Что означает точка в графике функции

График линейной функции, его свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Построение графиков функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник

Алгебра. Урок 5. Графики функций

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Парабола

Гипербола

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

0″ height=»346″ width=»346″ sizes=»(max-width: 346px) 100vw, 346px» data-srcset=»/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png 346w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-150×150.png 150w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-300×300.png 300w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-176×176.png 176w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-60×60.png 60w, https://epmat.ru/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png»>

Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Квадратный корень

Функция y = x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Источник

mishin05

У ДВУХ математических действий дифференцирования: по частному и по полному дифференциалам

должны быть и ДВА обратных действия интегрирования: с константой интегрирования и без константы!

Физический процесс и его математический алгоритм
Предположим, мы имеем некий физический процесс, в котором просматривается некая взаимосвязь двух определенных нами заранее величин, существующих в действительном мире.

Буду писать кратко, схематично.

Мы хотим применить к этой взаимосвязи научный метод. Можно пойти разными путями. Мы выбрали следующий: ставим опыты с фиксацией результатов и попыткой записать эту взаимосвязь в краткой форме. Хотя, к примеру, можно оперировать набором слов.

Для удобства используем математические инструменты в виде формул: значков и символов, интерпретируемых однозначно.

Фиксируя результаты опытов по взаимодействию этих величин мы выяснили, что взаимосвязь просматривается однозначная. Причем, мы шли двумя путями: давали значение переменной «икс» и фиксировали значение переменной «игрек». Потом давали значение переменной «игрек» и фиксировали значение переменной «икс». Для удобства записи постоянный коэффициент, определяемый как половинная масса, приняли равным единице.

То есть, используя аналитичскую форму записи мы получаем две, идентичные по смыслу, формулы: y = x 2 и x = √ y.

Аналитическое выражение и его графическая интерпретация

В современной математике, имеющей зачаточный уровень развития, еще нет «структурного анализа» и мы не можем идентифицировать производную кинетической энергии как импульс.

Занятно было бы наблюдать, как какой-нибудь математик-шизофреник рисует мелом на полу числовые оси, выпускает на пол таракана с испачканным краской пузиком и наблюдает за линией, которую таракан, ошалевший от такого внимания к своей персоне, «вычерчивает» на полу. Только не понятно на каком языке этот математик и таракан будут общаться друг с другом? То ли таракан будет орать «математику»: «Какое там на оси аргументов значение, куда мне бежать, чтобы нарисовать функцию?» То ли математик будет успокаивать таракана: «Братан, ползи куда хочешь, я потом занесу значения в табличку и какие-нибудь лохи будут пытаться по этим парам чисел составить аналитическое выражение!»

Поэтому будем черить то, что есть на данный момент.

Немного «структурного анализа» применительно к «графику функции»

Итак, в первой части данного эпоса, я выделил цветом следующие графические объекты:

Все геометрические и графические объекты «описываются» аналитически в интегральной форме.

Итак, применяем общий вид графических объектов к рассматриваемаему нам варианту: y = x 2

2. Прямоугольник серого цвета. Все зависит от того, какую переменную рассматривать как аргумент интегрирования. В общем виде обе переменные независимы. Угол интегрирования равен 90°. Что такое угол интегрирования? Ну. это из «структурного анализа». А «структурного анализа» пока нету. )))

4. Желтая площадь : .

5. Розовая площадь : .

6. Голубая площадь : это есть графическая визуализация формулы интегрирования по частям. Произведение двух переменных есть сумма интеграла первой переменной по дифференциалу второй и интеграла второй по дифференциалу первой.

7. Все шесть интегралов, визуализированные шестью разными цветами в виде отрезков и площадей имеют верхний предел в виде значения выбранного аргумента на оси «икс». То же самое можно проделать, считая осью аргументов ось «игрек». Не знаю по каким причинам «математики» этого не делают. Наверное, мешает ассоциация с землей и небом. )))

Так что же с точкой на графике функции? Что за значение в ней таится?! Привожу фразу из «структурного анализа»: «Значение подынтегральной функции в верхнем интегральном пределе».

Что означает эта фраза? «Структурный анализ» предлагает алгоритм для вычисления значения в любой точке Декартовой плоскости! То есть, как только Вы определились с функциональной зависимостью двух переменных на двух числовых осях, то, ткнув карандашом в любую точку этой плоскости, Вы сможете дать значение этой точки.

То есть, лист бумаги еще пустой, еще нет никакого графика функции, а Вы, зная алгоритм, сможете заранее предсказать значение производной в любой точке графика. Мало того, Вы сможете дать значение тангенса любого угла наклона касательной к кривой, не имея ни кривой, ни касательной, но определившись с приращением аргумента. )))

Через некоторое время я вышлю этот алгоритм в личку всем, кто отметился любым способом в этой статье

Почему именно так? Потому, что я так хочу. )))

Если только не «склею ласты». Так как со здоровьем есть некоторые проблемы, но нет возможности эти проблемы решить. Слишком много мне, на моем жизненном пути, встречалось имитаторов. Но, будем надеяться. Имитаторы тоже будут надеяться, но на обратный исход. )))

Я могу в некоторых местах текста или в формулах делать описки. Это связано с проблемами здоровья. Не хочу проверять и править. Как написал, так пусть и будет.

В нашем конкретном примере в выбранной точке кроется численное значение длины двух ребер (правой и верхней) красной грани куба, изображенного на нижней картинке во второй части этой трилогии.

P. S. Я специально доношу смысл «пунктирно». Это фильтр против имитаторов. Примерно такой же фильтр, только с применением иного метода, использует в своих статьях Кот Мотя. Имитаторы путаются в этих «пунктирах». Их мозг не способен воспринимать информацию образно.

Источник