Что значит найти сумму ряда

Узнаем, как найти сумму ряда

Первое знакомство с числовыми рядами у наших читателей состоялось в средней школе при изучении арифметической прогрессии и геометрической прогрессии.

Из этих уроков Вы узнали, что для задания этих последовательностей необходимо определить закон нахождения каждого члена последовательности, обычно записываемый в виде формулы.

Понятие о числовом ряде

Если u1, u2, u3, …, un, … — бесконечная последовательность чисел, то формально записанное выражение

называется бесконечным числовым рядом (или просто числовым рядом). Многоточие в конце (иногда шутят, что в нём-то и заключена суть ряда) указывает, что выражение (1) не имеет последнего слагаемого, за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, числовой ряд есть «бесконечная» сумма чисел.

Короче (с символом «сигма») числовой ряд (1) можно записать в виде, где индексы внизу и вверху символа суммы означают, что нужно взять сумму чисел un, когда n принимает целочисленные значения от 1 до ∞.

Числа u1, u2, u3, …, un, … называются членами числового ряда, а член ряда, стоящий на n-м месте от начала, — его общим членом.

Задать числовой ряд – это значит указать правило, закон образования его членов, по которому можно найти любой его член (ещё раз вспомните школьные уроки об арифметической и геометрической прогрессиях). Чаще всего числовой ряд задаётся формулой общего члена как функция от натурального числа n.

Если в дальнейшем будем говорить, что дан числовой ряд, то будем подразумевать, что задан его общий член.

При сложении конечного числа слагаемых всегда получается определённый числовой результат, вычислить же сумму бесконечного числа слагаемых не может ни человек, ни компьютер, поскольку процесс сложения членов числового ряда (по самому определению) никогда не кончается.

Это означает, что выражение (1) является формальным, ведь сумма бесконечного числа слагаемых не определена. Но тем не менее в этом выражении поставлен знак суммирования и подразумевается, что члены ряда как-то складываются.

Сумма любого конечного числа слагаемых будет найдена, если их складывать последовательно по одному. Это приводит к мысли поставить в соответствие числовому ряду некоторое число и назвать его суммой числового ряда. С этой целью вводят понятие частичной суммы ряда.

Приближенные суммы числового ряда (1)

называются частичными суммами числового ряда.

Сумма n первых членов числового ряда называется n-й частичной суммой.

Частичные суммы числового ряда имеют конечное число слагаемых, это «обычные» суммы, их можно найти, подсчитать. Для числового ряда получаем бесконечную последовательность его частичных сумм.

Если значения частичных сумм при неограниченном возрастании n, то есть, при стремятся к некоторому числу S, то есть имеет предел, то числовой ряд называется сходящимся. Это число S называется суммой числового ряда.

Не для всякого числового ряда последовательность его частичных сумм стремится к определённому пределу.

Если предел последовательность частичных сумм ряда не существует, то числовой ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Теорема 1. Если ряд (1) сходится и имеет сумму, равную S, то его произведение на число c также сходится и имеет сумму, равную S.

Следовательно, общий множитель членов сходящихся рядов можно выносить за скобки, имея при этом в виду выполнение равенства.

Теорема 2. Сумма двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд, причём его сумма равна S ‘ + S », где S ‘ и S »- суммы слагаемых рядов.

Это означает, что сходящиеся ряды можно почленно складывать, а с учётом теоремы 1 и вычитать, имея при этом в виду для суммы рядов выполнение равенства (16), а для разности рядов – равенства.

Определение. Разность суммы S и частичной суммы Sn сходящегося числового ряда называется остатком ряда и обозначается Rn. Для сходящегося ряда, то есть предел остатка сходящегося ряда при равен нулю.

Теорема 3. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток, и, наоборот, если сходится какой-либо остаток ряда, то и сам ряд также сходится.

Это означает, что на сходимость ряда не влияет любое конечное число его первых членов. В ряде можно отбрасывать или прибавлять к нему любое конечное число членов. От этого сходимость (или расходимость) ряда не нарушается, но меняется его сумма.

Если сходимость ряда установлена на основании определения сходимости, то одновременно будет найдена и его сумма. Так мы поступили при исследовании сходимости рядов (2) и (3). Однако таким способом решить вопрос о сходимости ряда часто бывает весьма трудно.

Поэтому используют другой способ, который даёт возможность лишь установить факт сходимости (расходимости) ряда, так как сумму сходящегося ряда можно всегда найти с любой степенью точности, подсчитав сумму достаточно большого числа его первых членов.

Заметим, что частичные суммы гармонического ряда возрастают хотя и ограниченно, но медленно. Исследование сходимости ряда обычно начинают с проверки выполнения условия (17), чтобы сразу выделить расходящиеся ряды, для которых это условие не выполняется.

Однако выполнение этого условия говорит лишь о том, что ряд может сходиться. Сходится он или расходится, должно показать дополнительное исследование с помощью достаточных признаков.

Примеры числовых рядов. Вычисление суммы ряда

Основные понятия и определения

В прошлом году мы определяли числовую последовательность как функцию натурального аргумента. Это означает, что каждый член последовательности является функцией своего номера п.

В дальнейшем иногда будем рассматривать и п, равное нулю, поэтому числовую последовательность будем определять как функцию целочисленного аргумента (от слов «целое число»).

Определение 1. Выражение называется бесконечным числовым рядом, или, короче, рядом. Члены последовательности называются членами ряда; выражение с индексом п— общим членом ряда.

Отличить последовательность от ряда просто: члены последовательности пишутся через запятую, члены ряда соединены знаками плюс. Таким образом, понятие ряда является обобщением суммирования на случай бесконечного числа слагаемых.

Ряд считается заданным, если известна (задана) формула его общего члена. Общий член ряда (1.2) совпадает с общим членом последовательности (1.1) и также является функцией целочисленного аргумента n.

Определение. Сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда.

Составим из всех частичных сумм ряда (1.2) числовую последовательность. Она называется последовательностью частичных сумм. Как всякая числовая последовательность, она может иметь предел, т.е. сходиться, или не иметь предела, т.е. расходиться. Предел последовательности частичных сумм, если он существует, будем обозначать буквой S.

Определение. Ряд называется сходящимся (ряд сходится), если сходится последовательность частичных сумм этого ряда. При этом предел S последовательности частичных сумм называется суммой данного ряда. Ряд, не имеющий суммы (1.8), называют расходящимся.

Сумму ряда вычислить не всегда легко и даже не всегда возможно. Поэтому в теории рядов чаще решается более простая задача — выяснение, сходится ряд или расходится. Это называется исследованием сходимости ряда.

Как найти сумму числового и функционального ряда

Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.

Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.

Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:

Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него.

В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто: = а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + … (до «плюс бесконечности).

Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:

Сумма числового ряда – это предел частичных сумм Sn. Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».

Сначала найдем сумму числового ряда:

Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.

Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.

Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).

Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:

Важные условия для работоспособности функции:

Вычисление суммы ряда в Excel

Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.

Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.

Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула: S1 = a (1 + x).

На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:

Чтобы найти общую сумму: Sn = a (1 + x) + a (1 + x)2 + a (1 + x)3 + … + a (1 + x)n

Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().

Исходные параметры для учебной задачи:

Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)

Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2). Результаты одинаковые, как и должно быть.

Как заполнить аргументы функции БС():

Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда. В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.

Построение графика функций суммы числового ряда

Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:

Дальше нам нужна функция для начисления сложных процентов — БС(). Мы узнаем будущею стоимость инвестиций при условии равных платежей и постоянной процентной ставке. Используя функцию БС(), заполним таблицу. В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.

Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» — инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график.

Сделаем задачу еще более «прикладной». В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.

Ряд. Сумма ряда

Определение: Выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд.

Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких его членов. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд, где c=const, также сходится и его сумма равна cS.

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли данный ряд или расходится. Есть необходимый и достаточные признаки сходимости рядов.

Источник

Сумма ряда

Содержание:

Понятие суммы ряда

Постановка задачи. Найти сумму ряда

где — целые числа.

План решения. Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм , т.е.

где

1. По условию задачи

Если корни знаменателя различаются на целое число, т.е. где — натуральное число, то члены последовательности частичных сумм ряда легко найти, так как в выражении многие слагаемые взаимно уничтожаются.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби:

и выписываем несколько членов ряда так, чтобы было видно, какие слагаемые сокращаются при вычислении частичных сумм ряда.

3. Находим -ю частичную сумму ряда:

,

сократив соответствующие слагаемые.

4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1)

и записываем ответ.

Пример:

Решение:

1. Корни знаменателя и различаются на целое число, т.е. Следовательно, члены последовательности частичных сумм ряда легко найти, так как в выражении многие слагаемые взаимно уничтожаются.

2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби

и выписываем несколько членов ряда:

3. Сокращая все слагаемые, какие возможно, находим -ю частичную сумму ряда:

4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1):

Ответ:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

План решения.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

Если , ряд расходится. Если , ряд сходится условно (по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами

2. Делаем в исходном ряде замену , получим степенной ряд

с областью сходимости .

3. Известна формула для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (2), получаем

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке , то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа). Следовательно,

6. Вычисляем интеграл, делаем замену на и записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

Замечание. Если ряд имеет вид

то применяем теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды или разлагаем дробь на элементарные:

и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.

Пример:

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

Решение:

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

В граничных точках при ряд расходится, при ряд сходится условно.

Следовательно, данный ряд сходится при всех .

2. Сделаем замену Получим геометрический ряд (1) с областью сходимости

3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (4), получаем

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке , то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, формула (5) справедлива при всех .

6. Заменяя на , получаем при

Ответ.

Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием

Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

Если , ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами .

2. Делаем в исходном ряде замену и записываем его в виде суммы двух рядов

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

и

3. Известна формула для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (1), получаем

6. Вычисляем производную и делаем замену на . Записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

Замечание. Если ряд имеет вид

то вычисляем сумму трех рядов, причем при вычислении суммы ряда

применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ряда дважды.

Пример:

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

Решение:

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством . Отсюда . В граничных точках ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Следовательно, ряд сходится в интервале .

2. Делаем в исходном ряде замену и записываем его в виде суммы двух рядов

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Следовательно, при всех .

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (2), получаем

Заменяя на , получим

Ответ.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник