Что значит найти дифференциал

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции. Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Что значит найти дифференциал

Пусть y = f (x) имеет производную

Что значит найти дифференциал

Применяя свойства предела функции, получают равенство

Что значит найти дифференциал

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

Что значит найти дифференциал

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)).

Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x. Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

Отсюда получается формула:

Для второго порядка вводится обозначение d 2 y.

Что значит найти дифференциал

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически,

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Примеры решения задач

Задача №1

Найти дифференциал функции

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Задача №2

Вычислить значение дифференциала функции

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

В помощь студентам создан онлайн калькулятор, который позволяет ввести функцию, нажать кнопку и получить форму или значение дифференциала.

Если dx есть константа, то для высших порядков имеет место следующая формула:

Что значит найти дифференциал

Этот результат вытекает непосредственно из определения:

Что значит найти дифференциал

Задача №3

Найти d 2 y, если y = cos2x и x – независимая переменная.

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Если x – функция от некоторой другой независимой переменной, то свойство инвариантности перестаёт работать, следовательно,

Что значит найти дифференциал

Задача №4

Найти d 2 y, если y = x 2 и x = t 3 + 1, t – независимый аргумент.

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Нетрудно заметить, что если выразить y напрямую через t, то получится тот же результат.

с высокой степенью точности можно вычислить приращение любой дифференцируемой зависимости.

Раскрыв Δy, сделав соответствующие преобразования, приходят к формуле приближённых вычислений:

Что значит найти дифференциал

Задача №5

Вычислить приближённо arctg1,05.

Пусть f(x) = arctg x. Тогда

Что значит найти дифференциал

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Что значит найти дифференциал

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых.

Например, если z = f(x;y) то

Что значит найти дифференциал

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Заключение

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.

Источник

Дифференциал функции определение, виды, свойства, формула полного дифференциала функции, геометрический смысл, правило применения, примеры решения уравнений

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции.

Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Что значит найти дифференциал

Пусть y = f (x) имеет производную

Что значит найти дифференциал

Применяя свойства предела функции, получают равенство

Что значит найти дифференциал

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

Что значит найти дифференциал

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)).

Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x. Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

Отсюда получается формула:

Для второго порядка вводится обозначение d 2 y.

Что значит найти дифференциал

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически,

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Примеры решения задач

Задача №1

Найти дифференциал функции

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Задача №2

Вычислить значение дифференциала функции

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

В помощь студентам создан онлайн калькулятор, который позволяет ввести функцию, нажать кнопку и получить форму или значение дифференциала.

Если dx есть константа, то для высших порядков имеет место следующая формула:

Что значит найти дифференциал

Этот результат вытекает непосредственно из определения:

Что значит найти дифференциал

Задача №3

Найти d 2 y, если y = cos2x и x – независимая переменная.

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Если x – функция от некоторой другой независимой переменной, то свойство инвариантности перестаёт работать, следовательно,

Что значит найти дифференциал

Задача №4

Найти d 2 y, если y = x 2 и x = t 3 + 1, t – независимый аргумент.

Что значит найти дифференциал

Что значит найти дифференциал

Нетрудно заметить, что если выразить y напрямую через t, то получится тот же результат.

с высокой степенью точности можно вычислить приращение любой дифференцируемой зависимости.

Раскрыв Δy, сделав соответствующие преобразования, приходят к формуле приближённых вычислений:

Что значит найти дифференциал

Задача №5

Вычислить приближённо arctg1,05.

Пусть f(x) = arctg x. Тогда

Что значит найти дифференциал

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Что значит найти дифференциал

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых.

Например, если z = f(x;y) то

Что значит найти дифференциал

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Заключение

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *