Что значит что неравенства равносильны

Понятие равносильных неравенств и неравенств-следствий.

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Равносильными неравенствами называются неравенства, имеющие одни и те же решения или не имеющие таковых.

Другими словами, если каждое, отдельно взятое, решение первого неравенства является решением второго неравенства, а каждое, отдельно взятое, решение второго неравенства является решением первого, то такие неравенства равносильны.

б) каждое из неравенств не имеет решений. Значит, эти неравенства равносильны;

в) неравенства и не являются равносильными, так как второе неравенство в множестве своих решений содержит число 5, которое не является решением первого неравенства.

Равносильное преобразование неравенства – это замена его другим, равносильным ему неравенством, то есть, неравенством, имеющим то же множество решений. Сами преобразования, приводящие к равносильному неравенству, также называют равносильными преобразованиями.

Перечислим наиболее часто используемые равносильные преобразования неравенств.

Если выражения в левой и (или) правой части неравенства заменить тождественно равными выражениями на всей области определения исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Если к обеим частям неравенства прибавить (или отнять) одно и то же выражение, не изменяющее область определения исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Если какой-либо член неравенства перенести из одной части в другую с противоположным знаком, то получится неравенство равносильное исходному.

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же выражение, положительное при всех значениях аргумента из области определения исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях аргумента из области определения исходного неравенства, и поменять знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное исходному.

Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится неравенство, равносильное исходному.

Если обе части неравенства неотрицательны на всей области определения, то возведя обе части неравенства в одну и ту же чётную степень, получится неравенство, равносильное исходному.

Приведём несколько примеров применения равносильных преобразований при решении неравенств.

Если решение первого неравенства содержится в решении второго неравенства, то второе является следствием первого.

Итак, в завершение ещё раз обращаем внимание на то, что при решении неравенств необходимо совершать равносильные преобразования, во избежание появления посторонних решений или потери решений.

Источник

Равносильные неравенства, преобразование неравенств

В процессе решения неравенств зачастую происходит переход от заданного неравенства к неравенствам иного вида, имеющим то же решение, но определяемое проще. Иными словами, в результате преобразований заданное неравенство возможно заменить равносильным ему, облегчающим поиск решения. Данная статья посвящена способам равносильных преобразований. Сформулируем определение, рассмотрим основные виды преобразований.

Равносильные неравенства: определение, примеры

Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.

Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.

Неравенства х > 3 и х ≥ 3 – не равносильные: х = 3 служит решением второго из этих равенств, но не служит решением первого.

Отметим, что указанное определение относится к неравенствам как с одной переменной, так и с двумя, тремя и более.

Равносильные преобразования неравенств

Возможно совершить некоторые действия с правой и левой частью неравенств, что даст возможность получать новые неравенства, имеющие решения, как и у исходного.

Равносильное преобразование неравенства – это замена исходного неравенства равносильным ему, т.е. таким, которое имеет то же множество решений. Сами действия-преобразования, приводящие к равносильному неравенству, тоже называют равносильными преобразованиями.

Равносильные преобразования дают возможность находить решения неравенств, преобразуя заданное неравенство в равносильное ему, но более простое и удобное для решения.

Рассмотрим основные виды равносильных преобразований: по сути без них не обходится решение ни одного неравенства. Отметим также, что равносильные преобразования неравенств очень похожи на равносильные преобразования уравнений. Схожи и принципы доказательства, только, конечно, в данном случае доказательства будут строиться на основе свойств числовых неравенств.

Итак, перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств:

Подобные преобразования не должны сужать ОДЗ заданного неравенства, тогда возможно совершать тождественные преобразования обеих сторон неравенства.

Покажем пример использования.

Еще раз особенно укажем, как важен учет ОДЗ (область допустимых значений) при совершении замены частей неравенства тождественными выражениями. В случае, когда ОДЗ нового неравенства будет отлична от ОДЗ исходного, неравенство не может считаться равносильным. Это крайне важный аспект, пренебрежение им приводит к неверным ответам при решении неравенств.

Таким же образом приводится доказательство второй части утверждения. Здесь можно опереться на свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число при смене знака неравенства на противоположный.

Расширим и это свойство неравенств:

В целом, есть и другие равносильные преобразования, однако, они не так распространены и скорее имеют отношение к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. Познакомиться с ними можно подробнее в соответствующей теме.

Результат неравносильных преобразований неравенств

Сколь уж существуют равносильные преобразования, имеют место и неравносильные. Такие действия приводят к искажению заданного неравенства и дают в итоге решение, не являющееся истинным для исходного неравенства. Случается, что и при неравносильных преобразованиях получается верный ответ, но это не более чем случайность.

Собственно, вывод очевиден: решая неравенства, производить только равносильные преобразования.

Разберем примеры для лучшего понимания теории.

Пусть необходимо решить второе неравенство.

Посмотрим с другой стороны:

Неравносильные преобразования чаще всего происходят при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля. Эти моменты будут детально рассмотрены в темах о решении неравенств соответствующих видов.

Источник

Равносильные неравенства, преобразование неравенств.

Часто процесс решения неравенств представляет собой переход от исходного неравенства к неравенствам, имеющим те же решения, но которые проще найти. Другими словами, исходное неравенство с помощью определенных преобразований заменяется так называемым равносильным неравенством, решение которого совпадает с решением исходного, и которое мы можем отыскать. В этой статье мы как раз поговорим о равносильных неравенствах и о равносильных преобразованиях, позволяющих получать равносильные неравенства.

Здесь мы сначала дадим определение равносильных неравенств и приведем примеры. Дальше перечислим и докажем основные виды равносильных преобразований неравенств. А в заключение проясним, почему при решении неравенств нужно использовать только равносильные преобразования.

Навигация по странице.

Равносильные неравенства, определение, примеры

Начнем, естественно, с определения равносильных неравенств:

Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными неравенствами. В частности, неравенства, не имеющие решений, также называют равносильными.

Другими словами, два неравенства равносильны, если они оба не имеют решений, а если они имеют решения, то каждое отдельно взятое решение первого из них является решением и второго, а каждое отдельно взятое решение второго является решением первого неравенства. Также ни одно из равносильных неравенств не может иметь решений, которые не являются решениями всех других из этих неравенств.

Равносильные преобразования неравенств

Выполнение некоторых действий с правой и/или левой частью неравенства или с их отдельными слагаемыми может давать новые неравенства, имеющие те же решения, что и исходное неравенство. Замену исходного неравенства на новое равносильное ему неравенство при помощи таких действий назвали равносильным преобразованиям неравенства.

Равносильное преобразование неравенства – это его замена другим равносильным ему неравенством, то есть, неравенством, имеющим то же множество решений. Сами преобразования, приводящие к равносильному неравенству, также называют равносильными преобразованиями.

Возникает логичный вопрос: «Зачем вообще нужны эти равносильные преобразования неравенств»? Например, они позволяют решать неравенства: с их помощью от решения исходного неравенства можно перейти к решению более простого, но равносильного неравенства.

Теперь можно перейти к знакомству с основными и наиболее часто используемыми равносильными преобразованиями неравенств, которые иногда называют свойствами неравенств. Им стоит уделить должное внимание – без их использования не обходится решение почти ни одного неравенства.

Заметим, что они похожи на равносильные преобразования уравнений. Принцип их доказательства тоже аналогичен, только здесь в основе доказательства будут лежать, естественно, свойства числовых неравенств, а не свойства числовых равенств.

Замена выражения в левой и/или правой части неравенства тождественно равным выражением на области допустимых значений (ОДЗ) переменных исходного неравенства является равносильным преобразованием неравенства.

Что же означает доказанное утверждение? На его основе можно выполнять тождественные преобразования выражений, находящихся по разные стороны от знака неравенства, но при условии, что эти преобразования не сужают ОДЗ исходного неравенства, и в результате будет получено равносильное неравенство.

Отдельно подчеркнем важность учета ОДЗ при замене частей неравенства тождественно равными им выражениями: если ОДЗ полученного неравенства будет отличаться от ОДЗ исходного неравенства, то это неравенство может быть не равносильно исходному. Этот момент критически важен, он может приводить к неверным ответам при решении неравенств. Не менее важен и момент, касающийся замены на именно тождественно равное выражение. На этих нюансах мы будем заострять внимание при каждом удобном случае в статьях по схожей тематике, и к ним мы еще вернемся в последнем пункте этой статьи. А сейчас переходим к следующему равносильному преобразованию неравенств.

Прибавление (или вычитание) из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием.

Только что доказанное свойство можно обобщить: если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же выражение, не приводящее к изменению ОДЗ исходного неравенства, то получится равносильное неравенство.

Например, замена неравенства x неравенством x+(12·x−1) является равносильным преобразованием.

Из уже изученных равносильных преобразований неравенств следует еще одно, которое используется чаще двух предыдущих: перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием.

Аналогично доказывается и вторая часть. Здесь при доказательстве нужно учитывать свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число, не забывая изменять знак неравенства на противоположный.

Обобщим и это свойство неравенств:

Существуют и другие равносильные преобразования неравенств, но они уже не столь общи и относятся к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. С ними мы детально познакомимся, когда будем говорить о решении неравенств этих видов.

К чему приводят неравносильные преобразования неравенств?

Понятно, что кроме равносильных преобразований неравенств есть и неравносильные, от которых, решая неравенства, нужно держаться подальше. А дело здесь в том, что, выполнив переход к неравносильному неравенству, можно получить решение, которое не является искомым решением исходного неравенства. В некоторых случаях можно получить и верный ответ, но это будет не более чем везение, а в общем случае, выполняя неравносильные преобразования неравенств, будет получен неверный ответ.

Вывод ясен: при решении неравенств нужно выполнять только равносильные преобразования.

Признаком возможного неравносильного преобразования неравенства является сужение ОДЗ. Для пояснения сказанного, вернемся к предыдущему примеру. При переходе от неравенства x>−2 к неравенству происходит сужение ОДЗ со всего множества действительных чисел, до множества действительных чисел без нуля. Это явно указывает, что полученное неравенство может быть неравносильно исходному, и такой переход делать не стоит.

Наиболее часто неравносильные переходы при решении неравенств возникают при неаккуратном применении свойств корней, логарифмов и модуля. На этом мы особо заострим внимание, когда будем разбираться с решением неравенств соответствующих видов. А пока по данной теме все. Пользуйтесь только равносильными преобразованиями неравенств и не допускайте сужения ОДЗ!

Источник

Решение линейных неравенств

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Типы неравенств

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

Решение линейных неравенств

Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов заключается в следующем:

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

Как решаем:

В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

Определим знаки на промежутках.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

Источник

Алгебраические неравенства. Подготовка к ЕГЭ.

Универсальный метод решения алгебраических неравенств заключается в приведении их с помощью равносильных преобразований к системам или совокупностям легко решаемых рациональных неравенств или уравнений. Этот метод школьники осваивают, начиная с 9-го класса. В 10 – 11 классах средней школы, рассматривая кроме алгебраических еще тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, как правило, с помощью замен или других рассуждений удается решение свести к исследованию равносильных систем или совокупностей простейших уравнений и неравенств.

Понятия неравенства с переменной и его решений

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков >, ) чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахож­дении тех значений аргументов, при которых значение одной из заданных функций больше, чем значение другой заданной функции. Поэтому в общем виде неравенство с одной переменной х (например, для случаев «больше») записывают так: f(x)>g (*).

Напомним, что решением неравенства называется значение переменной, которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения (и обосновать, что других решений нет) или доказать, что решений нет.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется аналогично ОДЗ уравнения. Если задано неравенство f (х) > g(x), то общая область определения функций f(x) и g(x) называется областью допустимых значений этого неравенства (иногда используются также термины «область определения неравенства* или «множество допустимых значений неравенства*).

Например, для неравенства х 2 2 и g(x) = х имеют области определения R.

Понятно, что каждое решение заданного неравенства входит как в область определения функции f(x), так и в область определения функции g(x) (иначе мы не сможем получить верное числовое неравенство). Таким образом, каждое решение неравенства обязательно входит в ОДЗ этого неравенства. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ неравенства для его решения.

Равносильные неравенства

С понятием равносильности неравенств вы знакомы еще из курса алгебры 9 класса. Как и для случая равносильных уравнений, равносильность неравенств мы будем рассматривать на опреде­ленном множестве.

Два неравенства называются равносильными на некотором мно­жестве, если на этом множестве они имеют одни и те же реше­ния, то есть каждое решение первого неравенства является реше­нием второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого.

Договоримся, что в дальнейшем все равносильные преобразования не­равенств будем выполнять на ОДЗ заданного неравенства. Укажем, что в том случае, когда ОДЗ заданного неравенства является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем его записывать (как не записы­вали ОДЗ при решении линейных или квадратных неравенств). И в других случаях главное — не записать ОДЗ при решении неравенства, а действи­тельно учесть ее при выполнении равносильных преобразований заданного неравенства.

Общие ориентиры выполнения равносильных преобразований неравенств аналогичны соответствующим ориентирам выполнения равносильных пре­образований уравнений.

Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования нера­венств, необходимо учитывать ОДЗ заданного неравенства — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований нера­венств.

По определению равносильности неравенств необходимо обеспечить, что­бы каждое решение первого неравенства было решением второго, и наобо­рот, каждое решение второго неравенства было решением первого. Для это­го достаточно обеспечить сохранение верного неравенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях. Это и есть второй ориентир для решения неравенств с помощью равносиль­ных преобразований. Действительно, каждое решение неравенства обращает его в верное числовое неравенство, и если верное неравенство сохраняется, то решение каждого из неравенств будет также и решением другого, таким образом, неравенства будут равносильны.

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований не­равенство

достаточно учесть его ОДЗ: х + 1 не не равно 0 и условие положительности дроби (дробь будет положительной тогда и только тогда, когда числитель и зна­менатель дроби имеют одинаковые знаки), а также учесть, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в об­ратном направлении с сохранением верного неравенства.

Кроме выделенных общих ориентиров, для выполнения равносильных преобразований неравенств можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности неравенств обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности неравенств, известных из курса алгебры 9 класса.

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве).

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не изменяя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Обоснование этих теорем проводится с использованием основных свойств числовых неравенств и полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований заданного неравенства.

Источник