Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Определение квадратного неравенства
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a 0, последовательность знаков: +, +,
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Неравенство примет вид:
В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.
Отобразим эти данные на чертеже:
2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3
Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.
Типы неравенств
Линейные неравенства: свойства и правила
Вспомним свойства числовых неравенств:
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.
Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.
Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.
Правила линейных неравенств
Решение линейных неравенств
Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как решаем:
Метод интервалов
Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Метод интервалов заключается в следующем:
Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;
Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;
Как решаем:
В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,
Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.
Определим знаки на промежутках.
Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.
Графический способ
Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.
Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.
Символ
Название
Тип знака
>
больше
строгий знак (число на границе не включается )
строгий знак (число на границе не включается )
≥
больше или равно
нестрогий знак (число на границе включается )
≤
меньше или равно
нестрогий знак (число на границе включается )
Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.
В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».
Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.
Рассмотрим пример линейного неравенства.
Как решить линейное неравенство
Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».
При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.
Правило переноса в неравенствах
Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.
Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.
Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.
Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».
При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:
Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».
Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.
Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».
Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.
Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.
Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.
В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».
Правило умножения или деления неравенства на число
Рассмотрим другое неравенство.
Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.
Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».
При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.
Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.
Рассмотрим другое неравенство.
Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
Таблица числовых промежутков
Неравенство
Графическое решение
Форма записи ответа
x c
Алгоритм решения линейного неравенства
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
Примеры решения линейных неравенств:
№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )
№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14
6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4
x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).
Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).
№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
x + 6 − 9 x > − 8 x + 48
Квадратные неравенства
Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.
Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).
Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.
Примеры решения квадратных неравенств:
№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
№5. Решить неравенство x 2 4.
Решение:
Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.
( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2
x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.
Решение:
Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.
x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1
x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )
Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.
Дробно рациональные неравенства
Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).
Примеры дробно рациональных неравенств:
x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3
Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Примеры решения дробно рациональных неравенств:
№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0
3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )
№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
Системы неравенств
Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы неравенств:
Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решений систем неравенств:
№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.
Графическая интерпретация решения:
Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Графическая интерпретация решения:
№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения:
Графическая интерпретация решения:
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.
№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
Решаем методом интервалов.
D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16
Простейшие линейные неравенства — это неравенства вида x>a; x≥a; x
Решение простейшего линейного неравенства можно изобразить на числовой прямой в виде числового промежутка и записать в виде интервала.
Неравенства бывают строгие и нестрогие.
Строгие неравенства — это неравенства со знаками больше (>) или меньше ( a или x≥a — лежит справа от точки a (штриховка идет от точки a вправо, на плюс бесконечность) (для запоминания можно использовать ассоциацию).
Скобка, соответствующая точке a строгого неравенства x>a или x
В нестрогом неравенстве x≥a или x≤a точка a — с квадратной скобкой.
Бесконечность и минус бесконечность в любом неравенстве всегда записываются с круглой скобкой.
Если обе скобки в записи круглые, числовой промежуток называется открытым. Концы открытого промежутка не являются решением неравенства и не включаются в ответ.
Конец промежутка с квадратной скобкой включается в ответ.
Запись промежутка всегда ведётся слева направо, от меньшего — к большему.
Решение простейших линейных неравенств схематически можно представить в виде схемы:
Рассмотрим примеры решения простейших линейных неравенств.
12\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Читают: «икс больше двенадцати».
Неравенство нестрогое, на числовой прямой 12 изображаем выколотой точкой.
К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: —>. Стрелочка указывает, что от 12 штриховка уходит вправо, к плюс бесконечности:
Так как неравенство строгое и точка x=12 выколотая, в ответ 12 записываем с круглой скобкой.
Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двенадцати до бесконечности».
Читают: «икс больше минус трёх целых семи десятых»
Читают: «икс принадлежит промежутку от минус трёх целых семи десятых до бесконечности, включая минус три целых семь десятых».
Читают: «икс меньше нуля целых двух десятых» (или «икс меньше чем нуль целых две десятых»).
Неравенство строгое, 0,2 на числовой прямой изображаем выколотой точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку:
Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до нуля целых двух десятых».
Читают: «икс меньше либо равен пяти».
Неравенство нестрогое, на числовой прямой 5 изображаем закрашенной точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: ≤—. Направление штриховки — влево, к минус бесконечности:
Неравенство нестрогое, точка закрашенная, 5 — с квадратной скобкой.
Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до пяти, включая пять».
12\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
