Что значит функция общего вида
Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции)
Глава 1. Развитие понятия функции
Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.
Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.
Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.
Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.
Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.
Явное определение функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y = f(x), или что множество А отображено на множество В.
Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.
Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом.
Глава 2. Основные свойства функции
Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции
функция график экономический
Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.
Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.
Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).
Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.
Аналитический – с помощью формул.
Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.
Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.
Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.
Пример 1. Найти область определения функции
y = lg (2x-3) у = lg(2x-3)
Одним из понятий для исследования функции является нули функции.
Нули функции – это точки, в которых функция принимает значение нуля.
Функция
1. Понятие функции
2. Cвойства функций
2.Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при x1 ) x2, f(x1) ) f(x2).
область определения (-∞,∞)
область значений (0; ∞)
общего вида
возрастает на (-∞,∞), если a>1;
убывает на (-∞,∞), если 0 непериодическая
Логарифмическая функция
у = log ₐ x (a>0 a≠1)
область определения (0,∞)
область значений (-∞; ∞)
общего вида
возрастает на (0,∞), если a>1;
убывает на (0,∞), 0 непериодическая
Тригонометрические функции
y = sin x
область определения (-∞; ∞)
область значений [-1; 1]
нечетная
возрастает на [-π/2 + 2πn, π/2 + 2πn];
убывает на [π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn], nϵZ;
период Т=2π
y = cos x
область определения (-∞; ∞)
область значений [-1; 1]
четная
возрастает на [-π + 2πn, 2πn];
убывает на [2πn, π + 2πn], nϵZ;
период Т=2π
y = tg x
область определения
(-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;
область значений (-∞; ∞)
нечетная
возрастает на (-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;
период Т=π
y = ctg x
область определения
(πn, π + πn) nϵZ;
область значений (-∞; ∞)
нечетная
убывает на (πn, π + πn) nϵZ;
период Т=π
y = arcsin x
область определения [-1; 1]
область значений [-π/2; π/2]
нечетная
возрастает на [-1; 1]
y = arccos x
область определения [-1; 1]
область значений [0; π]
функция центрально-симметрична относительно точки (0; π/2)
убывает на [-1; 1]
y = arctg x
область определения (-∞; ∞)
область значений [-π/2; π/2]
нечетная
возрастает на (-∞; ∞)
y = arcctg x
область определения (-∞; ∞)
область значений [0; π]
ни четная, ни нечетная
убывает на (-∞; ∞)
Четные и нечетные функции
Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, — четные функции.
Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, — нечетные функции.
Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.
Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:
1. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).
Область определения функции
Проверим, является ли чётной или нечётной. Если функция четна. Если функция нечетна.
— значит, функция нечётная, её график симметричен относительно нуля.
2. Проверьте, является ли функция четной (нечетной)
Область определения: все действительные числа.
— чётная, как сумма двух чётных функций.
Её график симметричен относительно оси y.
3. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).
Область определения функции симметрична относительно нуля.
— чётная, её график симметричен относительно оси y.
Что значит функция общего вида
зМБЧБ 2. жХОЛГЙС. юЙУМПЧЩЕ ЖХОЛГЙЙ.
ОБЪЩЧБАФ ЮЙУМПЧПК ЖХОЛГЙЕК.
оБРТЙНЕТ, РХУФШ X НОПЦЕУФЧП ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ ОБ РМПУЛПУФЙ Й f ЕУФШ РТБЧЙМП, ЛПФПТПЕ ЛБЦДПНХ ФТЕХЗПМШОЙЛХ УФБЧЙФ Ч УППФЧЕФУФЧЙЕ ЮЙУМП, ТБЧОПЕ ДМЙОЕ ТБДЙХУБ r ПРЙУБООПК ПЛПМП ОЕЗП ПЛТХЦОПУФЙ. фПЗДБ НЩ ЙНЕЕН ДЕМП У ЮЙУМПЧПК ЖХОЛГЙЕК, БТЗХНЕОФПН ЛПФПТПК СЧМСЕФУС ФТЕХЗПМШОЙЛ.
ч ДБМШОЕКЫЕН ПУОПЧОПЕ ЧОЙНБОЙЕ ХДЕМСЕФУС ЖХОЛГЙСН, ДМС ЛПФПТЩИ НОПЦЕУФЧБ X Й Y СЧМСАФУС ЮЙУМПЧЩНЙ, Ф.Е.
2.1. уРПУПВЩ ЪБДБОЙС ЖХОЛГЙК.
фБВМЙЮОЩК УРПУПВ ЪБДБОЙС. ьФПФ УРПУПВ УПУФПЙФ Ч ФПН, ЮФП ЖХОЛГЙС y = f (x) ЪБДБЕФУС ФБВМЙГЕК, УПДЕТЦБЭЕК ЪОБЮЕОЙС БТЗХНЕОФБ x Й УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ ЪОБЮЕОЙС ЖХОЛГЙЙ y. оБРТЙНЕТ, ФБВМЙГЩ ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК, ФБВМЙГЩ МПЗБТЙЖНПЧ Й Ф.Д.
зТБЖЙЛ ЮЕФОПК ЖХОЛГЙЙ УЙННЕФТЙЮЕО ПФОПУЙФЕМШОП ПУЙ ПТДЙОБФ, Б ОЕЮЕФОПК ПФОПУЙФЕМШОП ОБЮБМБ ЛППТДЙОБФ. еДЙОУФЧЕООПК ЖХОЛГЙЕК, ПВМБДБАЭЕК УЧПКУФЧПН ЮЕФОПУФЙ Й ОЕЮЕФОПУФЙ ПДОПЧТЕНЕООП СЧМСЕФУС ЖХОЛГЙС y=0
2.2.2. нПОПФПООПУФШ. жХОЛГЙС f ОБЪЩЧБЕФУС ОЕХВЩЧБАЭЕК, ЕУМЙ ДМС МАВЩИ 
ФБЛЙИ, ЮФП x1 f (x2) ; Ф.Е.
2.3. оЕУФБОДБТФОЩЕ ЖПТНЩ ЪБРЙУЙ ЖХОЛГЙК.
2.3.1. пВТБФОБС ЖХОЛГЙС.
. жХОЛГЙС 
, ЛПФПТБС УФБЧЙФ Ч УППФЧЕФУФЧЙЕ ЛБЦДПНХ ЬМЕНЕОФХ 
ЬМЕНЕОФ 
ФБЛПК, ЮФП y=f (x) ОБЪЩЧБЕФУС ПВТБФОПК Л f:
2.3.2. уМПЦОБС ЖХОЛГЙС.
йОПЗДБ ЧПЪОЙЛБАФ УМХЮБЙ, ЛПЗДБ ОЕЧПЪНПЦОП ЙМЙ ОЕ ГЕМЕУППВТБЪОП ЙУЛБФШ БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ ЧЩТБЦЕОЙЕ УХЭЕУФЧХАЭЕК ЖХОЛГЙПОБМШОПК ЪБЧЙУЙНПУФЙ. фПЗДБ ЙУРПМШЪХАФУС ДТХЗЙЕ ЖПТНЩ ЪБРЙУЙ ЖХОЛГЙК.
рХУФШ ЖХОЛГЙПОБМШОБС ЪБЧЙУЙНПУФШ f ПРТЕДЕМСЕФУС ДЧХНС ЙМЙ ОЕУЛПМШЛЙНЙ БОБМЙФЙЮЕУЛЙНЙ ЧЩТБЦЕОЙСНЙ.
фПЗДБ ЖХОЛГЙС 
, ОБЪЩЧБЕФУС УМПЦОПК ЖХОЛГЙЕК ЙМЙ ЛПНРПЪЙГЙЕК ЖХОЛГЙК F Й 
.
рТЙНЕТ: дБОБ ЖХОЛГЙС 
, РТЙЮЕН 
. оБКФЙ ЖХОЛГЙА 
.
йФБЛ, УМПЦОБС ЖХОЛГЙС 
. ъБНЕФЙН, ЮФП ОЕ ЧУСЛБС УПЧПЛХРОПУФШ БОБМЙФЙЮЕУЛЙИ ЧЩТБЦЕОЙК ПРТЕДЕМСЕФ ЖХОЛГЙА, ОБРТЙНЕТ
2.3. 3. рПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ.
рПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ, ЛБЛ Й МАВПЕ ВЕУЛПОЕЮОПЕ НОПЦЕУФЧП, ОЕЧПЪНПЦОП ЪБДБФШ РХФЕН РЕТЕЮЙУМЕОЙС ЧУЕИ ЕЈ ЬМЕНЕОФПЧ, РПЬФПНХ УБНЩК РТПУФПК УРПУПВ ЪБДБОЙС РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЬФП ХЛБЪБФШ, Ч СЧОПН ЧЙДЕ, ЪБЧЙУЙНПУФШ ЬМЕНЕОФБ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ПФ ЕЗП ОПНЕТБ, Ф.Е. ЪБДБОЙЕ «ЖПТНХМЩ ПВЭЕЗП ЮМЕОБ» Ч ЧЙДЕ xn=f (n).
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
ФБЛХА РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ОБЪЩЧБАФ УФБГЙПОБТОПК;
5) 
.
дТХЗЙН УРПУПВПН ЪБДБОЙС РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ УМХЦЙФ УРПУПВ, ЛПФПТЩК ОБЪЩЧБЕФУС ТЕЛХТТЕОФОЩН. пО УПУФПЙФ Ч ФПН, ЮФП РПУМЕДХАЭЙК ЬМЕНЕОФ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЧЩЮЙУМСЕФУС РП РТЕДЩДХЭЕНХ. уХЭЕУФЧХАФ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ, ЛПФПТЩЕ НПЦОП ЪБДБФШ Й ТЕЛХТТЕОФОП Й У РПНПЭША «ЖПТНХМЩ ПВЭЕЗП ЮМЕОБ». ьФП, ОБРТЙНЕТ, БТЙЖНЕФЙЮЕУЛБС Й ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛБС РТПЗТЕУУЙЙ.
фБЛ, ЛБЛ МАВБС ЮЙУМПЧБС РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ЕУФШ ЖХОЛГЙС ОБФХТБМШОПЗП БТЗХНЕОФБ, ФП НПЦОП ЗПЧПТЙФШ П НПОПФПООПУФЙ Й ПЗТБОЙЮЕООПУФЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ.
ъБНЕЮБОЙЕ. нПЦОП РПУФТПЙФШ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ, ЛПФПТЩЕ ОЕ СЧМСАФУС ЮЙУМПЧЩНЙ. оБРТЙНЕТ, ЕУМЙ ЙЪП ДОС Ч ДЕОШ РЕТЕРЙУЩЧБФШ РФЙГ, РТПМЕФБАЭЙИ ПЛПМП ПЛОБ, РПМХЮЙН РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ, ЮМЕОБНЙ ЛПФПТПК УМХЦБФ РФЙГЩ, РТЙФПН ПДОБ Й ФБ ЦЕ РФЙГБ НПЦЕФ ВЩФШ ЪБРЙУБОБ ОЕ ПДЙО ТБЪ. дТХЗЙН РТЙНЕТПН УМХЦЙФ ЛБФБМПЗ ОЕВЕУОЩИ ЪЧЕЪД.
оБЪБД
Чётные и нечётные функции
Сегодня мы разберём:
1. Определение
Примеры чётных функций:
Примеры нечётных функций:
2. Исследование функции на чётность
Чтобы узнать, является функция чётной или нечётной (или вообще общего вида), нужны две проверки:
Главное, чтобы функция была задана формулой, а не таблицей, графиком или ещё как. Тогда исследование на чётность занимает несколько секунд. Мы сейчас убедимся в этом, но сначала важное замечание.
Примеры симметричных множеств:
Примеры несимметричных множеств:
Первые два множества несимметричны всего в одной точке (кстати, какой?). Но этого достаточно, чтобы прекратить исследование и отнести функцию к общему виду.
Разберём несколько примеров. Для начала — стандартный:
Исследуйте на чётность / нечётность функцию
А вот более хитрый случай:
Исследуйте на чётность / нечётность функцию
Область определения. Перед нами рациональная дробь. Её знаменатель должен быть отличен от нуля:
\[\begin
Следовательно, область определения
Дальше попробуйте сами:
Исследуйте на чётность / нечётность функцию
Умение быстро определять чётность — чрезвычайно полезный навык. Особенно когда вы начнёте решать задачи с параметрами и всевозможные варианты ДВИ.
3. График чётной и нечётной функции
Всего два факта, которые нужно знать:
Ниже приведены графики нескольких чётных функций. Попробуйте построить их самостоятельно.
Постройте график функции
Постройте график функции
Это обычная гипербола, сдвинутая на 1 влево и на 2 вверх. Итого получим:
Обратите внимание на последний график. При всяком сдвиге и симметрии желательно показывать не только новое положение самого графика, но и положение всех ориентиров: вспомогательная система координат, вертикальные и горизонтальные асимптоты (особенно актуально для гипербол) и т.д.
Зачем всё это нужно? Исследование функции на чётность и нечётность незаменимо для решения сложных уравнений и задач с параметром:
4. Дополнение. Задачи с параметром
Чётность функций редко встречается сама по себе. Прежде всего это инструмент для решения сложных задач.
Задача решена. Ответы:
И ещё одна задача. Попробуйте решить её самостоятельно:
А чтобы действительно разобраться с чётностью, обязательно изучите ещё две темы:
После этого половина задач с параметром перестанет казаться вам сложными.:)