Что падает чаще орел или решка
Орёл или решка?
Правда ли, что вероятности выпадения орла и решки при подбрасывании любой монеты одинаковы и равны 1/2 (одной второй)? Давайте проверим!
Что нас больше учит – время или случай?
Е. Клячкин «Мокрый вальс»
Случалось ли вам видеть, как некоторые решения принимаются на основе жребия? Например, какая команда первой введёт мяч в игру? Подобный жребий может существенно повлиять на судьбу человека или команды. Кто первым будет бить послематчевые пенальти? Кто (при прочих равных условиях) выходит в следующий круг соревнований? От порядкового номера на старте марафона могут незаслуженно пострадать сильные гонщики, например, из-за смены погодных условий.
Для жребия, то есть для принятия решения, часто используются подручные средства, например, монеты. Так, исход полуфинального матча Италия–СССР чемпионата Европы 1968 года решила подброшенная судьей лира (здесь: название денежной единицы Италии).
Но можно ли быть уверенным в том, что вынутая из кармана монетка (иена, цент, гривна, оре) с одинаковой частотой (или, как скажут математики, вероятностью) будет падать на одну из сторон? От чего это может зависеть? Как такой жребий сделать справедливым (равновероятным)? Многие учёные в разные времена пытались дать ответ на этот вопрос.
В начале ХХ века английский математик Карл Пирсон не поленился подбросить монетку 12000 раз: орёл выпал 6019 раз. Когда же он повторил эксперимент 24000 раз, то орёл выпал 12012 раз. Видно, что вероятность выпадения орла близка к ½, однако она остаётся чуть больше половины. Закономерность ли это?
Давайте попробуем провести такие эксперименты и мы с вами. У нас, кстати, есть важное преимущество: нас много. И мы сможем получить статистику на заметно большем количестве испытаний и проверить гипотезу о равной вероятности выпадения орла и решки. Кроме того, а вдруг нам удастся найти уникальные монеты, для которых гипотеза о «справедливости» исхода неверна в принципе!
Выбирайте монету. Подбрасывайте её, считайте исходы и присылайте свои результаты. Следите за обобщением результатов всех участников на нашем сайте.
«Орёл или решка» — не такая случайность, как кажется
Специально для mixstuff – Olga_Vesna
Кому достанется последний кусочек пиццы? Подбросим монетку. Но по здравому размышлению, может, и не стоит. Орлянка – проверенный временем метод решения проблем, но, как ни странно, не совсем честный. Лучше просто разделить последний кусочек на всех.
Коварный вопрос: орёл или решка?
Представьте себе все проблемы в истории, когда-либо решаемые подбрасыванием монетки. Держим пари, что мало кто из участников знал, что шансы не совсем равны. Оказывается, вращающийся пенни в 80% случаев падает решкой вверх. К такому выводу пришёл Перси Диаконис из управления статистики Стэнфордского университета, выполнив математический анализ этого действия в 2004 году. Всё потому, что пенни немного тяжелее со стороны орла, из-за этого центр тяжести смещается, заставляя монетку в большинстве случаев падать решкой вверх. Монеты с неребристым краем (например, американские 5 центов) тоже имеют небольшое смещение центра тяжести. Кстати, фокусники частенько подтачивают монетки со стороны решки, весовая разница становится больше и вероятность падения решкой вверх увеличивается ещё.
Подброшенная монетка может обмануть и вас. Если, подбросив монетку в воздух, вы позволите ей упасть на твёрдую поверхность, чтобы увидеть результат, часто монетка будет ещё вращаться, прежде, чем окончательно упасть. И, как мы уже выяснили, вращающаяся монета чаще падает решкой вверх. Обратите внимание, что старые пенни могут не дать вам такого отклонения в весе, как новые. Хотя бы приблизительно, но надо учитывать всё: пыль, грязь и прочую ерунду, которая могла налипнуть на монету за время использования и сместить центр тяжести.
Ловить или нет?
А теперь забудьте об орле и решке. Подумайте лучше, ловить монету или нет? Это может показаться глупостью, но согласно исследованию Диакониса, честнее будет поймать брошенную в воздух монетку, чем позволить ей упасть на пол и крутиться, пока она не упадёт сама. Ваша рука – не такая твёрдая и плоская поверхность, как пол, поэтому монетка приземлится по нисходящей траектории, в какой бы момент вы не подставили ладонь. Но, как вы уже догадались, даже это не даёт полной случайности результата.
Диаконис считает, что любая подброшенная монетка всё-таки будет стремиться упасть решкой вверх (51 к 49, если быть точными). В 1986 году математик Джозеф Келлер доказал, что один из самых честных способов подбросить монетку – это бросить её так, чтобы она идеально вращалась вокруг горизонтальной оси через свой центр. Но, чтобы сделать это, вам потребуются просто нечеловеческие способности, поэтому даже не рассчитывайте.
Что падает чаще орел или решка
Войти
Авторизуясь в LiveJournal с помощью стороннего сервиса вы принимаете условия Пользовательского соглашения LiveJournal
Видимо, мой мозг сильно подвержен этому эффекту, потому что я никогда не понимал официально озвучиваемого объяснения его ложности. Суть эффекта в следующем.
В научной литературе это называется ошибкой игрока или ложным выводом Монте-Карло. Мы склонны предполагать, что многие случайные события зависят от случайных событий, произошедших ранее.
Классический пример — подбрасывание монетки. Мы подбросили монету пять раз. Если орел выпадал чаще, то мы будем считать, что в шестой раз должна выпасть решка. Если пять раз выпала решка, мы будем думать, что в шестой раз обязан выпасть орел. На самом же деле вероятность выпадения орла или решки при шестом броске такая же, что и при предыдущих пяти: 50 на 50.
Каждый последующий бросок монеты статистически независим от предыдущего. Вероятность каждого из исходов всегда 50%, но на интуитивном уровне человек не в состоянии этого осознать.
На эффект игрока накладывается недооценка возвращения величины к среднему значению. Если решка все-таки выпала шесть раз, мы начинаем верить, что с монетой что-то не так, и что экстраординарное поведение системы продолжится. Далее начинается эффект отклонения в сторону позитивного исхода — если нам долго не везло, мы начинаем думать, что рано или поздно с нами начнут происходить хорошие вещи.
Сходные чувства мы испытываем, заводя новые отношения. Всякий раз мы верим, что в этот раз у нас все будет лучше, чем при предыдущей попытке.
Мой комментарий:
Если всё это так, то тогда какова вероятность выпадания двух решек подряд? А десяти орлов? Ведь она, очевидно, меньше 50%, что можно проверить даже эксперементально. Как можно статистически отделять броски друг от друга, если существует такое понятие, как выпадение десяти орлов подряд, вероятность которого намного меньше 50%? Вероятность должна стремиться к среднему значению 50%, поэтому при бросании монет подряд, чем вероятность уходит дальше от этого значения, тем вероятнее её возвращение к нему. Где ошибка в моей логике?
Я сначала приведу пример противоположной логики, а потом на пальцах попробую объяснить, почему вы ошибаетесь.
В детстве весёлая жизнь зависела от времени прихода отца. Отец был синонимом наказания, и веселье желательно было прекратить за минуту до его появления. Куда он пошёл, мы не знали, может, рядом в магазин, а, может, далеко в гараж. Или мог вернуться через 5 минут, для контроля за нами. Поэтому делались попытки интуитивного определения времени его прихода. И я вывел для себя такую «закономерность». Она даже «работала», когда я не знал, во сколько он ушёл. Чем дольше я его жду, тем меньше вероятность, что он появится в ближайший момент времени.
Логично? На первый взгляд логично. Я даже прикидывал время его прибытия: если он отсутствует 40 минут, то скорее всего появится он не ранее чем через 20 минут с этого времени. Но в таком случае должно быть верно следующее правило: чем дольше выпадает орёл, тем меньше вероятность, что прямо сейчас выпадет решка.
Что противоречит вашей логике.
Теперь про ошибку. Вероятность выпадения 10 орлов подряд в самом деле очень низкая, где-то однин раз на десять тысячн. Рассматривая это событие мы удивляемся столь ничтожной вероятности, и забываем, что эта вероятность делит пространство с огромным количеством других вероятностей, например, перед ней стоит вероятность выпадения девяти орлов подряд, восьми орлов и одной решки, вариантов орёл-решка-орёл-решка и тюд. А в сумме эти вероятности дают единицу. Поэтому они такие маленькие. Потому что их МНОГО.
Ваш пример не вполне корректен. Дело в том, что предположение о времени прихода отца работало в вашем случае только потому, что он мог прийти либо быстро (ушёл в магазин), либо долго (ушёл в гараж). И если его не было в течение 5-10 минут, значит он пошёл не в магазин, а в гараж, и будет нескоро. Оставался лишь риск внезапных приходов для контроля, но в общем случае предположение работало, видимо, проверки были не столь частыми.
В случае же с орлом и решкой мы имеем дело с вероятностью, не зависящей от сторонних причин. Но вместо них у нас есть другая уникальная дополнительная информация, позволяющая объединить отдельные подкидывания в серию, и которую совсем не обязательно терять. Взятое по отдельности подкидывание конечно даёт 50-процентную вероятность, но это есть результат дефицита информации. Зачем принудительно отбрасывать уже имеющуюся у нас информацию о серии, когда мы можем её использовать? Если у меня серия из трёх решек, то вероятность серии из четырёх решек гораздо ниже, чем её отсутствие.
Edited at 2015-08-18 19:06 (UTC)
Да как он может быть корректен, когда это пример некорректности?
Дальше не читал, спешу на поезд.
Немного видоизменю своё последнее предложение.
Если у меня уже есть серия из трёх решек, то вероятность возникновения серии аж из четырёх решек гораздо ниже, чем результат стремления вероятности к 50%, то есть возникновению некоторого количества орлов, дабы в общей сумме подкидываний орлов и решек встретилось примерно поровну.
Какая бы серия ни была до следующего броска, на следующий бросок она никак не влияет. Хоть там сто подряд орлов выпало. Потому что закон больших чисел на самом деле является законом очень больших чисел, ему плевать на каких-то сто орлов. Ему от ста орлов ни жарко, ни холодно. Он, если будет в хорошем настроении, вам ещё десяток орлов подряд подкинет, потому что в запасе у него — бесконечность.
Спасибо, поездка удалась. Без неё я бы не увидел лета в этом году.
Да, серия на бросок не влияет. Но если в качестве рассматриваемой единицы брать не каждый конкретный бросок, а серию целиком, то рисуется совсем другая картина. Ведь вероятность выпадания 5 орлов или 5 решек гораздо ниже, чем вероятность выпадания любой другой комбинации, которых в разы больше. Поэтому с каждым очередным выпавшим орлом вероятность выпадания его ещё раз падает и к концу серии достигает своего минимума.
У меня смутное ощущение, что я даже не противоречу науке, а просто говорю немного о другом. Наука строит абстрактные модели, разбирая систему на единицы, и описывая свойства каждой единицы. В этой системе координат всё так и есть. А о другой системе координат я не знаю, но предполагаю, что в науке должно быть что-то, подтверждающее мои выводы о сериях.
Вообще, я более склонен идти от общего к частному, нежели наоборот. Поэтому и пляшу от серий, а не от отдельных бросков.
Ладно, будем считать, что теорию вероятности я просто не понимаю, и мне придётся смириться с этим )))
А это точно непонимание? Может быть, нежелание расставаться с красотой софизма (апории)?
«с каждым очередным выпавшим орлом вероятность выпадания его ещё раз падает. »
Вероятность не рубль, чтобы падать от курса «орёл к решке». Такое может быть только тогда, когда вероятность события нам не известна и определяется эмпирически.
«Вероятность должна стремиться к среднему значению 50%. »
Вероятность никому (кроме Закона больших чисел) ничего не должна. Закон больших чисел это закон действительно больших чисел, таких больших, что им плевать на количество уже выпавших конкретно у вас орлов.
Потому что оба события равновероятны.
Потому что вероятность это верояность, а не функция с единственным значением.
Или вы хотели задать другой вопрос: почему тогда эти события не влияют на _распределение_ вероятности?
Нет, пока что я просто зафиксировал тот факт, что при многократном подкидывании вероятность распределяется поровну.
Второй момент. Серия орлов или серия решек ничем не отличается от любой другой заранее задуманной последовательности. Вероятность соблюдения её выпадения снижается с ростом размера всей серии. Ведь угадать короткую серию вероятнее, чем длинную. Вероятность того, что подкидывания будут строго совпадать с ранее задуманным нами порядком снижается с ростом серии, то есть с каждым очередным подкидыванием.
Таким образом, хотя каждое новое подкидывание не зависит от предыдущего, в сумме своей они дают некоторое распределение вероятности, близкое к 50 на 50.
Выпадение орла или решки можно точно предсказать
Орел или решка? При определенных условиях результат бросания монеты можно точно предсказать. Этими определенными условиями, как показали недавно польские физики-теоретики, являются высокая точность в задании начального положения и скорости падения монеты.
Выпадение орла или решки при бросании монеты — классический пример случайного процесса с равновероятным исходом. Сравнительно недавно появилась статья польских физиков, которые провели теоретическое исследование данного явления и пришли к выводу, что, в принципе, есть возможность точно предсказать результат выпадения монеты.
Ничего экстраординарного в методе исследования данной проблемы физиками не было придумано. Для начала в своей статье они представили монету в виде цилиндра радиусом r и высотой (толщина монеты) h (см. рис. 1)
Далее исследователи говорили уже о монете как о твердом теле, у которого центр масс может совпадать с геометрическим центром (на рис. 1 точки В и С должны быть совмещены — 3D-идеальная монета), либо, что ближе к реальной ситуации, — координаты геометрического центра и центра масс различны (3D-неидеальная монета — см. рис. 1).
Для полного анализа авторы рассматривают в дальнейшем монету не только как 3D-модель, но и упрощают ее двухмерным (2D) вариантом, означающим, что толщину монеты можно не учитывать, h = 0. Почему это возможно, будет сказано ниже.
Падение монеты и ее последующие столкновения с поверхностью описывались с использованием параметров Родрига—Гамильтона. Этот способ описания твердого тела основан на применении аппарата кватернионов (в англоязычной литературе параметры Родрига—Гамильтона называют параметрами Эйлера; не путать с еще одним методом описания — углами Эйлера, Euler angles). Преимущество кватернионного способа состоит в том, что позволяет избежать сингулярностей в процессе решения уравнений движения (почитать о применении кватернионов для описания кинематики и динамики твердого тела можно здесь, PDF, 1 Мб).
Ученые занимались изучением падения монеты достоинством в один злотый, масса которой составляла 2 г, радиус 1,25 см и толщина 0,2 см, и в своих расчетах они исходили из этих параметров. Предполагалось, что центр масс монеты может быть смещен на некоторое расстояние (3D-модель неидеальной монеты), а может быть не смещен (3D-модель идеальной монеты). Аналогичные варианты были рассмотрены и для 2D-моделей с совпадающим и не совпадающим геометрическим центром и центром масс.
Итак, пусть монета падает с высоты z0 (иными словами, начальное положение центра масс (x0, y0, z0)), перед началом своего движения она ориентирована в пространстве под углами (ψ0, θ0, φ0), начальная скорость движения центра масс исследуемого объекта (ν0x, ν0y, ν0z) и начальные угловые скорости монеты (ωξ0, ωζ0, ωη0). Стоит отметить, что процесс соударения монеты с поверхностью не идеальный (то есть не является ни абсолютно упругим, ни абсолютно неупругим). Существует коэффициент восстановления χ
neveev
neveevNeveev
Sapientia est potentia
Некоторое время назад ко мне обратился один мой подписчик и сообщил, что между ним и его коллегой возник интересный спор по поводу того, какая комбинация орлов и решек, возникающая при подбрасывании монеты, более вероятна, а какая – менее.
Этот спор шел вокруг вопроса о том, какая комбинация более вероятна, если при первом броске выпала решка: РР или РО. Коллега моего подписчика считал, что более вероятна вторая комбинация и объяснял это примерно так:
Другими словами, коллега моего подписчика утверждал, что если нам при первом броске выпала решка, то при втором броске нам с большей вероятностью выпадет орел, чем решка.
Мой подписчик, который прочитал много моих статей о когнитивных искажениях, эвристиках и об ошибках, которые мы делаем, когда пытаемся рассуждать о случайностях и о вероятности тех или событий, знал, что этот вывод неверен и пытался переубедить своего коллегу, показать ошибочность его рассуждений.
Дошло до того, что коллега моего подписчика предложил проверить его вывод эмпирически. Он предлагал сделать это следующим образом.
«Кидаем монету, если выпадает орел, то начинаем заново, если выпадает решка, то фиксируем, какой стороной выпадет монета при втором броске, а затем начинаем следующую попытку».
Всего предлагалось сделать сто таких попыток.
Поскольку мой подписчик был неопытен в сфере споров о теории вероятностей, он согласился на этот опыт, и они стали кидали монету. Они сделали сто попыток, и в итоге распределение получилось примерно 60 на 40, т.е. примерно в шестидесяти случаев из ста после того, как выпала решка, выпал орел, и только в примерно сорока случаях после решки снова выпала решка.
Эти данные коллега моего подписчика, естественно, обратил в свою пользу и сказал что-то вроде того, что 60 стремится к 75, и если бы было больше попыток, например, не сто, а тысяча, то соотношение РО/РР было бы еще ближе (!) к 75/25.
Как же обстоят дела на самом деле?
Какова вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты, она каждый раз упадет решкой? Тут коллега моего подписчика абсолютно прав. Эта вероятность составляет ¼ или 25%. Такова же и вероятность каждого из трех альтернативных исходов.
Действительно, всего существует четыре варианта исходов двукратного подбрасывания монеты:
Но дело в том (и это ключевой момент!), что если нам уже выпала решка, то число возможных комбинаций сокращается с четырех до двух: РР и РО. Другими словами, если нам уже выпала решка, то при следующем подбрасывании нам выпадет или орел, или решка. Вариантов всего два, а значит вероятность каждого из них составляет ½ или 50%.
Учитывая вот это изменение ситуации после первого броска, которого человек не понял, не уловил, можно предположить, что механизм, лежащий в основе ошибочного вывода коллеги моего подписчика, примерно тот же, что лежит в основе знаменитого парадокса Монти Холла.
Кроме того, возможно, в основе того, что коллеге моего подписчика более вероятной казалась, так сказать, гетерогенная комбинация – РО – лежит и эвристика репрезентативности.
Не менее вероятно и то, что коллега моего подписчика просто не очень хорошо понимает теорию вероятностей, проще говоря, прорешал мало соответствующих учебных задач.
– Но почему же в процессе эмпирической проверки соотношение комбинаций РО к РР, – спросит кто-то, – не составило 50 на 50, как это должно было бы быть в соответствии с нашими расчетами?
Здесь мы можем вспомнить совершенно правильное утверждение коллеги моего подписчика о том, почему эмпирическое соотношение разошлось с теоретическим: попыток маловато.
Действительно, в случае, если бы они записали исходы тысячи попыток, соотношение еще сильнее приблизилось бы к 50/50.
Ну, а в заключение я бы хотел отметить, что описанный реальный случай не только интересен сам по себе, но и позволяет сделать несколько очень полезных выводов и сформулировать достаточно ценные рекомендации. Давайте же их перечислим.