Что означает форма треугольник

Простейшая плоская фигура, образованная первым из всех возможных способов ограничения на поверхности определенной площади прямыми линиями. В этом смысле можно понимать высказывание Платона: «Поверхность состоит из треугольников». Геометрическое представление числа 3, один из наиболее древних (, мощных) и универсальных символов. Первая из геометрических фигур, встречающаяся в древних орнаментах (при этом следует отметить преобладание в них перевёрнутых треугольников) и строениях:

Наиболее часто такие изображения интерпретируются как символ небесных вод и Великой Богини как их подательницы, а в качестве их прототипа называется женский лонный треугольник. Это отчасти подтверждается тем, что образность такого треугольника нередко «подкрепляется» добавлением короткой линии, проведенной от вершины внутрь. Впрочем, многие древние орнаменты далеко не редко включают в себя треугольники как символ гор или возделанной земли, а не вод. Не стоит также забывать и о том, что не каждый треугольник обязательно преисполнен символического смысла.

Значительную часть всех геометрических символов составляют сочетания двух и более треугольников. Наиболее известны из них гексаграмма, образованная наложением двух треугольников и пентаграмма, изветная также как «тройной треугольник Пифагора».

Содержание

Триада духовной воли, любви-интуиции и разума человека, то есть его личности или души.

Священный треугольник египтян с отношением сторон и гипотенузы 3:4:5 служил практическим целям получения прямого угла и выступал символом Природы Всего Сущего:

«Они сравнивают вертикальную сторону (прямоугольного треугольника) с мужчиной, горизонтальную — с женщиной, а гипотенузу — с их потомком: Озирис как начало, Изида как середина или хранилище и Гор как завершение». «В этом треугольнике число Три совершенно и выше всех остальных, Четыре есть квадрат, построенный на стороне парной двойственности, а что до числа Пять, то оно принадлежит, с одной стороны, Отцу, а с другой — Матери, и состоит из Триады и Двойственности». Плутарх

Имеющая вид треугольника «дельта» греческого алфавита считается дверью жизни, символом женского начала и плодородия. В пифагорейской системе она выступает символом создания космоса, а равносторонний треугольник — Афины как богини мудрости.

«Земле мы, конечно, припишем вид куба, ведь из всех четырех родов наиболее неподвижна и пригодна о к образованию тел именно земля, а потому ей необходимо иметь самые устойчивые основания. Между тем не только из наших исходных треугольников равнобедренный, если взять его как основание, по природе устойчивее неравностороннего, но и образующийся из сложения двух равнобедренных треугольников квадрат с необходимостью более устойчив, нежели равносторонний треугольник, причем соотношение это сохраняет силу как для частей, так и для целого. Значит, мы не нарушим правдоподобия, если назначим этот удел земле, а равно и в том случае, если наименее подвижный из остальных видов отведем воде, наиболее подвижный — огню, а средний — воздуху; далее, наименьшее тело — огню, наибольшее — воде, а среднее — воздуху, и, наконец, самое остроугольное тело — огню, следующее за ним — воздуху, а третье — воде. Но из всех вышеназванных тел наиболее подвижно по природе своей и по необходимости то, у которого наименьшее число оснований, ибо оно со всех сторон имеет наиболее режущие грани и колющие углы, а к тому же оно и самое легкое, коль скоро в его состав входит наименьшее число исходных частей. (…) Пусть же объемный образ пирамиды и будет, в согласии со справедливым рассуждением и с правдоподобием, первоначалом и семенем огня…».

Философ Ксенократ рассматривал равносторонний треугольник как «божественный», равнобедренный как «демонический», а «разносторонний» как «человеческий» (несовершенный).

В позднейшее время известное символическое значение приобрёл «пифагорейский треугольник», имеющий, как и «египетский» соотношение сторон 3:4:5 и демонстрирующий «изящную закономерную соразмерность квадратов через стороны прямоугольного треугольника».

«Между длиной сторон прямоугольного треугольника отсутствует какое-либо очевидное соотношение; однако если мы на каждой стороне построим квадрат, то площадь обоих меньших квадратов будет точно соответствовать площади большего квадрата. Если таким чудесным образом упорядоченные, скрытые до сих пор от человеческого глаза законы удалось открыть благодаря погружению в образование чисел, не является ли обоснованной надежда, что все тайны вселенной вскоре будут раскрыты через числовые соотношения?»

Град, Сердце Хрунгнира.

В тибетском тантризме комбинация двух равносторонних треугольников в виде гексаграммы представляет собой «проникновение в женственное мужского огня».

Треугольник не играет значительной роли в китайском умозрении и почти всегда выступает как «символ женского начала», ассоциируемый со «срамным треугольником».

У китайцев треугольник с подвешенными мечами символизирует восстановление.

Сань цзяо фу, или «Треугольное Заклинание», представляет собой листок бумаги, на котором написаны заклинания, сложенный в форме треугольника.

Ацтеки использовали изображение соединённых прямого и опрокинутого треугольника в качестве символа временного цикла.

В древних мексиканских рукописях треугольный символ, сходный с заглавным «А», является знаком понятия «год».

Обозначение материнского лона. Треугольники, обращенные вершинами вверх и вниз — шакта и шакти, лингам и йони, Шива и его Шакти. Изолированное изображение женских половых органов в такой форме встречается редко: обычно представлено сочетание мужского и женского символов как указание на дуализм обоих первопринципов, через взаимодействие которых развертывается процесс созидания мира. В этом качестве треугольники широко представлены в разнообразных мандалах и янтрах, из которых наиболее известна Шри-янтра-мандала, центр которой образован девятью взаимно пересекающимися, взаимно проникающими треугольниками.

Перевёрнутый треугольник частый неиконический символ животворной силы богини Дурги.

Красный треугольник острием вверх служит символом огня (Теджас)

Треугольник с пчелой на ним или на его вершине служит символов Шивы Мадхери — «обходительного».

Чистое пламя и Три Драгоценности — Будды, Дхарма и Сангха.

Равносторонний треугольник по древнееврейской традиции символизирует совершенство. Знак Бога; глаз, вписанный в треугольник, символизирует Иегову.

Равносторонний треугольник, часто в сочетании с тремя кругами, точками или дугообразными выступами у своих сторон, служит символом Троицы в единении и равенстве составляющих ее лиц — Отца, Сына и Святого Духа.

Треугольный нимб — атрибут Бога-Отца как Триединого Бога, первого лица Троицы.

В раннехристианскую эпоху треугольник как символ Троицы использовали манихеи, поэтому Августин Блаженный его в этом значении отрицал. Однако вскоре треугольник встал в один ряд с такими символами как рука, голова и имя бога. Позднее к треугольнику прибавляется Око Божье как символ божественного всеведения (всевиденья, Провидения). В таком виде символ Троицы используется уже в живописи Возрождения, но наиболее широко и разносторонне Око Господне использовалось в эпоху барокко как в религиозном искусстве, так и в системе масонской символики.

Треугольник лежит в основе готической архитектуры не только как символ Троицы: пламенеющая готическая арка задает тему огня и развивает апокалиптическую тему.

Пользуясь двумя соединенными друг с другом треугольниками, арабские архитекторы строили эллипс и вычерчивали купола своих зданий.

На четыре треугольника/тригона в соответствии с учением о «четырех элементах» подразделяются знаки зодиака:были определены четыре тригона (треугольника) по три знака

В иконическом представлении созвездия Кассиопеи голову сидящей на троне женщины нередко венчает треугольник.

В ритуально-магической практике треугольник часто вписывается в патакли или магический круг, обычно в качестве защиты или изоляции некоторого пространства от нежелательных воздействий.

Треугольник служит основой для множества из богатого арсенала алхимических и ранних химических знаков из которых наиболее известны символы:

Пара треугольников может обозначать любую из бинарных оппозиций (сущность — субстанция, forma — materia, дух — душа, сера — ртуть, стабильное — изменчивое, духовная сила — телесное существование) или союз противоположностей, если такие треугольники смыкаются или переплетены. В сочетании с другими геометрическими символами треугольник обычно обозначает более подвижные или одухотворённые силы, как, например, на иллюстрации во франкфурстком алхимическом издании 1618 г. (обнаружено Зильберером) изображающей, в частности, крылатый земной шар (полёт через время и пространство) несущий на себе треугольник и квадрат, которые, по-видимому, обозначают материю и скрытую в ней жизнь.

Равносторонний треугольник, окружённый сиянием, представленный в таких обычных для масонства символах как «всевидящее око» и «пламенеющая дельта», восходит, по-видимости к христианскому символу Троицы.

Среди его символических трактовок наиболее распространены следующие:

В виде прямоугольного равностороннего треугольника нередко изображается угольник, несколько реже форму треугольника имеет ещё один масонский символ — уровень (ватерпас).

Очарование гармонией чисел в форме пропорций прямоугольных треугольников, открытых Пифагором (VI в. до н. э.), описано у А. Кёстлера (1963) следующим образом:

«Между длиной сторон прямоугольного треугольника отсутствует какое-либо очевидное соотношение; однако если мы на каждой стороне построим квадрат, то площадь обоих меньших квадратов будет точно соответствовать площади большего квадрата. Если таким чудесным образом упорядоченные, скрытые до сих пор от человеческого глаза законы удалось открыть благодаря погружению в образование чисел, не является ли обоснованной надежда, что все тайны вселенной вскоре будут раскрыты через числовые соотношения?»

Треугольник Пифагора с длиной сторон 3, 4 и 5 изображался на учебных ковриках с квадратами над катетами и гипотенузой и для краткости назывался «Пифагором». В качестве «47-й задачи Евклида» он является символом главы масонской ложи и знаком старшего мастера.

Пифагорейский треугольник в спекулятивном толковании соответствия (согласованности) выступает символом «главы масонской ложи» и образует отличительный знак корифея в смысле стремления к мере и гармонии. Из него можно конструировать кубик (кубический камень), угольник с длиною сторон 3 и 4, и — из системы кубиков — крест. Таким образом, эта «мистическая математика» стала символическим путем приближения к творческим тайнам Бога, «всемогущего зодчего всех миров».

В западных эмблематике и искусстве имеют треугольник своим атрибутом:

Безопасность — (тре)угольник как «архитектонское», строительное орудие [3] ;

Знаменитая «абракадабра», выписанная в форме перевёрнутого треугольника, известна также как «магический треугольник христианских теософок», которыми этому магическому заклинанию приписаны необыкновенные свойства. [РАТП]

Равносторонний треугольник — самая динамичная из геометрических фигур, ассоциирующаяся с опасностью, экспансией и агрессией, стремительным и разрушающим препятствия (пронизывающим, рассекающим, раскалывающим) движением. Последнее значение ещё более явно проступает в случае с остроконечными равнобедренными треугольниками, которые в качестве зримого образа движения и направления сближаются с символикой луча. Поскольку объекты, имеющие форму треугольника, привлекают и мобилизуют внимание, она широко используется в качестве основы для различных предупреждающих знаков (дорожных, технологических) и указателей.

Треугольник соотносится с такими свойствами характера как ригидность и эгоцентризм, проявлениями которых могут быть уверенность и стойкость, но также — жёсткость, упрямство, несговорчивость, резкость, самоутверждение любой ценой.

Увиденный во сне треугольник символизирует «материнское лоно космоса».

Треугольник, расположенные в его естественном положении между квадратом (ниже) и кругом (выше), выступает символом коммуникации между различными иерархическими уровнями, что объясняет устойчивость использования треугольника ка символически значимого элемента в структуре культовых сооружений (пирамиды, пагоды, фасады цистерцианских и готических храмов, etc.).

Сочетания треугольника и квадрата обычно рассматриваются как воплощение различных аспектов борьба между центральными — внутренними побудительными импульсами, «элементами духа»; и периферическими составляющими — внешняя упорядоченность; взаимодействия личности и (социальной) среды. «Внешний круг, с другой стороны, всегда выполняет объединяющую функцию, преодолевая противоречия и неправильности углов и сторон посредством их неявного движения».

Согласно Агриппе Неттесгеймскому, Юнону нередко обозначали треугольником как олицетворение женщины.

Своей деятельностью человек трансформирует грубую материю, знак которой — неправильный треугольник, в организованную материю, знаком которой является пирамида, или правильный треугольник, а также ашлар — камень творения, прямоугольный обтесанный камень, на котором строится дом или храм.

Источник

Треугольник

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.

В неевклидовых пространствах в качестве сторон треугольника выступают геодезические линии, которые, как правило, являются криволинейными. Поэтому такие треугольники называют криволинейными.

Содержание

Элементы треугольника

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны:

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

Треугольник имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Признаки равенства треугольников

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников

Типы треугольников
Файл:Triangle-acute.svg Остроугольный	Файл:Triangle-obtuse.svg Тупоугольный	Прямоугольный
Разносторонний	Файл:Triangle-isosceles.svg Равнобедренный	Равносторонний

По величине углов

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше. Разность суммы углов треугольника и 180° называется дефектом. Дефект пропорционален площади треугольника, таким образом, у бесконечно малых треугольников на сфере или плоскости Лобачевского сумма углов будет мало отличаться от 180°.

По числу равных сторон

Определения, связанные с треугольником

Все факты, изложенные в этом разделе, из евклидовой геометрии.

Лучи, отрезки и точки

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведённая из неё, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.

Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки и такие, что и называются точками Брокара.

Прямые

В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана. Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис. На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера.

Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек перпендикулярны.

Треугольники

Окружности

Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера. Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных. Точка касания вписанной окружности и окружности девяти точек называется точкой Фейербаха. Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, ортезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея. В любой треугольник можно вписать три окружности таким образом, что каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Такие окружности называются окружностями Мальфатти. Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.

В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна, а отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей — в точке Нагеля.

Эллипсы, параболы и гиперболы

В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке. [1]

В треугольник можно вписать эллипс, который касается сторон в серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника). [2] Описанный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины параллельно сторонам, называется описанным эллипсом Штейнера. Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести треугольник в правильный, то его вписанный и описанный эллипс Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера. [3]

Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана. [4]

Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. [5] Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр. [6] Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Если описанная гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны). [7] Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек. [7]

Преобразования

Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек: центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки ).

Кубики

Кубика — это кривая третьего порядка (задающаяся уравнением третьей степени). Многие замечательные кубики, связанные с треугольником, строятся следующим образом: фиксируется точка в плоскости (возможно, бесконечно удалённая). Тогда множество таких точек , что прямая проходит через эту точку, является описанной около треугольника кубикой (здесь — точка, изогонально сопряжённая ). Такие кубики проходят также через центры вписанной и вневписанных окружностей, а также через саму фиксированную точку и изогонально сопряжённую ей. [10]

Соотношения в треугольнике

Примечание: в данном разделе , , — это длины трёх сторон треугольника, и , , — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики.

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема синусов

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a Теорема косинусов

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →