Что описывает уравнение навье стокса
Уравнения Навье — Стокса
Уравнения Навье — Стокса
| Механика сплошных сред | ||||||||||
 | ||||||||||
Сплошная среда
|
Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса.
Система состоит из двух уравнений:
В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:
где 
— оператор Гамильтона, Δ — оператор Лапласа, t — время, ν — коэффициент кинематической вязкости, ρ — плотность, p — давление, 
— векторное поле скоростей, 
— векторное поле массовых сил. Неизвестные p и 
являются функциями времени t и координаты 
, где 
, n = 2,3 — плоская или трехмерная область, в которой движется жидкость. Обычно в систему уравнений Навье-Стокса добавляют краевые и начальные условия, например
Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.
При учёте сжимаемости уравнение Навье — Стокса принимает следующий вид:
где μ — коэффициент динамической вязкости (сдвиговая вязкость), ζ — «вторая вязкость», или объёмная вязкость.
Содержание
Анализ и решение уравнений
В анализе решений уравнений заключается суть одной из открытых проблем, за решение которых Математический институт Клэя назначил премию в 1 млн долларов США. Необходимо доказать или опровергнуть существование глобального гладкого решения задачи Коши для трехмерных уравнений Навье — Стокса. Нахождение общего аналитического решения системы Навье — Стокса для пространственного или плоского потока осложняется тем, что оно нелинейное и сильно зависит от начальных и граничных условий.
Также ряд коммерческих фирм, например Боинг, назначили свои премии.
До сих пор решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях. В настоящее время существует несколько ситуаций (обусловленных простой геометрией), которые решены в аналитическом виде. В остальных случаях используется численное моделирование.
Некоторые точные решения:
Основные свойства системы Навье — Стокса
Применение
Будучи дополненным уравнениями переноса тепла и переноса массы, а также соответствующих массовых сил, система уравнений Навье — Стокса может описывать конвекцию, термодиффузию в жидкостях, поведение многокомпонентных смесей различных жидкостей и т. п.
Если же в уравнение в качестве массовой силы ввести силу Лоренца, и дополнить систему уравнениями Максвелла для поля в сплошной среде, то модель позволяет описывать явления электро- и магнитогидродинамики. В частности, такие модели успешно применяются при моделировании поведения плазмы, межзвёздного газа.
Одним из применений системы уравнений Навье — Стокса является описание течений в мантии Земли («проблема динамо»).
Также вариации уравнения Навье — Стокса используются для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности, при формировании прогноза погоды. Для описания реальных течений в различных технических устройствах приемлемую точность численного решения можно получить только при такой расчётной сетке, ячейки которой меньше самого мелкого вихря. Это требует очень больших затрат расчётного времени на современных компьютерах. Поэтому были созданы различные модели турбулентности, упрощающие расчёт реальных потоков.
Уравнения Навье-Стокса
Уравнения Навье-Стокса
| Механика сплошных сред | ||||||||||
 | ||||||||||
Сплошная среда
|
Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса.
Система состоит из двух уравнений:
В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:
где 
— оператор Гамильтона, Δ — оператор Лапласа, t — время, ν — коэффициент кинематической вязкости, ρ — плотность, p — давление, 
— векторное поле скоростей, 
— векторное поле массовых сил. Неизвестные p и 
являются функциями времени t и координаты 
, где 
, n = 2,3 — плоская или трехмерная область, в которой движется жидкость. Обычно в систему уравнений Навье-Стокса добавляют краевые и начальные условия, например
Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.
При учёте сжимаемости уравнение Навье — Стокса принимает следующий вид:
где μ — коэффициент динамической вязкости, ζ — «вторая вязкость».
Содержание
Анализ и решение уравнений
В анализе решений уравнений заключается суть одной из открытых проблем, за решение которых Математический институт Клэя назначил премию в 1 млн долларов США. Необходимо доказать или опровергнуть существование глобального гладкого решения задачи Коши для трехмерных уравнений Навье — Стокса. Нахождение общего аналитического решения системы Навье — Стокса для пространственного или плоского потока осложняется тем, что оно нелинейное и сильно зависит от начальных и граничных условий.
Также ряд коммерческих фирм, например
До сих пор решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях. В настоящее время существует несколько ситуаций (обусловленных простой геометрией), которые решены в аналитическом виде. В остальных случаях используется численное моделирование.
Некоторые точные решения:
Основные свойства системы Навье — Стокса
Применение
Одним из применений системы уравнений Навье — Стокса является описание течений в мантии Земли («проблема динамо»).
Вариации уравнения Навье — Стокса используются для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности, при формировании прогноза погоды. Для описания реальных течений в различных технических устройствах приемлемую точность численного решения можно получить только при такой расчётной сетке, ячейки которой меньше самого мелкого вихря. Это требует очень больших затрат расчётного времени на современных компьютерах. Поэтому были созданы различные модели турбулентности, упрощающие расчёт реальных потоков.
Навье-Стокса уравнения
Навье-Стокса уравнения
| Механика сплошных сред | ||||||||||
| ||||||||||
Сплошная среда
|
Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса.
Система состоит из двух уравнений:
В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:
где — оператор Гамильтона, Δ — оператор Лапласа, t — время, ν — коэффициент кинематической вязкости, ρ — плотность, p — давление, — векторное поле скоростей, — векторное поле массовых сил. Неизвестные p и являются функциями времени t и координаты , где , n = 2,3 — плоская или трехмерная область, в которой движется жидкость. Обычно в систему уравнений Навье-Стокса добавляют краевые и начальные условия, например
Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.
При учёте сжимаемости уравнение Навье — Стокса принимает следующий вид:
где μ — коэффициент динамической вязкости, ζ — «вторая вязкость».
Содержание
Анализ и решение уравнений
В анализе решений уравнений заключается суть одной из открытых проблем, за решение которых Математический институт Клэя назначил премию в 1 млн долларов США. Необходимо доказать или опровергнуть существование глобального гладкого решения задачи Коши для трехмерных уравнений Навье — Стокса. Нахождение общего аналитического решения системы Навье — Стокса для пространственного или плоского потока осложняется тем, что оно нелинейное и сильно зависит от начальных и граничных условий.
Также ряд коммерческих фирм, например
До сих пор решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях. В настоящее время существует несколько ситуаций (обусловленных простой геометрией), которые решены в аналитическом виде. В остальных случаях используется численное моделирование.
Некоторые точные решения:
Основные свойства системы Навье — Стокса
Применение
Одним из применений системы уравнений Навье — Стокса является описание течений в мантии Земли («проблема динамо»).
Вариации уравнения Навье — Стокса используются для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности, при формировании прогноза погоды. Для описания реальных течений в различных технических устройствах приемлемую точность численного решения можно получить только при такой расчётной сетке, ячейки которой меньше самого мелкого вихря. Это требует очень больших затрат расчётного времени на современных компьютерах. Поэтому были созданы различные модели турбулентности, упрощающие расчёт реальных потоков.
— основные уравнения движения вязкой жидкости, представляющие математическое выражение законов сохранения импульса и массы. Для неустановившегося течения сжимаемой жидкости Н.- С. у. в декартовой системе координат могут быть, записаны в виде
где 
— вектор скорости с проекциями 
на соответствующие оси координат 
— давление,
— плотность,
— коэффициент вязкости;
— проекции вектора массовой силы 
на координатные оси; 
— субстанциональная производная. При выводе уравнений (1) использован обобщенный закон трения Ньютона, предполагающий, что для движущихся жидкостей и газов напряжения пропорциональны скоростям деформаций. Для исследования сжимаемых течений к уравнениям (1) необходимо добавить уравнение состояния, связывающее между собой давление, плотность и температуру, и уравнение энергии. Уравнения (1), составляющие основу гидродинамики, впервые были получены Л. Навье [1] и С. Пуассоном [2] на основе соображений о действии межмолекулярных сил. Б. Сен-Венан [3] и Дж. Г. Стоке [4] вывели эти уравнения, допуская только, что нормальные и касательные напряжения линейно связаны со скоростями деформаций.
Для течений несжимаемой изотермич. жидкости (
) уравнения (1) в векторной форме могут быть представлены в виде
При анализе Н.- С. у., как правило, рассматриваются в безразмерной форме, к-рая получается путем отнесения всех величин, входящих в уравнения, к соответствующим характерным величинам. Так, в случае стационарных течений несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил в Н.- С. у. появляется один определяющий безразмерный параметр, наз. Рейнольдса числом:
Для исследования двумерных несжимаемых течений часто используются Н.- С. у. в форме Гельмгольца:
где 
— функция тока и 
— вихрь связаны с проек циями скорости 
и 
следующим образом:
Основные краевые задачи для стационарных Н.- С. у. связаны с исследованием течений в замкнутых полостях, каналах, течений со свободными поверхностями, с обтеканием тел, течений в струях и следах за телами. При этом интегрирование Н.- С. у. проводится в областях (конечных или бесконечных), на границе к-рых ставятся условия из соображений физич. характера (условия прилипания или скольжения на поверхности тел, вдува или отсоса на проницаемых поверхностях, условия внешнего потока вдали от обтекаемого тела, условия на свободной границе и др.). Для нестационарных задач помимо граничных условий должны задаваться начальные условия.
Строгий математич. анализ разрешимости краевых задач гидроаэромеханики для Н.- С. у. сжимаемого газа отсутствует (1982). Имеются нек-рые результаты в математич. теории динамики вязкой несжимаемой жидкости (см. Гидродинамики математические задачи).
Первоначально усилия исследователей были направлены на отискание точных решений. Напр., для несжимаемой жидкости имеются точные решения для установившихся течений: в плоском канале при заданном постоянном перепаде давления (течение Пуазёйля); между двумя параллельными плоскими стенками, одна из к-рых покоится, а другая движется в своей плоскости с постоянной скоростью (течение Куэтта); в прямолинейной трубе с круглым поперечным сечением при постоянном перепаде давления (течение Хагена- Пуазейля). Найдены также нек-рые автомодельные решения, среди них: плоскопараллельное (и осесимметричное) течение вблизи критической точки (течение Хоуарта); течения в суживающемся и расширяющемся каналах (течение Гамеля).
Приближенные решения Н.- С. у. основаны на упрощающих предположениях. Здесь следует отметить решения при очень малых числах Рейнольдса 
, соответствующие так наз. ползущим
движениям, среди к-рых наиболее известно течение Стокса около шара. Предельный случай очень больших чисел Рейнольдса приводит к теории гидродинамического пограничного слоя. Уравнения пограничного слоя позволили решить большой круг практически важных задач на основе широко разработанных приближен ных и численных методов.
Для решения нек-рых классов задач динамики вязких жидкостей и газов разработаны достаточно эффективные алгоритмы, основанные на использовании разностных схем. Напр., для задачи расчета ламинарных течений вязких несжимаемых жидкостей в областях простой формы (или около тел простой формы). Наибольшее распространение здесь получили разностные методы для уравнений в форме (3), хотя для этой системы и имеются трудности, связанные с определением граничных условий для 
. Первые результаты по решению стационарного варианта системы (3) были получены с помощью простейших явных пятиточечных схем и итерационных методов (см. [6]). Решение стационарных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости большей частью основано на использовании метода установления и применении явных и неявных схем для системы (3). Среди явных схем используются двухслойные по времени схемы с симметричной аппроксимацией первых производных центральными разностями и решением второго уравнения из (3) на каждом временном слое с помощью метода Зейделя, а также трехслойная схема, в к-рой конвективные члены аппроксимируются по
Неявные схемы, как правило, основаны на применении метода дробных шагов (см. [8]). Общая структура таких схем для уравнения (3) может быть представлена, напр., в виде
где 
— разностные одномерные операторы:
где hи l— шаги сетки по хи у,
Разностные уравнения (4) обычно приводятся к трех-диагональному виду и совместно с соотношениями, аппроксимирующими граничные условия, решаются методом прогонки. При решении стационарных задач методом установления может применяться либо поочередное решение уравнений (4) (без внутренних итераций для определения 
), либо одновременное решение соответствующих уравнений из (4) для совместного нахождения 
и 
с помощью векторной прогонки. Трудности, связанные с постановкой граничных условий для уравнений (3), заключаются в том, что обычные граничные условия прилипания на твердых стенках для Н.- С. у. дают условия только для 
. Для численного решения уравнения для 
формально требуют граничные условия для вихря. Эти условия могут быть получены на каждом временном слое либо приближенно на границе области, либо путем интегрирования уравнения для 
только в области, расположенной внутри основной области интегрирования [9].
Для исследования двумерных течений уравнения в форме (2) используются реже и, как правило, с некоторой регуляризацией уравнения неразрывности. Вариационно-сеточные методы, и в частности метод конечных элементов, нашли свое применение для решения уравнений динамики вязкой жидкости в форме (2) и (3).
С помощью разностных методов исследовались разнообразные задачи течения вязких несжимаемых жидкостей. Среди них задачи обтекания эллиптического й кругового цилиндра (в том числе вращающегося), пластины конечной толщины (в том числе под углом атаки), ци-линдрич. торца, капли, плоской ступени и др. Изучались также течения в каверне, в плоском и Цилиндрич. канале, в канале с препятствиями на стенках, течения со свободной поверхностью, течения естественной, вынужденной и смешанной конвекции.
Применение разностных методов для расчета течений вязкого сжимаемого газа на основе полных Н.- С. у. сопряжено с нек-рыми дополнительными трудностями по сравнению с расчетами течений несжимаемой вязкой жидкости. Это связано с тем, что в течениях сжимаемого газа существуют не только области пограничных слоев, но и другие области больших градиентов искомых функций, к-рые соответствуют ударным волнам и волнам разрежения в невязких течениях газа. Сложность самой системы Н.- С. у. для сжимаемого вязкого газа предъявляет повышенные требования к быстродействию и памяти ЭВМ. Использование явных схем в этом случай приводит к более простым алгоритмам. Примером явной схемы, хорошо зарекомендовавшей себя для расчета стационарных течений методом установления, является схема, к-рая для простого модельного уравнения с постоянными коэффициентами
может быть записана в виде
