Что значит фигуры пересекаются

Презентация к уроку

Цели:

Литература: Учебник Л.Г. Петерсон «Математика» 2 (1-4) с.76-77, мет. пособия: Л.Г. Петерсон «Математика во 2 классе» с. 87-88.

Оборудование: Компьютер, интерактивная доска, мультимедийный проектор, карточки с индивидуальными заданиями, инвентарь для фокусов, краски.

По типу урок введения нового знания.

Применяются фронтальная, индивидуальная, самостоятельная формы организации познавательной деятельности учащихся:

Форму урока составляют традиционные структурные компоненты.

Организационный момент имеет мобилизующий характер, реализуется в стихотворной форме. Он же обозначает в уроке сюжетную линию.

Устный счет включал в себя разноплановые задания:

Работа с геометрическим материалом реализуется в виде индивидуальной самостоятельной формы работы.

Отработка вычислительных навыков проходит в форме самостоятельной работы одновременно на индивидуальных карточках и у доски. Поэтапное нажатие правильных ответов на интерактивной доске приводит к раскрашиванию изображенной лошадки.

Данный тип урока предполагает закрепление умения решать задачу на сравнение.

Электронные физкультминутки были специально разработаны для данного урока и использованы с целью здоровьесбережения учащихся, раскрепощения.

Включение фокусов, подводящих к выполнению определенного задания не только помогают поддержать сюжетную линию, но и позволяют включить в урок сведения, способствовавшие познавательной активности детей, развитию кругозора, снятию эмоционального напряжения.

Интеграцией в данный урок является цветовая диагностика с использованием техники фотокопии. Это позволяет детям выразить чувства на символическом уровне и выявить благоприятное воздействие происходящих на уроке событий. Ведь восприятие цвета меняется в зависимости от состояния и настроения.

Ход урока

I. Организационный момент.

Мы в цирк идём,
Займём места
Согласно вашему билету.
Нам интересно будет здесь,
Ведь здесь чудес у нас не счесть
И вы увидите все это!

II. Этап положительного самоопределения в учебной деятельности.

Упомянуть о клоуне Фоке (стих приветствие, проверка готовности, настрой на урок)

Вот первый гость,
Он клоун – Фока.
Умеет всё,
Он в деле дока.
И настроенье у него – Во… (показать…)
Всегда отличное.
А у вас какое?

(Цветовая диагностика настроения)

– У кого сегодня хорошее настроение? Раскрасьте карандашом бантик у клоуна Фоки в зеленый цвет, если настроение хорошее, в синий – если не очень хорошее, в красный – если плохое.

– Постараемся с хорошим настроением поработать на уроке.

Устный счёт:

– Ребята, мы с Фокой приглашаем сюда счастливого обладателя билета под номером 420! (выходит ребёнок) За смелость примите конфету!

– Нам нужны ещё смельчаки.

– Назовите предыдущее от 420 число (419).

– Назовите число, следующее за 699 (700).

– Назовите число, состоящее из 4 сотен, 5 единиц. (405).

– Назовите число, состоящее из 3 сотен, 4 десятков, 2 единиц (342).

– Какое число увеличили на 117 и получили 247 (130).

– Какое число в этом примере является самым маленьким (832-30+25=827)? (25).

– Какое в этом примере самое большое однозначное число (16-6-2=8)? (8).

– Обладатели билетов с номерами 2 и 366.

– Какой цирк без ФОКУСОВ?

Цирк без фокусов не цирк –
Это знает каждый.
Если скажем: «Але-апп!»
И перевернём вдруг карты,
То получим слово мы.
Ну, готовы, раз, два, три. (Але-апп!)

– Получилось слово? (Слово – ПЕРЕСЕЧЕНИЕ) (Слайд)

– Как вы понимаете слово пересечение?

– Кто догадался, какая тема сегодняшнего урока?

Тема нашего урока «Пересечение геометрических фигур»

Фокус с ниткой.
Фока, что это такое
У тебя на пиджаке?
Убери скорее нитку,
Спрячь её своей руке.

Бесконечная нитка

Фокусник замечает у себя на пиджаке, около лацкана, белую нитку, несколько раз пытается смахнуть ее. Но нитка не «смахивается». Фокусник берет ее конец и тянет вниз. Нитка начинает вытягиваться из пиджака. Чем больше она вытягивается, тем больше удивляется фокусник. А длина нитки — несколько десятков метров! Механика фокуса: белая нитка с катушки наматывается на короткий цветной карандаш (столько, сколько намотается), кладется в боковой внутренний карман и ее хвостик (1—2 см) протаскивается иголкой сквозь ткань пиджака наружу. Карандаш нужен для того, чтобы в кармане «не осталось следов», если кто-то из зрителей попросит фокусника показать карман; карандаш — не катушка, он не поможет разгадке этого фокуса.

– На какую геометрическую фигуру похожа эта ниточка? (прямая, отрезок, луч) (Интернет-ресурс)

III. «Открытие» учащимися новых знаний.

1. Посмотрите на этот рисунок.

Кот в путь отправиться готов,
Но как ему пройти?
Ведь параллельные
Натянуты пути.

Что вы здесь видите? (геометрические фигуры)

– Назовите их. (точка, прямые параллельные и пересекающиеся,)

– Какие прямые на рисунке можно назвать параллельными?

– Какие могут пересекаться?

– Они могут пересекаться только в одной точке?

– Где в жизни мы можем встретить пересекающиеся прямые?(рамы на окне)

– А параллельные прямые?(рельсы, высоковольтные линии)

2. Работа на индивидуальных листочках.

Чтобы найти точки пересечения прямых, лучей и отрезков, нужно:

– Начертить параллельные линии и пересекающиеся.

– Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.

IV. Физминутка двигательная

V. Самостоятельная работа с проверкой

Математический фокус с карандашами

Факир, волшебник он и маг
Всё отгадать ему пустяк.
Он вам карандаши припас.
А сколько? Ты узнай сейчас.

Из коробки уберите часть карандашей. Предложите желающему из зрителей задумать любое число из второго десятка. Цифры этого числа пусть сложит между собой. Когда вам назовут результат, такое количество карандашей верните обратно в коробку.

Если теперь зритель пересчитает в коробке все карандаши, то их количество будет равно задуманному числу.

Секрет фокуса: В коробке нужно оставить девять карандашей — остальные убирать. Какое бы число ни задумали зрители, сумма его цифр (если к ней прибавить 9) будет равна задуманному числу. Например: задумали число 17. 1 + 7 = 8. Восемь карандашей верните обратно в коробку. 9 + 8 = 17.(Интернет-ресурс)

– Внимание, на арене нашего цирка благороднейшая маркиза по имени Алиса!

Вот лошадка без попоны,
Но скакать она готова.
Только помогите ей
И раскрасьте поскорей.

При нажатии правильного ответа закрашивается определенная часть лошадки.

VI. Физминутка для глаз.

VII. Закрепление изученного материала.

– У нас в цирке есть ещё одна незаменимая артистка! И вы не поверите, это тоже крупнокопытное млекопитающее животное!

Выгоняли рога
Погулять на луга.
И рога вечерком
Прибрели с молочком.
(Ответ: Корова) (Слайд)

– Ребята, кто первым найдёт в учебнике задание о наших артистках, тому – приз! (задача № 8) (Слайд с этими животными)

VIII. Д/з.

IХ. Подведение итогов урока.

(стих)

– Вот и окончено наше представление!

– Чему учились? Что вы нового узнали?

– Вам понравилось? И клоун Фока очень доволен вашими успехами!

Спасибо, Фока говорит.
Вас всех, ребята, хвалит
И на прощанье вам всем
Он свой портрет подарит.

Фока дарит вам свой портрет. Переверните карточки. Видите его счастливую мордочку? Нет? И не удивительно! Как же в цирке без фокусов? Этот фокус вы сделаете сами. Для того чтобы увидеть изображение Фоки, вы должны ярко закрасить лист цветом своего настроения. (Сквозь краску проявляется восковое изображение).

Источник

Урок математики по теме «Пересечение геометрических фигур». 2-й класс

Класс: 2

Оборудование: учебник, тетрадь, презентация, сигнальные карточки, алгоритм самооценки, линейка, карандаш, алгоритм работы, сигналы – мордашки для самооценки.

Ребята, у нас сегодня гости, повернитесь, поздоровайтесь кивком головы.

Улыбнемся друг другу, создадим хорошее настроение.

Руки? (на месте)
Ноги? (на месте)
Локти? (у края)
Спина? (прямая)

Будьте на уроке внимательны, активны.

2. Минутка чистописания (слайд 1).

Ребята прописывают указанное число, рассказывают, что о нем знают.

Запишите число, классная работа.

3. Актуализация знаний.

1) Индивидуальная работа у доски (2 ребят работают самостоятельно).

а) Вставьте пропущенные цифры (№11 с.75).

б) Найдите значения выражений:

е	18+17=
е	60-9=
е	93-30=
е	13+14=
е	10+33=

3) Слайд 3. Прочитайте задание.

Проверка индивидуальной работы с помощью сигнальных карточек.

Ученики оценивают свои ответы с помощью листа самооценки.

Слайд 4. Расставьте ответы примеров в порядке возрастания и запишем в таблицу соответствующие буквы.

Какое слово получилось? (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ) Слайд 5.

Как вы понимаете это слово?

4. Постановка цели урока.

Работа с геометрическим материалом.

5. “Открытие” нового материала.

Физминутка. Игра “Запрещенное движение” (ребята повторяют движения за учителем, за исключением движения пересечения рук).

6. Первичное закрепление нового знания.

Обратимся к учебнику. Выполним упражнение 1 на с. 76. (слайд 8)

Прочитайте задание. В № несколько заданий. Будем выполнять пошагово.

1 шаг. Какие прямые на рисунке параллельны? Почему? Покажите с помощью рук параллельные прямые. Где в классе можно встретить параллельные прямые?

Какие прямые пересекаются?

2 шаг. Найдите точки пересечения и обозначьте их буквами.

Работаем по алгоритму. Как найти точку пересечения 2-х прямых? Почему можно продолжить прямые в 2-х направлениях? Продолжите прямые. Найдите точки пересечения и обозначьте их буквами.

Посмотрите внимательно на рисунок, нет ли других пересекающихся прямых? Какие?

7. Самостоятельная работа в парах.

Выполняем упражнение 3 с. 76.

Здесь одно задание или несколько. Прочитайте задание по шагам. Сможете ли задание выполнить самостоятельно? Работайте в парах по шагам.

Проверка работы (слайд 9).

На странице изображены сказочные герои. Узнали их? Из какой они сказки? Кто автор?

8. Закрепление материала.

Задание на смекалку (слайд 10).

№10 выполняем коллективно в тетради и на доске. Ученик делает самооценку своей работы.

№11 (1,2 по вариантам) Двое детей работают у доски.

Домашнее задание: с. 77 №11, №12 (на смекалку).

Источник

Урок математики во 2-м классе по теме «Пересечение геометрических фигур»

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Используемые учебники и учебные пособия: Л.Г. Петерсон. Математика. 2 класс.

Используемая методическая литература: Л.Г. Петерсон. математика, 2 класс. Методические рекомендации для учителей.

Оборудование: схемы и эталоны для самопроверки, цветные магнитики, мультимидейный проектор, ноутбук.

I. Самоопределение к учебной деятельности

Начинаем наш урок.
Пусть он будет всем вам впрок.
Постарайтесь всё понять,
Учитесь тайны открывать
Ответы полные давайте
И на уроке не зевайте!
Я хочу, чтобы каждый из вас
По окончании урока мог сказать:
«Сегодня я много работал, творил,
Знание новое для себя открыл.
Эти знания умею применять,
Задания мне легко выполнять».

1. Психологический настрой «Цепочка дружбы»

– Давайте встанем в круг! Настроимся на работу!
– Протрите ладони, почувствуйте тепло!
– А теперь поделимся теплом друг с другом: потяните ладони соседям!
– У нас получилась «цепочка» дружбы! Улыбнёмся, пожелаем друг другу удачи!

2. Мониторинг эмоционального состояния

– Садитесь, пожалуйста. Откройте свои тетради. Напишите число, классная работа. Нарисуйте на полях тетради ваше настроение.
– Приготовьтесь к устному счёту.

Запомните все!
Что без точного счета,
Не сдвинется с места
Любая работа.

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности

1. «Цепочки» примеров

Соревнуются три команды. Необходимо решить примеры быстро и без ошибок.

2. «Давайте подумаем»

– Рассмотрите внимательно каждый ряд предметов.
– Проанализируйте. Какое изображение должно быть следующим в каждом ряду? Почему? Докажите.

– Перечислите геометрические фигуры в последовательности C. Почему они так называются?
– Как их назвать одним словом, объединив по общему признаку? (Многоугольники.)
– Рассмотрите чертеж. Что можете сказать?

(Отрезок AB и прямая AB.)

– Найдите у них общее и отличие. (Геометрические фигуры, незамкнутые линии обозначены одними буквами. Отличие: отрезок ограничен, имеет начало и конец; прямая не ограничена, бесконечна.)
– Отметьте на отрезке и на прямой точки C и D.
– Сколько получилось отрезков? Почему?

(AB, AC, AD, CD, CB, DB) (CD)

– Можно ли утверждать, что отрезок и прямая пересекаются?
Дети: …..

3. Устный счёт

– Вычислите устно выражения и узнайте тему нашего урока.

4 + 9Е

61 – 41Н

53 + 8Р

40 – 5

75 – 8

80 – 76

П37 + 33

У.: А теперь запишем соответствующие буквы в таблицу. Что получилось?
Д.: Пересечение.
У.: Что сегодня будем изучать? (Предположения детей)

4. Работа в парах (задание на листочках)

У.: Какие геометрические фигуры нарисованы на ваших листочках?
Д.: Прямая, луч.
У.: Вы можете утверждать, пересекаются эти фигуры или нет? Если да, то в какой точке это происходит?

III. Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности

У.: Где возникло затруднение? Почему оно возникло?
Д.: Не знаем.
У.: Чему будем учиться на уроке?
Д.: Находить точку пересечения геометрических фигур.

IV. «Открытие» нового знания

Учебник М-2, ч.1. №1,с.76.

1. Построение проекта выхода из затруднения (построение алгоритма)

2. Составление алгоритма действий:

3. Вывод:

– Чтобы узнать пересекаются прямые или нет, нужно их продолжить в двух направлениях.
У.: А теперь скажите, какие прямые пересекаются?
Д.: Прямые с и d, с и b, с и а, d и b, d и а пересекаются.
У.: Ребята, а в жизни где можно встретить пересечение прямых? (Дороги)

V. Первичное закрепление во внешней речи (с проговариванием)

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Учебник М-2, ч.1. № 3, с. 76 (слайд 14.)

Самопроверка (по эталону).

– У кого всё правильно? Молодцы!
– У кого были ошибки, поставьте на полях знак вопроса.

Физкультминутка (слайды 15-19)

Упражнения для глаз

– Закроем глазки. Поиграем глазками в часики. На слова тик-так водим глазами влево и вправо (по 3 раза), затем вниз и вверх (3 раза). Откройте глаза.
– Посмотрим себе на кончик носика, затем на жирную точку на доске. (3 раза повторить).

Смотрим прямо, дышим ровно, глубоко.
Смотрим влево, смотрим вправо.
Спинка ровная у нас,
А осанка – высший класс!

VII. Включение в систему знаний и повторение

Учебник М-2, ч.1. Задача 8 (слайды 20, 21)

– Что известно в задаче? (Ответы)
– Какая схема подходит к нашей задаче? Оденьте схему.
– Что нужно найти? (Разность)
– Как найти разность? (От большего числа отнимаем меньшее число)

Решение уравнений. № 11(1, 2) по рядам (слайд 22)

– Найдите целое в первом уравнении. Подчеркните части.
– Что неизвестно? (Целое)
– Как найдём целое? (Части прибавляем)
– Найдите целое во втором уравнении. Подчеркните части.
– Что неизвестно? (Часть)
– Как находим часть? (От целого отнимаем известную часть)

Проверка по эталону

– У кого всё правильно? Молодцы!
– У кого были ошибки, поставьте на полях знак вопроса.

VIII. Рефлексия учебной деятельности

У.: Какую цель поставили мы перед уроком?
Д.: Научиться находить пересечение фигур.
У.: Удалось ли решить задачи поставленные перед собой?
Д.: Да.
У.: Были ли у вас затруднения? Где оно возникло? (Ответы детей.)

Оцените свою работу:

– Если вы всё сделали без ошибок и не затруднялись, прикрепите на доску зелёный магнит.
– Если вам было немного трудновато, но вы научились решать эти задания, то прикрепите синий магнит.
– Если вы ещё не всё поняли и нужна вам помощь, прикрепите красный магнит.
– Отметьте, с каким настроением вы заканчиваете сегодня урок.
– Нарисуйте на полях тетради, лицо, которое отражает ваше настроение к концу урока.
– Молодцы! Вы очень хорошо работали на уроке!

IX. Домашнее задание: № 10, с. 77, № 12 (по желанию)

Источник

Взаимное пересечение поверхностей в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Взаимное пересечение поверхностей:

При пересечении поверхностей образуется линия, которую принято называть линией взаимного пересечения поверхностей. Эта линия пересечения принадлежит одновременно двум поверхностям. Поэтому построение линии пересечения сводится к определению точек одновременно принадлежащих обеим поверхностям. Для нахождения таких точек используется в общем случае метод вспомогательных секущих поверхностей. Сущность способа заключается в следующем: Пусть задано две поверхности

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

В качестве посредников могут быть приняты как поверхности, так и плоскости, но целесообразно выбирать такие, которые дают наиболее простые линии пересечения с заданными поверхностями.

Взаимное пересечение поверхностей

Чтобы определить проекцию линии пересечения, необходимо найти проекции точек, общих для этих поверхностей. Их находят способом вспомогательных секущих плоскостей или вспомогательных сфер.

Если рёбра призмы или ось вращения цилиндра перпендикулярны какой-либо из плоскостей проекций, то на этой плоскости проекций линия пересечения совпадает с контуром основания призмы или цилиндра.

Пересечение двух многогранников

По чертежу видим, что только ребро DD’ пресекает поверхность пирамиды. Для определения точек пересечения 5 и б через ребро DD’ проводим горизонтальную плоскость, которая пересекает пирамиду по треугольнику. Точки 5 и 6 получаем, как пересечение DD’ с построенным треугольником.

Полученные точки соединяем с учетом видимости. Видимой считается тот отрезок прямой, который принадлежит двум видимым граням поверхностей.

Как видим, линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную ломаную линию.

Пересечение гранной и кривой поверхности

Линия пересечения гранной и кривой поверхности, представляет собой пространственную кривую линию, с точками излома на ребрах многогранника.

Поэтому сначала определяем точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью, а затем промежуточные точки и соединяем их с учетом видимости. На рисунке 9.3 заданы поверхности трехгранной призмы и кругового конуса.

Так как призма фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию линии пересечения.

Сначала определяем точки пересечения ребер призмы с поверхностью конуса, а затем находим промежуточные точки, принадлежащие линиям пересечения. Для нахождения точек пересечения, используем горизонтальные плоскости посредники, так как они пересекают конус по окружностям, а призму но прямым линиям. Как видим, в данном случае линия пересечения распадается на две отдельные части.

Пересечение двух кривых поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Линия пересечения двух кривых поверхностей, представляет пространственную кривую линию. Поэтому для ее построения необходимо определить ряд точек принадлежащих этой лини.

На рисунке 9.4 заданы поверхности конуса и сферы. Точки строятся при помощи горизонтальных плоскостей посредников, которые рассекают обе поверхности но окружностям.

Обязательно находим опорные точки, к которым относятся высшая и низшая точки линии пересечения и точки границы видимости. Так как оси поверхностей лежат в одной фронтальной плоскости, контурные образующие поверхностей пересекаются в точках 1 и 2 — это и будет высшая и низшая точки. Точки границы видимости лежат на экваторе сферы, поэтому точки 3 и 3′ находим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости, проходящей через центр сферы. Она рассекает сферу по экватору, а конус но параллели радиуса R.

Взаимно пересекаясь, они и дают точки 3 и 3′ фронтальную проекцию определяем по вертикальной линии связи на плоскости Затем берем еще две вспомогательные плоскости расположенные выше и ниже плоскости и выполняя, аналогичные построения определяем точки 4 и 5 и 5′. Полученные точки соединяем с учетом видимости.

Пересечение поверхностей вращении. Метод вспомогательных секущих сфер

Способ вспомогательных секущих сфер применяется при следующих условиях:

Перед рассмотрением этого способа разберем понятие соосных поверхностей. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Соосные поверхности пересекаются по окружностям перпендикулярным оси вращения.

На рисунке 9.5 приведены некоторые из них.

Именно то, что поверхности пересекаются по окружностям, которые проецируются в линии и используется в методе сфер.

В данном случае минимальная сфера вписана в конус. Минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности, а цилиндр пересекает по окружности. Нужно, иметь ввиду, что проекции окружностей пересечения перпендикулярны осям вращения. Эти две окружности пересекаются в точке . Фактически таких точек две, они совпадают на фронтальной проекции. Для построения промежуточных точек берем вспомогательные сферы радиусов в пределах от

Они пересекают и поверхность цилиндра, и поверхность конуса по окружностям, которые пересекаясь даюг промежуточные точки. Полученные точки соединяются плавной линией.

Здесь построена только фронтальная проекция. Для построения горизонтальной проекции, если это необходимо, точки строят как лежащие на окружностях полученных радиусов.

Теорема Монжа

Рассмотрим вариант, когда минимальная сфера касается двух поверхностей вращения. В этом случае для построения линии пересечения поверхностей используется теорема Г. Монжа, которая формулируется так:

Если две поверхности вращении второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линии их пересечении распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходит через прямую, соединяющую точки пересечении линий касании.

Пересечение поверхностей вращения с многогранниками

Внешние и внутренние формы большинства предметов образуются сочетанием нескольких поверхностей. Пересекаясь между собой, они образуют линии, которые принято называть линиями перехода.

Рисунок 9.1 – Корпус с линиями перехода

Линия пересечения многогранника с телом вращения в общем случае состоит из отдельных участков кривых линий, получающихся при пересечении граней многогранника с поверхностью вращения. Точки перехода от одного участка к другому находятся в пересечении ребер многогранника с телом вращения и называются точками излома. Участок линии пересечения может быть и прямой линией в случае пересечения линейчатой поверхности вращения гранью многогранника по образующей.

При проницании (полном пересечении) получаются две замкнутые линии пересечения. Они могут быть плоскими (поверхность вращения проницает одну грань) или пространственными, состоящими из нескольких плоских кривых с точками излома в местах пересечения поверхности вращения ребрами многогранника.

При врезании (неполном пересечении) получается одна замкнутая пространственная линия.

Таким образом, в соответствии с указанным выше, задачи данной темы решаются по следующему плану:

При построении точек линии пересечения многогранников с телами вращения используют вспомогательные секущие плоскости. Их располагают так, чтобы они пересекали данные поверхности по простым для построения линиям (прямым или окружностям).

Рассмотрим линии пересечения поверхности прямой трехгранной призмы с поверхностью конуса вращения. Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями, а ось конуса перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.

Призму можно рассматривать, как три плоскости, проходящие через ее грани, а задача сводится к нахождению линий пересечения этих плоскостей с конусом.

Пример. Построить линию пересечения поверхности тора с поверх-ностью трехгранной призмы (рис. 9.3).

Решение. Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями и фронтальная проекция линии пересечения совпадают с проекцией боковой поверхности призмы. Из фронтальной проекции видно, что в данном случае имеет место проницание тора призмой (две замкнутые линии пересечения).

На рис. 9.3 рассмотрен пример пересечения поверхностей тора и треугольной призмы [2].

По двум заданным проекциям строим третью – профильную.

Рисунок 9.3 – Построение линии пересечения трехгранной призмы с тором

Заданная призма – горизонтально-проецирующая. Так как грани призматического отверстия перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, то на чертеже известна горизонтальная проекция линии пересечения, она совпадает с вырожденной проекцией поверхности призмы.

Следовательно, линия пересечения совпадает с горизонтальной проекцией основания призмы.

Определяем характерные точки: самую близкую точку 1 фронтальной плоскостью и самые далекие – и 3 фронтальной плоскостью S ().

Определяем промежуточные точки 4 и 5 при помощи вспомогательных фронтальных плоскостей .

Соединяем полученные точки плавной кривой линией с учетом видимости.

Пересечение поверхностей вращения

Линия пересечения двух поверхностей вращения в общем случае представляет пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми и даже прямыми линиями.

Линию пересечения поверхностей обычно строят по ее отдельным точкам. Точки подразделяются на характерные (опорные) и промежуточные (случайные).

Общим способом построения этих точек является способ вспомогательных секущих поверхностей – посредников. При пересечении данных поверхностей вспомогательной поверхностью определяются линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников применяются плоскости или сферы.

Для определения линии пересечения часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей.

Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

В качестве вспомогательных секущих плоскостей чаще всего используют плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.

Положение их выбирают таким, чтобы они пересекали заданные поверхности по простейшим линиям – прямым или окружностям.

Этот способ рекомендуется применять, если сечениями заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями. Такая возможность существует в трех случаях:

Пересечение цилиндрической и торовой поверхности

Если одна из поверхностей является цилиндрической проецирующей поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, так как в этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с окружностью – проекцией цилиндра на перпендикулярную плоскость проекций.

На рис. 9.4 построена линия перехода между цилиндром и тором. Так как поверхность цилиндра перпендикулярна плоскости Н, то горизонтальная проекция линии перехода известна. Она совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальную и профильную проекции строим по принадлежности точек линии перехода не проецирующей поверхности тора.

Линия пересечения заданных поверхностей представляет собой пространственную кривую линию, имеющую фронтальную плоскость симметрии, образованную пересекающимися поверхностями цилиндра и тора.

Рассмотрим линию пересечения поверхности сферы с поверхностью конуса вращения (Рисунок 9.5).

Точки 1 и 7, расположенные на очерках фронтальных проекций конуса и сферы, очевидны и определяются без дополнительных построений.

Точка 4 на экваторе сферы построена с помощью горизонтальной плоскости, пересекающей конус по окружности. В пересечении горизонтальных проекций этой окружности и экватора находится горизонтальная проекция 4′ точки 4 и фронтальная 4» проекции точки 4 определим с помощью линии связи. Точка 4 на горизонтальной проекции разделяет кривую на видимую и невидимую части.

Точки 2, 3, 5 и 6, расположенные в промежутке между характерными точками 1,4 и 7 строим аналогично. С помощью линий связи определим фронтальные и горизонтальные проекции этих точек.

Особые случаи пересечения

Пересечение соосных поверхностей вращения

Соосными называют поверхности вращения, оси которых совпадают. Линия пересечения таких поверхностей строится на основании теоремы о пересечении соосных поверхностей вращения: соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружностям.

Если ось вращения соосных поверхностей перпендикулярна к какой либо плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде окружности, а на другую плоскость проекций – в прямую линию.

На рис. 9.6 даны примеры пересечения соосных поверхностей вращения (ось вращения параллельна горизонтальной плоскости). На рис. 9.6, а приведены сфера и конус, б – сфера и цилиндр, в – сфера и тор.

Теорема Монжа для пересекающихся поверхностей вращения

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Для этого случая пересечения поверхностей вращения необходимо выполнение трех условий:

Это положение подтверждается теоремой Монжа: Если две поверхности второго порядка могут быть вписаны или описаны около третьей поверхности второго порядка, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка распадается на две плоские кривые второго порядка.

Способ вспомогательных секущих сфер

При построении линии пересечения поверхностей вращения не всегда удается подобрать секущие плоскости так, чтобы они пересекали поверхности по линиям, проекции которых были бы прямыми или окружностями. В некоторых таких случаях в качестве секущих поверхностей (посредников) целесообразно применять сферы. Этот способ основан на свойстве сферы пересекаться с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы по окружности.

Чтобы сфера одновременно пересекала две поверхности по окружностям, проецирующимся в прямые линии, необходимо выполнить условия:

Пример. Построить проекции линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра (рис. 9.8) [1].

Заданы прямой усеченный конус и наклонный цилиндр – тела вращения. Их оси параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точке О(о′,о), т.е. соблюдены условия метода сфер.

Как и в предыдущих задачах, найдем проекции характерных точек. Точка 1 – самая высокая, точка 2 – самая низкая. Чтобы убедится в этом проведем через оси тел вспомогательную фронтальную плоскость . Эта плоскость рассекает рассматриваемые тела по крайним очерковым образующим, которые на фронтальную плоскость проекции проецируются без искажения и, пересекаясь между собой, образуют искомые точки 1′, 2′. С помощью вспомогательных сфер найдем другие точки линии пересечения заданных поверхностей. Для определения радиуса наименьшей сферы из центра О(о′) проведем две нормали, перпендикулярные очерковым образующим этих тел и большей нормалью выполним эту сферу. Эта сфера будет наименьшей , проведенной в большем теле, поэтому поверхности конуса она касается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка m′′n′′, а поверхность наклонного цилиндра пересекает по окружности, фронтальная проекция которой также проецируется в прямую линию k′′l′′. В пересечении k′′l′′ и m′′n′′ получим точку 3′′ – самую глубокую точку пересечения. Для нахождения промежуточных точек проведем ряд концентрических сфер, радиусы которых должны находится в пределе , и аналогично точке 3′′ находим необходимые промежуточные точки.

Учитывая, что сфера минимального радиуса всегда касается той поверхности, которая пронизывается другой, соединим найденные фронтальные проекции плавной кривой. Получим фронтальную проекцию линии пересечения. В нашем случае сфера радиусом касается поверхности конуса, значит, поверхность цилиндра пронизывает поверхность конуса.

Построим горизонтальную проекцию линии пересечения. Т.к. точки 1′′, 2′′ лежат на очерковой образующей конуса, то горизонтальные проекции этих точек находятся на оси конуса, т.е. на горизонтальной проекции этой образующей. Для нахождения горизонтальных проекций точек 3′, 4′, 5′ воспользуемся горизонтальными плоскостями , проведенными через эти точки соответственно. Каждая плоскость рассекает поверхность конуса по окружности, которая на горизонтальной плоскости проекций не искажается. По линиям связи найдем горизонтальные проекции точек 3′, 4′, 5′.

Для правильного соединения точек определим их видимость. Границей видимости на плоскости Н является точка 4′′, лежащая на осевой фронтальной проекции цилиндра. Горизонтальные проекции ее находятся на очерковых образующих цилиндра. Соединив плавной кривой найденные точки, получим горизонтальную проекцию линии пересечения рассматриваемых тел.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Этот способ применим тогда, когда контуры отдельных сечений представляют прямые линии или окружности.

Проведём еще ряд горизонтальных секущих плоскостей и определим проекции других промежуточных точек линии пересечения, которые соединим лекальной кривой с учётом видимости.

При взаимном пересечении конуса и цилиндра (рисунок 1) ось вращения цилиндра перпендикулярна . Значит, на линия пересечения совпадет с контуром основания цилиндра, т.е. фронтальной проекцией линии пересечения будет являться фронтальная проекция цилиндра.

Построив горизонтальную проекцию линии пересечения, на на пересечении горизонтальной оси симметрии цилиндра с проекцией цилиндра наметим точки — точки границы видимости линии пересечения, лежащие на экваторе цилиндра.

Способ вспомогательных сфер

Этот метод можно применять при соблюдении следующих условий :

Сфера проходит через самую дальнюю очевидную точку.

Сфера пересекает тела по окружностям, проецирующимся на одну из плоскостей проекций отрезком.

1. Определяем очевидные точки

1. Проводим ещё ряд секущих сфер радиусом больше минимальной и меньше максимальной и определяем другие промежуточные точки линии пересечения, которые соединяем лекальной кривой с учётом видимости.

Большее тело поглощает меньшее.

2. Видимость линии пересечения определяем следующим образом:

Элементы технического рисования

Обычно технический рисунок выполняется в изометрии.

Технические рисунки получаются более наглядными, если их покрыть штрихами. При нанесении штрихов считают, что лучи света падают на предмет справа и сверху или слева и сверху.

Взаимное пересечение поверхностей с примерами

Алгоритм решения задач по определению линии пересечения поверхностей Ф’ и Ф» (рис. 9.1) в целом аналогичен решению второй позиционной задачи и состоит в следующем:

Рис. 9.1. Пересечение поверхностей

Определение точек линии пересечения поверхностей начинают с построения так называемых опорных точек. К ним относятся:

Способ вспомогательных параллельных плоскостей

Рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового конуса и сферы (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Линия пересечения поверхностей прямого кругового конуса и сферы

Фронтальные плоскости уровня пересекают поверхность конуса по гиперболам, следовательно, для решения данной задачи нужно применить горизонтальные плоскости уровня, которые рассекают обе данные поверхности по окружностям.

Решение задачи начинают с построения опорных точек. Конус и сфера имеют общую плоскость симметрии γ(γ₁), параллельную плоскости П₂. Поэтому высшая точка A и низшая точка F линии пересечения получаются как результат пересечения очерковых образующих конуса и сферы (рис. 9.3).

Остальные точки определяются с помощью горизонтальных плоскостей уровня. Более подробно разберем построение точек E и E'(рис. 9.4).

2. Построив горизонтальные проекции окружностей m и q, определить точки их пересечения E и E’:
E₁= m₁ × q₁; E₂=E₁E₂α2.
E’₁=m₁ × q₁; E’₂=E_lE₂α2.

Рис. 9.3. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

3. Аналогичным образом определяются остальные точки, формирующие линию пересечения (рис. 9.5,а). Они получены с помощью горизонтальных плоскостей уровня β(β₂), δ(δ₂) и μ(μ₂). Пределы этих плоскостей по высоте определяют высшая и низшая опорные точки линии пересечения поверхностей. Плоскость μ(μ₂)рассекает поверхность сферы по очерковой образующей b (b₂, b₂),поэтому полученные точки В и В’ являются опорными, ограничивающими линию пересечения поверхностей по ширине.

4. Последовательно соединить одноименные проекции полученных точек плавной лекальной кривой. Полученная линия не должна выходить за пределы области перекрытия проекций данных поверхностей.

5. Определить видимость линии пересечения поверхностей и их очерковых образующих.

Поверхность конуса на горизонтальной плоскости проекций полностью видима, следовательно, видимость линии пересечения определяется по поверхности сферы. Видима будет та часть сферы, которая на П₂ лежит выше очерковой образующей b₂.Точки В и В’ на очерковой образующей сферы являются точками смены видимости линии пересечения на плоскости проекций П₁.
Искомая линия пересечения поверхностей конуса и сферы d(d₁,d₂) (кривая второго порядка), полученная способом вспомогательных секущих плоскостей, приведена на рис 9.5,б.

Способ вспомогательных сфер

Способ концентрических сфер

Этот способ применяется для построения линии пересечения поверхностей вращения произвольного вида, при условии, что оси этих поверхностей пересекаются.

В основу способа концентрических сфер положено свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности.

Если центр сферы находится на оси любой поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получатся окружности (рис. 9.6).

Рис. 9.7. Линия пересечения поверхностей цилиндра и прямого кругового конуса

Точка пересечения осей поверхностей принимается за центр вспомогательных концентрических сфер.

Алгоритм решения задачи об определении линии пересечения поверхностей состоит в следующем:

1. Определить опорные точки (рис. 9.8). Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии δ(δ₁), параллельную плоскости проекций П₂, то их очерковые образующие, по отношению к плоскости П₂,пересекаются. Точки A(A₁,A₂), B(B₁,B₂), C(C₁,C₂) и D(D₁,D₂) пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей.

2. Определить радиусы максимальной и минимальной сфер, необходимых для определения точек линии пересечения.

Радиус максимальной сферы R_max равен расстоянию от центра вспомогательных сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае Rmax=O₂A₂ (рис. 9.9).

В данном случае сферой минимального радиуса является сфера, касающаяся цилиндрической поверхности (см. рис. 9.9).

Сфера радиусом R_min касается цилиндрической поверхности по окружности m, которая на фронтальной проекции изображается в виде прямой m₂, перпендикулярной q₂(m₂q₂). Эта же сфера пересекает коническую поверхность по двум окружностям. Но, в данном случае, нам интересна только окружность n, так как только она дает решение. Эта окружность n изображается на фронтальной проекции в виде прямой n₂, перпендикулярной i₂(n2i₂). Точки E и Fпересечения этих окружностей будут принадлежать обеим поверхностям:

Чтобы построить горизонтальные проекции точек Е и F следует воспользоваться окружностью n, содержащей данные точки, так как она не искажается на плоскости проекций П₁:

Рис. 108. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

Рис. 9.9. Определение радиусов максимальной и минимальной сфер.

Для построения промежуточных точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке O, причем радиус R этих сфер должен изменяться в пределах R_min

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник