Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
Примеры использования свойств сложения и вычитания
Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:
Пример 1
Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:
а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15
б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22
в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43
Пример 2
Применить разные свойства при вычислении разности:
Как найти значение выражения используя свойства арифметических действий?
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
a+b+c=c+a+b Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Пример: 3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15; 4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33. В общем случае: а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п. Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например: 20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7. В общем случае: а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например: 18-(9-5) = 18 + 5-9= 14. Вообще: а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Сочетательный закон умножения
Так: 7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще: abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так: 3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60. Вообще: a•(bcd…) = <[(a·b)•c]•d>… Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один из сомножителей, оставив другие без изменения.
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре- результаты сложить.
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так: (8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще: (а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас, т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй:
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один из сомножителей, оставив другие без изменения:
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится. Поясним это свойство на следующих двух примерах: 1)8:3 = 8/3|, умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим новое частное: (8*5)/(3*5) которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда (am) : (bm) = а : b, что можно написать и так: am/bm= a/b
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Свойства умножения
Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.
Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.
Переместительное свойство умножения
От перестановки мест множителей произведение не меняется.
То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.
Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).
Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.
Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.
Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.
В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно сложения звучит так:
Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.
В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно вычитания звучит так:
Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Свойство нуля при умножении
Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: 0 * a * b * c = 0.
Свойство единицы при умножении
Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число.
То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.
Свойства деления
Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.
Основные свойства деления целых чисел
И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:
Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.
В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.
Применим свойства деления на практике.
Пример 1
Мама купила 6 кг конфет и разложила их в три пакета. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?
Так как в каждом пакете одинаковое количество конфет, разделим 6 кг на три равные части: 6 : 3 = 2. Значит в каждом пакете по 2 кг конфет.
Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.
Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:
выражающее переместительное свойство умножения.
4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.
Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:
выражающее сочетательное свойство умножения.
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.
Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:
25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.
В данном случае можно было вычислить всё последовательно:
25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,
но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.
Распределительное свойство умножения
Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
выражающее распределительное свойство умножения.
Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
В математике любое действие принято называть операцией. Согласно математическому определению под ней понимают представления соответствия одному или нескольких элементам аргумента иного элемента. Все операции разделяют на арифметические и гипероперации. К первым относят сложение и вычитание. Вторые же включают в себя:
При умножении участвуют два члена (аргумента). Один из них называют множителем, а другой сомножителем. Но вместе с тем в учебниках используют и другие названия — множимое и множитель. Результатом умножения является не что иное, как произведение. Так как перемножение по своей сути является коммутативной операцией, то есть характеризуется свойством переместительности, порядок записи членов не оказывает влияния на результат.
Наряду с таблицей существуют и законы умножения. В 5 классе среднеобразовательной школы учащиеся проходят эти свойства, закладывая фундамент для освоения быстрого счёта. По своей сути произведение является результатом сложения одного из чисел столько раз, сколько указывает второе. Например, пусть имеется девять рядов. В каждом из них лежит пятнадцать яблок. Чтобы вычислить, сколько же всего фруктов необходимо, нужно сложить число пятнадцать само с собой девять раз. В ответе и получится искомое количество.
Эта неудобная операция сложения заменяется умножением. Другими словами, нужно просто число рядов умножить на количество яблок в каждом из них: k = 15 * 9 = 135 штук. При этом, согласно свойству умножения, порядок перемножения не имеет значения, так k = 9 * 15 = 135 штук.
Под умножением двух натуральных чисел понимают действие, результат которого равен сумме одинаковых слагаемых, определяемой первым из умножаемых чисел. При этом второе из этих чисел указывает количество слагаемых. В этом и заключена суть умножения двух натуральных чисел. Можно сформулировать простое определение действию: под произведением понимают результат, полученный суммированием слагаемого, при этом одно из перемножаемых чисел указывает на количество слагаемых.
Свойства произведения
Изучение математиками процесса умножения позволило им обнаружить ряд закономерностей, характерных для этого действия. Их назвали свойствами умножения. Наиболее часто при решении задач, при котором используется нахождение произведения, используют шесть законов умножения:
Сочетательный и переместительный законы были получены путём изучения результатов действия сложения. Они довольно похожи между собой. При сложении используется два правила: от перемены мест слагаемых результат остаётся неизменным, и при сложении нескольких членов можно сложить только два из них, а после полученную сумму прибавить к оставшимся. Именно на этих свойствах и построены два закона умножения. Сочетательное свойство сложения и умножения вместе с переместительным законом используют для существенного ускорения расчётов.
Например, пусть необходимо вычислить выражение: 15 * 3 * 4 * 5 + 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6. Пример состоит из двух слагаемых. Первое, используя сочетательный закон, можно упростить. То есть не выполнять перемножение последовательно, что трудно сделать в уме, а вначале умножить первый и второй член, а затем третий с четвёртым, а уже после полученные произведения перемножить между собой: (15 * 3) * (4 * 5) = 45 * 20 = 900. Второе же слагаемое проще вычислить последовательно. В итоге получится: 900 + 720 = 1620.
Формулировка и объяснение
Сочетательный закон, а его часто называют ассоциативным, гласит, что при умножении любого количества множителей результат не поменяется, если группу этих множителей подменить произведением. Математической формулой это утверждение можно записать в виде: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).
Для понимания этого действия нужно представить прямоугольник со сторонами три и пять сантиметров, нарисованный на тетрадном листе в клетку. Фигуру можно разбить на одинаковые единичные (сантиметровые) квадраты, а после подсчитать их количество. Сделать это можно несколькими способами.
Например, зная, что общее количество квадратов будет равняться произведению пяти на три, а каждый квадрат образуется четырьмя клетками, общее число будет равняться n = (5 * 3) *4 = 60 штук. Другой способ можно построить на том, что в каждом столбце находится три квадрата. Отсюда следует, что столбец содержит 3 * 4 клетки. Общее число клеток будет равняться: 5 * (3 * 4) = 60 штук.
Получается, что два способа равноправны, то есть (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4). Таким образом, если заменить члены буквенным обозначением, то получится сочетательное свойство умножения. Отсюда следует ещё одно правило. Оно позволяет не только менять местами множители, но и вносить их под знак скобки, тем самым определяя порядок решения.
Распределительное свойство удобно применять и относительно сложения и вычитания. Пусть имеется отрезок разделяющий прямоугольник. Количество единичных квадратов, с одной стороны, будет равняться произведению трёх умноженному на три, а с другой — трёх на два. В итоге получится: 3 * 3 + 3 * 2 = 15 штук. Иначе можно утверждать, что в каждой строчке фигуры размещены 3 + 2 квадрата. Исходя из этого, верно будет записать: 3 * (3 + 2) = 15 штук. Равенство 3 * 3 + 3 * 2 = 3 * (3+ 2) и есть распределительное свойство, довольно плотно использующееся с сочетательным законом.
Например, нужно найти результат действия 25 *1349 * 4. Используя переместительное и сочетательное свойство, удобно выполнить перестановку членов, благодаря чему можно найти ответ. Так, удобно объединить члены выражения следующим образом: 25 * 1349 * 4 = 1349* (25 * 4) = 1349 * 100 = 134900. Аналогичным образом можно поступить и при присутствии в задании знака сложения или вычитания. Например, 311 * 734 + 329 * 266 = 311 * (734 + 266) = 311 * 1000 = 311 000.
Решение примеров
Необходимо не только понять сочетательный закон, но и уметь применять его в практических заданиях. Тем более что решение примеров позволит закрепить теоретический материал и довести действия до автоматизма. Получив опыт группирования членов, можно будет, затрачивая минимальные усилия, перемножить любой сложности выражения. При этом некоторые действия даже выполнить в уме.
Существует несколько условий применения сочетательного свойства: в задании не может быть менее трёх числовых значений; выражение должно содержать только все знаки сложения или умножения. Например, для следующих выражений: 6 * 55 — 3, 6 * 34, 4 * 9 *12, 34:5 * 8, 4 *9 *234, закон применим только ко второму и последнему.
Вот ряд примеров, предназначенных для самостоятельного решения:
Следует отметить, что для освоения сочетательного свойства обычно хватает самостоятельно решить около двадцати различных примеров. При этом для проверки результата можно использовать обычный калькулятор или даже онлайн-калькуляторы.
