Что означает цифра перед логарифмом

Логарифм. Свойства логарифма (степень логарифма).

Свойства логарифма получаются из его определения. Общеизвестный факт, что логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Из формулировки получаем очевидные равенства log_a1 = 0 так как а 0 =1 и, log_aа = 1 так как а 1 =а.

Рассмотрим ситуации, когда в основании или аргументе логарифма стоит степень. Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Конечно же, все эти формулы будут иметь смысл при соблюдении области действующих значений логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: ими всеми можно пользоваться не только слева направо, но и наоборот, а значит разрешено перемещать числа, стоящие перед знаком логарифма в сам логарифм. Собственно это чаще всего и делается.

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания:

Или если сказать проще, в данном случае показатель степени выносится как сомножитель, в результате трудоемкое действие возведения в степень меняем на более элементарную операцию умножения.

При отрицательных значениях х формула становиться бессмысленной. Так, запрещено писать log₂(- 4) 2 = 2log₂ (- 4), так как выражение log₂(- 4) не определено. Однако обратим внимание, что выражение, стоящее в левой части этой формулы, все же имеет смысл:

Источник

Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

Пусть переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные и накладываются такие ограничения: o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a<>1″/>, 0″ title=»b>0″/>

Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа по основанию :

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a<>1″/>, 0″ title=»b>0″/>

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a<>1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

d>0″/>, 1″ title=»d<>1″/>

1.

2.

3.

4.

5.

Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:

6.

7.

8.

9.

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10.

11.

12. (следствие из свойства 11)

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13.

14.

15.

Частные случаи:

— десятичный логарифм

— натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

==(по свойству 7)=(по свойству 6) =

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

Ответ: 5,25

Пример 2. Вычислить:

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

Применим свойства 4 и 6:

Введем замену

Получим:

Ответ: 1

Источник

Логарифмы

Определение логарифма

Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества

Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является основным логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:

Логарифмом называют показатель степени n, при возведении в которую числа а получают число b.

Показательное уравнение a^n=b при a > 0, a ne 1 не имеет решений при неположительном b и имеет единственный корень при положительном b. Этот корень называется логарифмом числа b по основанию а и записывают:

Основное логарифмическое тождество

4 log₂ 7 =2 2 log₂ 7 = (2 log₂ 7 ) 2 = 7 2 = 49

2 1 + log₂ 7 = 2 · 2 log₂ 7 = 2 · 7 = 14

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. и преобразовываем в и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.

Логарифм. Свойства логарифма (корень логарифма, смена основания).

Корень логарифма из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня/Логарифм. Свойства логарифма (корень логарифма, смена основания).

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.

Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

следует применять формулу

поскольку в противном случае можно потерять корни.

По той же причине при преобразовании выражений

log_a ( f (x) g (x)) и

следует использовать формулы:

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Виды логарифмов

log_a b – логарифм числа b по основанию a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0)

lg b – десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма: Подставим полученные результаты в исходное выражение:

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log₁₀x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например,

lg ( x y ) = lg x + lg y ( x > 0, y > 0 )

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e – иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам:

log a b = lg b lg a = ln b ln a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0 )

Вычисление логарифма равносильно решению показательного уравнения

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

Найти логарифм: log ₄ 8

Обозначим log₄ 8 через x :

Перейдем к показательному уравнению:

Сведем показательное уравнение к основе 2 и решим его:

Найти x если : log _x 125 = 3 2

За определением логарифма имеем:

x = (5 3 ) 2/3 = 5 3·2/3 = 5 2 = 25

Формулировки и доказательства свойств

Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log₅(2·3)=log₅2+log₅3 и .

Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

Вот пример использования этого свойства: .

Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : .

Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения 2. Найти значение выражения 3. Найти значение выражения 3. Найти значение выражения 4. Найти значение выражения 5. Найти значение выражения 5. Найти значение выражения 6. Найти значение выражения Сначала найдем значение Сначала найдем значение Для этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выражения 7. Найти значение выражения Преобразуем наше выражение: Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выражения 8. Найти значение выражения Так как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов: 9. Найти значение выражения 9. Найти значение выражения Так как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10. Найти значение выражения Обращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log₂16. Поэтому сначала найдем значение log₂16, а затем подставим полученный результат в log₄: Обращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log₂16. Поэтому сначала найдем значение log₂16, а затем подставим полученный результат в log₄:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Источник