Что не требует доказательств в геометрии
Почему аксиома не требует доказательства?
В основе любой теории лежит какой-нибудь незыблемый постулат. Это та база, которая не требует доказательств, и в рамках данной теории принимается безоговорочно. Это и есть аксиома-постулат, не требующий доказательств. Понятно, что с этим можно и поспорить. Ведь любую, даже самую правдивую теорию, можно подвергнуть сомнению. Но при таком проходе создать целый ряд наук было бы просто невозможно. Не было бы той же евклидовой геометрии, которая базируется на пятом постулате, а также других наук. К тому же, никакую теорему доказать без аксиомы невозможно. Этот постулат необычайно важен, так как именно на него опирается любое доказательство. Без аксиомы любое утверждение нуждалось бы в доказательстве, и этот процесс был бы бесконечным. Чтобы этого не произошло, нужно отдельные утверждения выставлять в качестве аксиомы, и принимать без доказательства.
Другое дело, как относиться к этим аксиомам. Их можно либо принять, либо отвергнуть. То есть, в данном случае мы говорим об истинности аксиом. Но это уже совершенно другой вопрос, который решается в рамках каждой отдельной теории.
В научных кругах есть такой термин, как степень аксиоматизации теории. Он отражает количество аксиом, которым подчинены отношениям между всеми изучаемыми в данной теории объектами. Все дальнейшие теоремы и утверждения должны базироваться на этих аксиомах. Что касается набора аксиом, то он выбирается, исходя из чисто логических рассуждений, которые не должны вступать в противоречия друг с другом.
Математик Курт Гедель доказал, что математических аксиомных систем может быть сколько угодно. На их основании большинство математических утверждений невозможно ни доказать, ни опровергнуть. При этом такая система ни в коем разе не будет противоречивой. Свой труд Гедель назвал «теоремой о неполноте».
Первым аксиомы стал использовать Аристотель. Присутствуют они в математических учениях Древних Греков, а также в математике Евклида. Древние ученые считали аксиому очевидной истиной, не нуждающейся в доказательстве. Аналогичным образом интерпретирует понятие аксиомы и Даль.
Все изменилось с появлением геометрии Лобачевского. Он попытался опровергнуть некоторые аксиомы Евклида в научном труде, который получил название неевклидова геометрия. Так, например, он высказывал мнение, что пятый постулат Евклида, касающийся непересекающихся параллельных прямых, является всего лишь частным случаем, и не может быть использован для пространства с «отрицательной кривизной».
Так, или иначе, но пятый постулат Евклида оказался аксиомой, принятой за основу без доказательств. Это говорит о том, что его не следует доказывать, так как это приведет к возникновению целого ряда противоречий. Пусть пятый постулат и вызывал у Лобачевского определенные сомнения, но именно на его основе была построена геометрическая система Евклида.
Идеи Лобачевского также не были оставлены без внимания. Они получили свое развитие в новом виде непротиворечивой геометрии, которая получила название геометрии Лобачевского. Она также базируется на математической системе аксиом.
Аксиоматизацию математики выполнял и Гильберт. Он считал, что это необходимо сделать для доказательства ее непротиворечивости. Осуществить задуманное он так и не смог, ввиду появления теорем Геделя о «неполноте». Но это уже иная история.
а к с и о м а
не требующее доказательства утверждение
• бесспорная, не требующая доказательств истина
• доказательство без доказательства
• исходная бездоказательность, истина, не требующая доказательств
• полная недоказуемость, равная полной неопровержимости. Александр Круглов
• положение, принимаемое без логического доказательства
• утверждение, которое неопровержимо, пока в нем хватает соединительной силы
• у древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести»
• полная недоказуемость, равная полной неопровержимости
• истина, на которую не хватило доказательств
• само собой разумеющееся
• положение, не требующее доказательств
• постулат в геометрии
• принятая в науке истина
• постулат в математике
• догма в математике
• положение, принимаемое без доказательств
• не требует доказательств
• положение, принимаемое без доказ.
• истиное исходное положение теории
• истинное исходное положение теории
• Истина, не требующая доказательства
• Исходное положение какой-либо теории или науки, принимаемое без доказательств
• Положение, принимаемое без доказательств
• ж. греч. очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств, напр. целое всегда, больше части своей; основная истина, самоистина, ясноистина
• положение не требующее доказательств
• положение, принимаемое без доказ
• у древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести»
а к с и о м а
бездоказательная теорема
• бесспорная, не требующая доказательств истина
• доказательство без доказательства
• исходная бездоказательность, истина, не требующая доказательств
• не требующее доказательства утверждение
• полная недоказуемость, равная полной неопровержимости. Александр Круглов
• положение, принимаемое без логического доказательства
• утверждение, которое неопровержимо, пока в нем хватает соединительной силы
• у древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести»
• полная недоказуемость, равная полной неопровержимости
• истина, на которую не хватило доказательств
• само собой разумеющееся
• положение, не требующее доказательств
• постулат в геометрии
• принятая в науке истина
• постулат в математике
• догма в математике
• положение, принимаемое без доказательств
• не требует доказательств
• положение, принимаемое без доказ.
• истиное исходное положение теории
• истинное исходное положение теории
• Истина, не требующая доказательства
• Исходное положение какой-либо теории или науки, принимаемое без доказательств
• Положение, принимаемое без доказательств
• ж. греч. очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств, напр. целое всегда, больше части своей; основная истина, самоистина, ясноистина
• положение не требующее доказательств
• положение, принимаемое без доказ
• у древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести»
Как в математике называется теорема не требующая доказательства?
Как в математике называется теорема не требующая доказательства?
Это аксиома. Только вопрос поставлен не совсем точно. В математике есть два утверждений
Т.о. теоремы не требующей доказательства вроде как и быть не должно.
Утверждение не требующее доказательств, потому, что оно, якобы, очевидно, а может просто недоказуемо, называется аксиомой.
Например, в геометрии их пять и самая последняя, пятая, о параллельности прямых, самая длинная и самая сомнительная и самая загадочная с далеко идущими выводами.
Аксиома-именно такое название носит утверждение,которое не требует доказательства.То есть это утверждение очевидно.
Одной из аксиом,которые мне запомнились из школьных учебников,является аксиома о том,что параллельные прямые не пересекаются.А ведь и правда очевидное утверждение!
Данная теорема говорит нам следующее:
если дана произвольная окружность и к ней из точки, лежащей вне этой окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек пересечения секущей с окружностью.
Что касается недоказанных теорем, то почитай список 23 проблем Гильберта, составленный Гильбертом в конце 19 века.
Правда, большинство этих проблем либо доказано, либо опровергнуто, либо доказано, что их нельзя доказать.
Никакой теоремы Рема мне найти не удалось.
Есть Теорема Римана о рядах: Пусть ряд сходится условно, тогда можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда может стать равна произвольному действительному числу или ряд разойдется.
Она доказана, и на Вики вы можете найти ее доказательство.
Еще есть Теорема Римана об отображении (в комплексном анализе именуемая просто теоремой Римана).
Пусть U — область на расширенной комплексной плоскости, являющаяся односвязной, причём её граница содержит более одной точки. Тогда существует голоморфная функция f на единичном круге, отображающая его на U взаимно однозначно.
Еще есть Гипотеза Римана о распределении нулей дзета-функции Римана, была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.
В то время как не найдено какой-либо закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x — функция распределения простых чисел, обозначаемая π ( x ) — выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.
Круг не имеет длины, а «теорема о дощечках», известная более сорока как задача венгерского математика Ласло Тота утверждает, что
изящное решение этой теоремы дискретной геометрии предложил Александр Полянский из Московского физтеха в Долгопрудном
Абсолютно надуманная и бесполезная в реальной жизни проблема.
О теоремах, данных без доказательств
Я учился в математической школе. Учился весьма посредственно, но, например, те, кого вовсе отчисляли, переходя в обычную школу, стабильно учились там на отлично без малейшего напряжения мозга.
Однажды для меня стало большим откровением, что в обычных школах некоторые теоремы и формулы давались без доказательства. То есть, людям просто говорили, что есть теорема Фалеса, а есть — формула Герона. А потом сразу давали задачи, которые можно было решить с их использованием. Это для меня было абсолютным разрывом мозга. Это не укладывалось в голове. Я совершенно не мог понять, какой смысл в том, чтобы проходить формулу, не выводя её — это же тогда просто бессмысленный набор букв и знаков. Ну или максимум «занимательный факт»: британские учёные выяснили, что.
Нас, помню, развлекал учитель математики, читая на перемене вопросы билетов экзамена по геометрии из какой-то там другой школы. Идея того, что в ответ на вопрос нужно тупо по памяти написать формулу или формулировку теоремы, представлялась смешной всему классу.
Позже в университете для некоторых моих одногруппников казалось странной необходимость доказывать теоремы или выводить формулы. По школьной привычке учить формулы наизусть эти люди учили наизусть и вывод формул, не понимая, что там происходит. При этом многие из них благодаря прилежности хорошо писали контрольные; боялись же они экзамена. У меня история была обратная: всегда было очень трудно попасть на экзамен, потому, что для этого надо было сдать зачёт, а чтобы допуститься на него, нужно было написать все контрольные в семестре. Терпения же и внимательности на решение практических задачек всегда не хватало.
Экзамены по математике в университете я сдавал на 4, 4, 4 и 5 (в четвёртом семестре была теория функции комплексного переменного, которую я обожаю).
Каждый раз, когда я сдавал листочек с ответами Олегу Геннадьевичу, напротив большинства пунктов задания он ставил минус. Потом, когда он вызывал меня отвечать, он спрашивал: почему не решили эту задачу? Я говорил: забыл формулу такую-то и откуда она берётся. Он говорил: ну, а если бы знали формулу, что бы делали? Я отвечал: нашёл бы то-то, подставил бы в формулу, выразил бы это через это и получил бы ответ. Он подсказывал: ну, вот если вы возьмёте то-то, представите это как сумму этого и этого, а потом домножите на то-то, то вы увидите, как вывести формулу. Я садился, выводил формулу, и он ставил мне плюсик, не дожидаясь, пока я решу собственно задачу. Потом мы переходили к следующему пункту. Почему, спрашивал он, не доказали теорему? Я говорил: я знаю, что при соблюдении таких-то условий она вытекает из того-то через то-то и то-то, но совершенно не помню, как от вот этой формулы делается переход дальше. Он говорил: ну дак дальше из того-то следует, что так-то и так-то. А! перебивал его я, ну точно же, и тогда мы сможем заменить это на это, и там то-то то-то сократится и останется как раз то, что нам нужно!
Люди учившие всё наизусть, частенько уходили с двойками, даже если на листочке напротив всего стояли плюсы: когда в ходе разговора выяснялось, что человек не соображает, листочек уже не имел никакого значения. Он ценил понимание больше прилежности, и понимающему человеку готов был прощать лень и плохую подготовку, за что я ему очень благодарен.
Теорема и её доказательство, формула и её вывод, данные в неразрывной связке, воспитывают навык видеть во всём здравый смысл. Не обязательно знать это всё наизусть, чтобы сформировать правильное отношение к математике. Важно, что математика существовала бы, даже если бы не было Пифагора и Фалеса, Эйлера и Коши, Остроградского и Гаусса. Всё работает так, как работает, с неизбежностью, а не потому, что кто-то так придумал.
Когда люди учат в школе теоремы без доказательств, они потом твердят, что факториал нуля равен 1 по определению. Знающие же то, что математика существует независимо от того, что написано в определениях, понимают, что факториал нуля равен 1 объективно, и он оставался бы равен 1, даже если бы об этом никто не написал в определении.
В математике так много разделов и направлений, и они так сильно взаимосвязаны, что практически невозможно придумать способ последовательного изложения всего этого, чтобы никогда не было необходимости ссылаться вперёд. Нужно быть готовым, что иногда тебе придётся поверить во что-то на слово, а уже позже убедиться, что это действительно так. Человек же, приученный всегда верить на слово, про вторую часть мгновенно забывает.