколько рублей дороже стоил этот пылесос до подорожания, чем после того как он подешевел?
Рефлексия. Оцените активность своей работы на уроке.
а) активно работал(а);
б) работал(а), но не активно;
в) был (а) пассивен (пассивна).
Домашняя работа: п. 5.4 № 988, 992, 866, 893 (а).
Перевод периодической дроби в обыкновенную дробь
Содержание
Периодические дроби – очень интересное явление. Только представьте себе дробь, у которой нет конца, и её «хвост» длится и длится.
Иногда возникает необходимость записать периодическую дробь в виде обыкновенной. Получается, что вместо числа мы пишем пример – ведь знак дроби обозначает знак деления.
Давайте разберёмся, как это сделать.
Состав периодической дроби
Прежде чем мы начнём превращать периодические дроби в обыкновенные, нам необходимо разобраться, как называются части периодических дробей. Это нам понадобится.
Итак, на первом месте – целая часть периодической дроби.
Всё, что после запятой, будет дробной частью.
У чистых периодических дробей дробная часть состоит из периода (повтораяющейся части дроби). Она взята в скобки. В скобках может быть не одна, а несколько цифр. Количество цифр в скобках называется длиной периода.
В смешанной периодической дроби между запятой и периодом есть ещё одна или несколько цифр. Эти цифры в период не входят, то есть не повторяются. Надо сказать, что в разных пособиях эта часть дроби может называться по-разному. Иногда ей не дают никакого названия, и просто пишут «цифры между запятой и периодом». Но также эту часть называют непериодической частью или предпериодом.
Перевод чистых периодических дробей в обыкновенные дроби
С чистыми периодическими дробями (то есть с теми, у которых период начинается сразу после запятой) всё очень просто. Для них существует простой алгоритм.
После того, как дробь записана, её можно сократить, разделив числитель и знаменатель на одинаковое число.
Перевод смешанных периодических дробей в обыкновенные дроби
Со смешанными дробями дело обстоит сложнее, тут нужно запомнить более длинный алгоритм действий. Кроме того, нужно хорошо знать названия всех частей периодической дроби, чтобы не запутаться.
Для перевода смешанной периодической дроби в обыкновенную нужно:
1) записать целую часть дроби (если она есть) без изменений
2) записать в виде числителя разность дробной части периодической дроби (записываем её без скобок, как если бы это было натуральное число) и предпериода (непериодической части) дроби
3) записать в виде знаменателя число, состоящее из девяток и нулей, где число девяток равно длине периода, а нулей – длине предпериода.
Выглядит очень длинно и сложно! Но проделав подобные вычисления несколько раз, вы сможете выполнять их без особого труда.
Целую часть записываем без изменений, переходим к дробной.
Разберём ещё один пример.
В знаменателе пишем одну девятку, так как длина периода равна одному, и два ноля, так как в непериодической части дроби у нас две цифры.
Уже после того, как вы переведёте несколько периодических дробей в обыкновенные, вы почувствуете, что алгоритм запомнился и уже не кажется таким сложным. Также хорошо проверять свои вычисления при помощи калькулятора, разделяя числитель полученной дроби на знаменатель.
Математика. 6 класс
Конспект урока
Непериодические десятичные дроби
Перечень рассматриваемых вопросов:
Рациональное число, можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Существуют бесконечные непериодические десятичные дроби. Например, дроби 0,010010001…; 17,12345678910…
Бесконечные десятичные дроби называют числами.
Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом.
Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим положительную бесконечную десятичную дробь 0,1011011101111…
У этой дроби нет группы цифр, являющейся периодом. Эта дробь непериодическая.
Примеры бесконечных непериодических дробей
Поставив перед положительной дробью знак «–», получим отрицательную дробь.
является отрицательной бесконечной непериодической дробью.
Обнаружены новые числа, которые раньше не встречались. Эти новые для вас числа называют иррациональными.
Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом.
Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.
Любое действительное число представляется в виде бесконечной десятичной дроби.
Если число – рациональное, то дробь – периодическая, а если иррациональное, то дробь – непериодическая.
Считается, что иррациональные числа были открыты в Древней Греции приблизительно за 400 лет до нашей эры. Самое знаменитое иррациональное число пи обозначается греческой буквой – π и приближенно равно 3,141592653589793238462643.
Каждый год 14 марта в 1:59:26 люди, интересующиеся математикой, празднуют «День числа пи». В этот день даже проводятся соревнования по запоминанию десятичных знаков этого числа.
Что мы знаем о числах?
Рассмотрим, как выполняются действия с действительными числами. На практике бесконечные десятичные дроби складывают, вычитают, умножают и делят приближенно.
Пример 1. Сравните: 0,(23) и 0,1234…
Чтобы сравнить дроби надо уравнять количество десятичных знаков и затем сравнить.
Пример 2. Найдем приближенную сумму и разность чисел а и b, округлив их с точностью до одной десятой, если а = 23,(18), b = – 4,23(75).
Решение: округляя эти числа с точностью до одной десятой, находим, что а ≈ 23,2 и b = – 4,2. Тогда а + b ≈ 19,0; а – b ≈ 27,4.
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Тип 2. Единичный выбор
Укажите соседей числа.
Между какими числами расположено иррациональное число 0,1011011…