Что означает слово свойство в геометрии
Методическая разработка по геометрии «Признак или свойство?»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Признак или свойство?
Понятия «признак», «свойство» являются одними из фундаментальных в геометрии. Однако в школьных учебниках определения этих понятий практически не встречаются.
Я считаю, что уверенное владение этими понятиями является необходимым условием хорошего знания математики.
Великий сыщик Шерлок Холмс имел в своем распоряжении громадное количество общих утверждений, которыми он умело пользовался, опираясь на дедуктивный метод – от общего к частному. Так, например, из общего утверждения
«Если человек имеет татуировку в виде якоря, то этот человек – моряк»
И частного рассуждения
«Джон Смит имеет татуировку в виде якоря»,
Холмс делает вывод:
Здесь общее утверждение есть не что иное, как признак моряка, т.е. только ему присущая черта. В словаре русского языка можно найти определение моряка: «Моряком называется человек, который служит во флоте». Приведенный пример показывает, что определение и признак – разные утверждения.
Подведем итог. Во всяких утверждениях вида «Если А, то этот человек – моряк» А является признаком моряка.
Заметим, что синонимом слова «признак» является слово «примета». И тогда можно вспомнить известные признаки хорошей погоды, плохой погоды.
В утверждении вида «Если человек – моряк, то А» А выражает свойство моряка. Вместо А можно подставить подходящие утверждения, например, «любит море», «умеет вязать морские узлы». Свойство отличается от признака тем, что присуще не только моряку. Но, с другой стороны, если вы встретили моряка, то он обязательно обладает этим свойством.
В качестве домашнего задания можно предложить ребятам выписать в тетради утверждения, которые выражали бы свойства умного человека, скучного человека, доброго человека, сильного человека.
Успешное овладение понятиями признак и свойство – один из главных этапов осмысленного подхода к решению задач.
Для этого на уроках необходимо включать в уроки небольшие логические игры и упражнения, цель которых – научить ребят хорошо разбираться в том, что есть «признак», а что есть «свойство». Вот примеры таких упражнений.
Упражнение 1. Используя слова «признак» или «свойство», назовите следующие утверждения:
«Если человек любит животных, то он добрый».
«Если человек сильный, то сможет подтянуться 20 раз».
«Если человек голодный, то он злой».
«Если человек умный, то он подумает прежде, чем сказать».
Упражнение 2. Сформулируйте в виде «Если …, то…» утверждения:
«В том то и признак настоящего искусства, что оно всегда современно, насущно-полезно» (Ф.Достоевский).
«У всех учеников 7 «Б» класса есть замечательное свойство: они любят математику».
Упражнение 3. Назовите двумя способами, используя слова «свойство» и «признак», утверждение:
«Если человек спортсмен, то он обладает хорошим здоровьем».
«Если человек хорошо играет в шахматы, то он умеет мыслить логически».
Следует довести до понимания ученика, что в одном и том же общем утверждении содержится как признак, так и свойство. Поэтому на первых парах наибольшую ценность представляют задачи, в которых используются и свойство, и признак.
Пусть, например требуется доказать что биссектрисы накрест лежащих углов при параллельных прямых параллельны.
Прямые параллельны, следовательно, надо использовать утверждения вида «Если прямые параллельны, то:», то есть свойства параллельных прямых. Далее, нужно доказать, что биссектрисы параллельны, значит, надо использовать признак параллельных прямых.
Упражнение 4. Назовите углы, которые обладают тем же свойством, что и
а) вертикальные углы; б) смежные углы.
а) углы при основании равнобедренного треугольника, накрест лежащие углы при параллельных прямых, соответственные углы;
б) углы треугольника, внутренние односторонние углы при параллельных прямых.
В данном упражнении закрепляется понимание того, что свойство – это нечто непременно присущее данному объекту, но подобным свойством могут обладать и другие объекты.
Упражнение 5. Назовите признаки: а) равных углов; б) параллельных прямых; в) равнобедренного треугольника.
Данное упражнение должно сформировать понимание того, что объект может иметь много признаков, и по одному признаку найти все объекты данного вида мы не сможем.
Например, признаком того, что число делится на 2, является его делимость на 4, на 6, на 10. Используя один из этих признаков мы действительно находим числа, которые делятся на 2, но это будут не все такие числа.
Упражнение 6. Приведите пример свойства, которое одновременно является признаком.
Из вышесказанного ясно, что это должно быть уникальное свойство, то есть присущее только этому объекту. Например, свойство углов при основании равнобедренного треугольника.
Итак, в конце 7 класса надо добиться понимания того, что:
Признаком А являются такие утверждения В, что верно предложение
Свойством А являются такие утверждения В, что верно предложение
Одно и то же утверждение вида
Можно рассматривать как признак В или как свойство А.
На первых уроках геометрии в 8 классе можно сообщить учащимся, что для тех утверждений, которые мы называли признаками и свойствами, в математике используются термины «достаточное условие» и «необходимое условие».
Например, известное свойство вертикальных углов можно сформулировать следующим образом: «Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны» или «Равенство углов является необходимым условием вертикальных углов».
Упражнение 7. Используя термины «необходимо» и «необходимое условие», сформулируйте теоремы о свойстве вертикальных углов, свойствах равнобедренного треугольника.
Возможный ответ: свойство является лишь необходимым условием; следовательно, теорему-свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так:
«Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы углы при его основании были равны».
«Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы его медиана являлась высотой».
Упражнение 8. Используя термин «достаточно», сформулируйте признак равенства треугольников и признак равнобедренного треугольника.
Понятия «необходимое условие», «достаточное условие» очень удобно отрабатывать в процессе изучения темы «Четырехугольники». Эта тема содержит большое число утверждений, которые одновременно являются и необходимыми, и достаточными.
Упражнение 9. Установите, какие из утверждений являются верными, а какие-нет:
а) для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали делились точкой пересечения пополам;
б) для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны;
в) для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равны.
Ответ: утверждение а) верно.
Рассмотрим подробнее утверждения б) и в). Конечно равенство диагоналей четырехугольника не является достаточным условием для того, чтобы он был прямоугольником, так же как и перпендикулярность диагоналей – лишь необходимое условие для того, чтобы четырехугольник был ромбом.
Задание к упражнению 9: «Заменить слово в предложениях б) и в) так, чтобы данные утверждения стали верными».
Ответ: вместо слова «четырехугольник» надо поставить слово «параллелограмм».
Упражнение 10. Проверьте, верно ли утверждение:
а) для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равны и точкой пересечения делились пополам;
б) для того чтобы четырех угольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы все его стороны были равны;
в) для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы диагонали были биссектрисами его углов.
Упражнение 11. Вставьте вместо многоточия подходящие по смыслу термины «необходимо», «достаточно» и «необходимо и достаточно».
а) для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, … чтобы его противолежащие углы были равны;
б) для того чтобы диагонали в четырехугольнике были равны, … чтобы он был прямоугольником;
в) для того чтобы четырехугольник был квадратом, … чтобы все его углы были равны.
Ответы: а)необходимо и достаточно; б) достаточно; в) необходимо.
Упражнение 12. Сформулируйте в виде «Если А, то В» следующие утверждения:
а) Перпендикулярность диагоналей – необходимое условие для того, чтобы четырехугольник был ромбом;
б) «Знать необходимо не затем, чтобы только знать, но для того, чтобы делать» (М.Горький)
Другими словами: знание – необходимое, но недостаточное условие для того, чтобы делать что то полезное.
Итак, если в 7 классе ученики прочно овладели понятиями «признак» и «свойство», то в 8 классе целесообразно введение терминов «необходимо» и «достаточно», поскольку тема «Четырехугольники» представляет немало возможностей для работы с этими терминами.
7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Признаки, свойства и определения.
7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Признаки, свойства и определения.
Вопросы
Задай свой вопрос по этому материалу!
Поделись с друзьями
Комментарии преподавателя
Определение. Примеры определений
Определение – это первичное описание объекта.
Смежные углы – это такие углы, которые дополняют друг друга на 1800.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Также встречаются и такие варианты этого определения:
Равнобедренный треугольник – это треугольник, в котором две стороны между собой.
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
Ключевые слова: это, называют.
У свойства особенность в том, что объект уже дан (например, мы его видим), его не нужно описывать, а нужно указать его свойства на основе увиденного.
Примеры свойств
Например «стол», его определение – предмет мебели в виде широкой горизонтальной пластины на опорах, ножках. А, видя его, можно указать на его свойства (рис. 1): он имеет четыре ножки, прямоугольной формы и т. д. На рисунке 2 изображен также стол по определению, но свойства у него немного другие: круглая форма, цилиндрические ножки и т. д.
Свойства равнобедренного треугольника
Рис. 3. Равнобедренный треугольник
Мы знаем, что этот треугольник равнобедренный, исходя из рисунка 3, указываем на его свойства: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.
Определение и свойство прямоугольника
Рис. 4. Прямоугольник
Определение: прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.
А когда прямоугольник дан (рис. 4), мы можем указать свойство – у прямоугольника диагонали равны.
Признак и свойство
Признак отличается от свойства тем, что в свойстве фигура дана и мы говорим о ней, а в признаке нам не дана фигура и мы ее распознаем.
Известен признак животного – хобот. Можно предположить, что это слон.
А если известно, что животное – слон, то свойством его будет наличие хобота. Так же и в геометрии.
Свойства и признак равнобедренного треугольника
Рис. 5. Равнобедренный треугольник
Свойство: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В этом случае дан треугольник (рис. 5).
Признак: если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный. В этом случае мы не знаем, что этот треугольник равнобедренный, но, зная, что углы при основании равны, делаем вывод, что треугольник равнобедренный.
В свойстве объект уже дан и мы определяем его характеристики, в признаке мы пытаемся определить объект с помощью каких-то характеристик, а определение дает первичное понимание, что это за объект.
Пары свойство-признак
Свойство: у слона есть хобот.
Признак: если у животного есть хобот, то это слон.
Признак: если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный.
Свойство: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Свойство: если треугольник равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.
Признак: если в треугольнике высота совпала с медианой, то треугольник равнобедренный.
Не всегда пары признак-свойство выполняются на практике.
Рассмотрим это на геометрическом примере.
Рис. 6. Иллюстрация к примеру
Свойство: смежные углы в сумме дают 1800
Рис. 7. Иллюстрация к примеру
Следует помнить, что свойства и признаки не всегда идут парами.
Определение признака и свойства фигуры
Рис. 8. Иллюстрация к примеру
Вопрос: почему в равнобедренном треугольнике две стороны равны между собой (рис. 8)?
Ответ: по определению.
Вопрос: почему в равнобедренном треугольнике углы при основании равны?
Ответ: по свойству. Потому что мы знаем, что это за треугольник.
Вопрос: почему если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный?
Ответ: по признаку. В данном случае не дано, что треугольник равнобедренный.
Заключение
Сегодня на уроке мы разобрали разницу между определениями, признаками и свойствами. Вспомним. Определение – это первичное понимание того, что за объект перед нами. Свойство – это когда дан объект и мы его изучаем. Признак состоит в том, что объект не дан и мы пытаемся его выделить из общей массы.
Разница между свойством и признаком
В науке часто используются такие понятия, как «свойство» и «признак». Что они обозначают?
Что представляет собой свойство?
С научной точки зрения под свойством следует понимать некоторый регулярно проявляющий себя атрибут какого-либо объекта. Например, если это стальная пружина, то это может означать, что у нее есть такое свойство, как «пружинистость». Которое, в свою очередь, может состоять из большого количества других, «локальных» свойств — например, упругости, резкости, стойкости и т. д.
Рассматриваемое понятие может как предопределять совершенно уникальные характеристики предмета, так и формировать те или иные критерии для объединения соответствующего предмета в одну группу с какими-либо другими — возможно, и не похожими на него по сути. Особенно если близка их функциональность.
Например, с точки зрения применимости в машиностроении упругие пружины могут быть рассмотрены как детали, относящиеся к одной категории со столь же упругими шинами. По структуре это совершенно разные изделия. Но по свойству упругости и, как следствие, функциональности — очень близкие.
Свойства тех ли иных объектов во многом зависят от способов их использования либо исследования. Например, упругость — это, прежде всего, физическое свойство пружины. В свою очередь, если она выполнена из нержавеющей стали, то она приобретет уже химическое свойство — устойчивость к окислению. Металлическая пружина с точки зрения механической физики обладает, как мы отметили выше, «пружинистостью». Но с точки зрения электродинамики она будет обладать свойством проводимости — поскольку будет способна проводить электрический ток.
Свойства во многих случаях поддаются корректировке, то есть являются принципиально изменяемыми. Например, при размещении пружины в емкости с очень низкой температурой ее упругость может значительно снизиться, она станет хрупкой. С этой точки зрения свойство пружинистости может рассматриваться в данном случае как временный атрибут, который устойчив только при определенных условиях.
Что представляет собой признак?
С точки зрения науки под признаком следует понимать некоторое условие (совокупность условий) для идентификации какого-либо объекта либо отнесения его к той или иной категории. Например, пружина имеет такие признаки, как: спиралевидность, наличие металлической основы, наличие кольцеобразных витков на обоих торцах (что придает пружине устойчивость).
Признаков, как и свойств, у объекта может быть много. Среди них могут выделяться главные (например, спиралевидность у пружины) и «локальные» (например, одинаковый диаметр витков пружинной спирали).
Признак — это постоянный атрибут какого-либо объекта. Принципиально он не может быть скорректирован. Если он будет существенно изменен, то объект станет другим, и его правомерно будет относить уже к другой категории. Например, если пружину в условиях воздействия очень высокой температуры растянуть — вследствие чего она перестанет быть спиралевидной,—то она превратится в проволоку.
Сравнение
Главное отличие свойства от признака заключается в том, что первое — атрибут, который может быть изменен, и от этого тот или иной предмет принципиально не изменит своего предназначения, а также, скорее всего, не претерпит существенных корректировок его структура. В свою очередь, признак — ключевое условие идентификации предмета либо его отнесения к определенной категории. В случае его изменения предмет станет другим.
Очевидно, что свойства предметов дополняются различными признаками, и наоборот. При этом наличие у какого-либо объекта тех или иных свойств во многом предопределяется его признаками. И если изменятся вторые — осуществится также корректировка первых.
Определив,в чем разница между свойством и признаком, отразим выводы в таблице.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Доказательство через синтез
Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.
Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство:
Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.
Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Доказательство через анализ
Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.
Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Дан параллелограмм: ABCD.
Доказательство:
Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.
Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.
Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол напротив стороны а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.