Что называют тождеством тригонометрическим тождеством

Основное тригонометрическое тождество

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

tg 2 α + 1 =

1 + ctg 2 α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Подставляем значения sin α:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Источник

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Примеры тождеств.

— Тождество Эйлера (кватернионы);

— Тождество Эйлера (теория чисел);

— Тождество четырёх квадратов;

— Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Это выражение верно лишь при х = 10.

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.

Источник

Тригонометрические тождества

Тригонометрические функции являются неотъемлемой частью тригонометрии, поэтому знание этих функций очень важно. Но на чем основываются эти функции? Конечно же, на тригонометрических тождествах.

Давайте разберемся, что же такое тождество вообще? Самое простое определение, это, конечно же, сходство. Если «копнуть» глубже, то мы можем говорить о том, что тождество – отношение между некоторыми предметами (реальными или абстрактными), что позволяет говорить об их неотличимости в каких-то характеристиках. На самом деле такое определение к тригонометрии подходит, ведь в каких-то характеристиках наши функции действительно схожи и неотъемлемы друг от друга.

Давайте подробнее рассмотрим каждое тригонометрическое тождество.

Соотношение синуса и косинуса одного и того же угла – именно это тригонометрическое тождество и является основным в тригонометрии. Выглядит это тождество следующим образом:

Sin 2 a +cos 2 a = 1

Попробуем объяснить, почему это тождество выглядит именно так. Изначально у нас есть прямоугольный треугольник с определенным углом а. Гипотенуза нашего треугольника равна 1. Один катет треугольника – это косинус, а другой – синус. Теперь применяем к нашему треугольнику теорему Пифагора и получаем наше тригонометрическое тождество.

Теперь рассмотрим зависимость между тангенсом и котангенсом. Тут все просто. Произведение тангенса и котангенса равно 1.

Зависимость между тангенсом и косинусом угла выводится очень просто. Для начала берем наше основное тригонометрическое тождество и делим его на квадрат косинуса, потом упрощаем левую часть уравнения и получаем наше третье тождество (при это важно помнить, что деление возможно только в том случае. если косинус не равняется нулю).

Источник

Основное тригонометрическое тождество

Основным тригонометрическим тождеством в русскоязычных учебниках математики называют соотношение , выполняющееся для произвольного значения .

Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице.

В учебниках математики, написанных на языках, отличных от русского, соответствующее соотношение называют «тригонометрическим тождеством Пифагора» (см. Pythagorean trigonometric identity в английской Википедии) или просто теоремой Пифагора.

См. также

Смотреть что такое «Основное тригонометрическое тождество» в других словарях:

Основное — название нескольких населённых пунктов: Основное хутор в Железногорском районе Курской области. Основное деревня в Черемисиновском районе Курской области. См. также Основное богословие Основное кинетическое уравнение Основное общество Основное… … Википедия

Теорема косинусов — Теорема косинусов теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора: Для плоского тре … Википедия

Варахамихира — वराहमिहिर Дата рождения: 505 год(0505) Дата смерти: 587 год(0587) Научная сфера … Википедия

ОТТ — оперативно тактические требования Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. С. Пб.: Политехника, 1997. 527 с. ОТТ общий таможенный тариф ОТТ оперативно тактический тренажёр Словарь: Словарь сокращений и аббревиатур армии … Словарь сокращений и аббревиатур

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ — раздел физики, охватывающий знания о статическом электричестве, электрических токах и магнитных явлениях. ЭЛЕКТРОСТАТИКА В электростатике рассматриваются явления, связанные с покоящимися электрическими зарядами. Наличие сил, действующих между… … Энциклопедия Кольера

Эллиптические координаты — Эллиптическая система координат Эллиптические координаты двумерная ортогональная система координат … Википедия

Источник

Математика для блондинок

Страницы

четверг, 16 февраля 2012 г.

Основное тригонометрическое тождество

Заглянул в Википедию и посмотрел, что такое основное тригонометрическое тождество. Картинку из раздела Википедии «Тригонометрия» я уже приводил. На специальной странице в Википедии, посвященной основному тригонометрическому тождеству, информации не на много больше: приведено само тождество и добавлено несколько строк пояснений.

В частности, указывается, что иностранцы называют это тригонометрическим тождеством Пифагора или просто теоремой Пифагора. И это всё?! Да уж, не густо. Усаживайтесь по удобнее, разговор у нас будет длинным и нудным, но, думаю, он того стоит.

Я уже говорил, что иностранные математики лучше понимают тригонометрические функции, но и у них не всё так гладко. Вот их картинки.

Обратите внимание на последнюю картинку. Теорему Пифагора они представляют через тангенс и секанс и показывают это на треугольнике. Формулы тригонометрического тождества в этом случае приобретают следующий вид:

В низу картинки приведена констатация того факта, что теорема Пифагора, она же основное тригонометрическое тождество, не зависит от направления измерения угла.

Теперь давайте и мы выполним преобразования тригонометрических функций синуса и косинуса. Используем следующие формулы:

Запишем результаты преобразований в виде основных тригонометрических тождеств:

В первой строчке, для сравнения, тождество представлено в классическом виде. Если эти тождества выполняются, значит два угла альфа и бета образуют прямой угол. И наоборот, если два угла образуют прямой угол, для них всегда будут выполняться основные тригонометрические тождества. Естественно, возникает вопрос, о каких двух углах идет речь, если классическое определение тригонометрических функций всегда говорит об одном угле между осью икс и единичным отрезком? Думаю, именно это обстоятельство испугало иностранных математиков и не привело их к показанным выше формулам.

Оставим классическое определение на совести математиков, рассмотрим прямоугольный треугольник. Как выглядит типичная формулировка математиков? «Пусть нам дан прямоугольный треугольник. Обозначим угол этого треугольника через альфа. » Вот здесь и возникает первый вопрос: какой именно угол треугольника мы обозначаем через альфа? У треугольника углов аж три штуки. Очень часто математики обозначают буквой альфа именно тот угол, который им нужен в данный момент. Это приводит к тому, что в разных формулах принципиально разные вещи имеют одинаковое обозначение. Потом математики начинают это обобщать и сваливают всё в одну кучу, в которой что-либо понять уже просто невозможно, остается только верить определению.

Обозначать прямой угол в прямоугольном треугольнике не принято. Буквой альфа обозначается один из двух острых углов. Какой именно? Не имеет значения. Теорема Пифагора выполняется как для одного угла, так и для второго. Точно так же для двух острых углов можно определить тригонометрические зависимости. Это проявление относительности тригонометрических функций. Так вот, если мы один острый угол прямоугольного треугольника обозначим через альфа, то углом бета будет второй острый угол. Для двух этих углов записаны наши четыре варианта тригонометрического тождества.

Как же быть с классическим определением тригонометрических функций через координаты точки на единичной окружности? Здесь то же нет особых проблем, если за аналог брать треугольник. Давайте рассмотрим все четыре варианта записи тригонометрического тождества на картинках. Возьмем традиционный тригонометрический круг с радиусом, равным единице и точно такой же прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице. Для наглядности, поместим треугольник в систему координат. Вот классический вариант, когда сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равняется единице.

Красным цветом на рисунке выделены особенно важные моменты, на которые нужно обратить внимание. Для перехода от угла альфа к углу бета в тригонометрическом тождестве, нужно принять ряд правил, на которые обычно никто не обращает внимания и которые мы будем считать неизменными:

Теперь рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла бета. Для единичного отрезка оси икс и игрек в этом случае меняются местами, угол бета отсчитывается против часовой стрелки.

Для тригонометрического тождества в виде квадратов синусов углов альфа и бета в случае единичного отрезка разным углам соответствуют разные системы координат. В случае треугольника синусам разных углов соответствуют разные катеты. Сложение величин, расположенных в разных системах координат, не противоречит правилам математики. Главное, что бы единицы измерения в разных системах координат были одинаковыми. Каждую динамичную систему координат можно рассматривать как последовательный переход от одной стационарной системы координат к другой на разных этапах выполнения математических действий.

Если тригонометрическое тождество выразить через косинусы, ситуация получается аналогичной синусам, но рассматриваются проекции на другие оси координат или в треугольнике берутся другие катеты.

Подставляя в полученные формулы вместо единицы другие варианты этого же тождества, мы можем записать тригонометрическое тождество для двух углов:

Выполняться эти тождества будут только в том случае, если сумма углов равняется прямому углу. Если тождество не выполняется, тогда необходимо переходить к форме записи тригонометрического тождества с нейтральными элементами и искать, какой из нейтральных элементов перестал быть нейтральным и начал вносить свои поправки в существовавшее до этого равенство. Тригонометрические тождества с нейтральными элементами записаны с соблюдением симметрии относительно знака равенства.

Как один из вариантов трактовки нейтральных элементов, приведены значения синуса и косинуса прямых углов. Но на практике нейтральный элемент может скрывать любое математическое выражение, имеющее соответствующее значение при данных условиях. Например, основное тригонометрическое тождество перестанет выполняется, если прямой угол в прямоугольном треугольнике перестанет быть прямым (сумма двух углов альфа и бета не равна 90 градусов). То есть, если мы от прямоугольного треугольника перейдем к треугольнику обычному. Для классического определения тригонометрических функций это обстоятельство можно трактовать как переход от прямоугольной декартовой системы координат к косоугольной аффинной системе координат.

Другим примером может служить переход от двухмерного пространства к многомерному. Если единичный отрезок выходит из плоскости двухмерной евклидовой системы координат, тогда тригонометрическое тождество в этой системе перестает выполняться. Единице будет равняться сумма квадратов проекций единичного отрезка на оси координат многомерной прямоугольной системы. В тригонометрической форме проекции будут выражаться через синусы или косинусы углов между единичным отрезком и соответствующей осью координат. Основное тригонометрическое тождество для многомерного пространства можно записать в таком виде (это один из вариантов):

В следующий раз мы рассмотрим, как осуществляется переход от тригонометрической формы записи теоремы Пифагора к традиционной и что это означает.

Источник