Что называют событием случайным достоверным и невозможным событиями

1.2.1. Виды событий

Одно из базовых понятий тервера уже озвучено выше – это событие. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

1) Достоверным называют событие, которое в результате испытания (осуществления определенных действий, определённого комплекса условий) обязательно произойдёт. Например, в условиях земного тяготения подброшенная монета непременно упадёт вниз.

3) И, наконец, событие называется случайным, если в результате испытания оно может, как произойти, так и не произойти, при этом должен иметь место принципиальный критерий случайности: случайное событие – есть следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать невозможно или крайне затруднительно. Пример: в результате броска монеты выпадет «орёл». В рассмотренном случае случайные факторы – это форма и физические характеристики монеты, сила и направление броска, сопротивление воздуха и т.д.

Подчёркнутый критерий случайности очень важен – так, карточный шулер может очень ловко имитировать случайность и давать выигрывать клиенту, но ни о каких случайных факторах, влияющих на итоговый результат, речи не идёт.

Любой результат испытания называется исходом, который, собственно и представляет собой появление определённого события. В частности, при подбрасывании монеты возможно 2 исхода (случайных события): выпадет орёл, выпадет решка. Естественно, подразумевается, что данное испытание проводится в таких условиях, что монета не может встать на ребро или, скажем, зависнуть в невесомости.

События (любые) обозначают большими латинскими буквами либо теми же буквами с подстрочными индексами, например: . При этом стараются избегать буквы , которая зарезервирована под другие нужды.

Запишем следующие случайные события:

– в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– в результате броска игральной кости (кубика) выпадет 5 очков;
– из карточной колоды будет извлечена карта трефовой масти.

Да, события прямо так и записывают в практических задачах, при этом в уместных случаях удобно использовать «говорящие» подстрочные индексы (хотя можно обойтись и без них).
И следует в третий раз подчеркнуть, что случайные события обязательно удовлетворяют вышеприведённому критерию случайности. В этом смысле особо показателен 3-й пример: если из колоды изначально удалить все карты трефовой масти, то событие становится невозможным. Наоборот, если испытателю известно, что, например, дама треф лежит снизу, то он при желании может сделать событие достоверным =) Таким образом, в данном примере предполагается, что карты хорошо перемешаны и их «рубашки» неразличимы, т.е. колода не является краплёной.

Важной характеристикой случайных событий является их равновозможность. Два или бОльшее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое. Например:

– выпадение орла или решки при броске монеты;
– выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика;
– появление трефы, пики, бубны или червы при случайном извлечении карты из полной колоды.

При этом предполагается, что монета и кубик однородны и имеют геометрически правильную форму, а колода хорошо перемешана и «идеальна» с точки зрения неразличимости рубашек карт.

Могут ли быть те же события НЕ равновозможными? Легко. Так, если у монеты или кубика смещён центр тяжести, то гораздо чаще будут выпадать вполне определённые грани. Если кто-то ловко спрятал в рукаве туза треф, то становится менее возможным, что оппоненту будет сдана трефа, и, главное, менее возможно, что будет сдан туз.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Предмет теории вероятностей. Достоверные, невозможные и случайные события. Виды случайных событий

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следую­щие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная сово­купность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и темпера­туре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность усло­вий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществле­нии совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо над­пись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» — случайное. Каждое случайное событие, в частно­сти выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих при­чин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет еди­ничное событие или нет, — она просто не в силах это сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случай­ные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих за­кономерностей и занимается теория вероятностей.

Т.о., предметом теории вероятностей является изу­чение вероятностных закономерностей массовых однород­ных случайных событий.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики.

Виды случайных событий. События называют несовместными, если появле­ние одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Брошена монета. Появление «герба» исключает по­явление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несов­местны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

Пример 2. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события обра­зуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 3. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно прои­зойдет одно, из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называют равновозможными, если есть осно­вания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример 4. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты —равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Соб-я обозн-ся прописными буквами лат.алфавита: А, В, С. А₁, А₂..

Противоположными называют 2 единственно возможных соб-я, образующих полную группу. Если одно из двух противопол. событий обозначено через А, то др. обозн-ся А`.

Пример 5. Попадание и промах при выстреле по цели – противопол. соб-я.

Источник

Что называют событием случайным достоверным и невозможным событиями

Событиями являются и результаты различных опытов, наблюдений и измерений.

1) из ящика с разноцветными шарами наугад вытаскивают белый шар;

2) на один из приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш;

3) при бросании игральной кости выпала цифра 6.

События делятся на достоверные, случайные и невозможные.

Достоверным называется событие, если оно обязательно произойдет в данном испытании.

Случайным называется событие, если оно может произойти, но может и не произойти в данном испытании.

Невозможным называется событие, если оно не может произойти в данном испытании.

За единицу принимают вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события считают равной нулю. Тогда вероятность Р любого события А удовлетворяет неравенству:

Несовместными называются события, если появление одного из них

Пример. Опыт состоит в подбрасывании монеты, событие А – выпадение орла, событие В – выпадение решки. Эти события несовместны, равновозможны и единственно возможны.

Равновозможными называются события, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Единственно возможными называются события, если в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит. Говорят, что единственно возможные события образуют полную группу событий .

Рассмотрим классический метод определения вероятности некоторого случайного события. Пусть в результате некоторого опыта могут наступить события А₁, А₂, А₃, …, А_n (элементарные исходы опыта), которые являются:

1)единственно возможными, т.е. в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит;

2)несовместными, т.е. появление одного из них исключает появление всех остальных;

3)равновозможными, т.е. не существует никаких причин, в связи с которыми одно из событий появлялось бы чаще, чем остальные.

Пусть при появлении некоторых из этих событий наступает событие А. Обозначим число таких событий k (k≤n). А при появлении остальных (n-k) событий событие А не наступает. Говорят, что k событий (элементарных исходов), при которых появляется событие А, благоприятствуют событию А, а остальные (n-k) событий не благоприятствуют ему.

Вероятностью события А называется отношение числа k элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n, если они равновозможны, несовместны и единственно возможны.

Источник

Достоверное, недостоверное, случайные и несовместимые события

1. Достоверное, недостоверное, случайные и несовместимые события.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдёт, если будет осуществлена определенная совокупность условий.

Недостоверное или невозможное событие, которое заведомо не произойдёт, если будет осуществлена совокупность событий.

Случайное событие при осуществлении совокупности событий может либо произойти, либо не произойти.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление двух других событий в одном и том же испытании

2. Классическое определение вероятности.

3. Элементарные исходы.

В формулах обозначается буквой n. Исходы = испытания.

Комбинации, состоящие из одних и тех же «n» различных элементов и отличающиеся порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Это комбинации из «n» различных элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Это комбинации, составленные из “n” различных элементов по “m” элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

7. Относительная частота.

Это отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведённых испытаний.

m – число появления события, n – общее число испытаний.

8. Полная группа событий. Равновозможные события.

Сумма вероятностей A1,A2,…,An, образуют полную группу

9. Противоположные события.

Это два единственно возможных события образующих полную группу

10. Сумма двух событий.

Суммой A+B двух событий A и B называют событие, состоящее в появление события A, или события B, или обоих этих событий.

11. Сумма нескольких событий.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, событие A+B+C состоит в появлении одного из следующих событий: А;B;С;A и B,A и C;B и C;A и B и С.

12. Произведение двух событий.

Произведением двух событий A и B называют событие AB, состоящее в совместном появлении этих событий.

13. Произведение нескольких событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении этих

14. Испытания независимые относительно одного события.

Пусть вероятность события B не зависит от появления события A.

Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменят вероятности события B, то есть если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности:

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противоположном случае события называют зависимыми

15. Теорема умножения событий.

Для независимых событий теорема умножения P(АВ) = P(А)*PA(B) имеет вид P(AB) = P(A)*Р(B), т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

16. Условная вероятность.

Условной вероятностью называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.

17. Вероятность совместного появления двух событий.

Теорема Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

18. Вероятность появления хотя бы одного события.

Вероятность появления хотя бы одного из событий A1,A2,…,An, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Это совмещение нескольких отдельных событий, которые называются простыми

Простое событие – это результат испытания

20. Дискретная случайная величина.

Случайной называю величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только конечное или счётное множество возможных значений. Дискретные случайные величины, которые могут принимать лишь целые неотрицательные значения, называются целочисленными и возникают при каких-то подсчётах.

21. Непрерывная случайная величина.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение из некоторого интервала, причём этот интервал может быть ограниченным или неограниченным. Непрерывная случайная величина имеет несчётное множество значений, которые сплошь заполняют некоторый интервал числовой оси или всю ось. Возникает при изменении отклонения контрольного параметра изделия массового производства от её номинального значения, при изменении расстояния от центра цели до точки падения снаряда.

22. Закон распределения дискретной случайной величины.

Называют соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

23. Биноминальное распределение.

Биноминальным распределением вероятностей называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

— эта формула называется биноминальной так как её правая часть представляет собой (m+1) бином Ньютона:

Вероятность того, что событие A в n испытаниях наступило k раз.

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний велико.

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами.

Поток – это последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени (например, поток отказов технических систем, поток сообщений, поступающих в АСУ, и тому подобные).

Наиболее важными свойствами потоков являются : стационарность, ординарность и отсутствие последействия.

28. Свойства потоков события.

Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени. Важнейшей характеристикой потока является его интенсивность l – среднее число событий в единице времени. Для стационарного потока l=const, а для нестационарного l=l(t) – функция времени.

Ординарность потока означает практическую невозможность появления двух и более событий в один и тот же момент времени.

Отсутствие последействия означает, что события появляются в потоке независимо друг от друга, т. е. вероятность появления определенного числа событий за некоторый произвольно выбранный промежуток времени не зависит от того, сколько событий произошло раньше (не зависит от предыстории изучаемого потока).

29. Независимые события. Интенсивность потока.

Интенсивность потока — среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

30. Простейший (Пуассоновский) поток событий.

(2.2)

где а – среднее число событий, приходящихся на участок t. Для простейшего потока а=lt, а для нестационарного пуассоновского .

31. Закон распределения Пуассона.

Вероятность того, что в n испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события мала и равна p , событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности)) приближенно равна (тем точнее, чем больше n).

, где — среднее число появлений события в n испытаниях. В этом случае говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

32. Геометрическое распределение.

Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p=0,7. Найти вероятность того что попадание произойдёт при третьем выстреле.

Решение: Так как k=3, p=0,7, то q=0,3; искомая вероятность

33. Функция распределения.

Называют функцию F(x), определяющую для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее x, то есть F(x)=P(X 0, ограничена снизу величиной 1–D(X)/ε2, т. е.

Таким образом, гамма-распределение является двухпараметрическим распределением, оно занимает важное место в математической статистике и теории надёжности. Это распределение имеет ограничение с одной стороны

60. Распределение Эрланага k-го порядка.

(x>0;k=1,2,3…)

61. Функция надёжности.

Функцией надёжности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время t: R(t)=P(T>t)=1-F(t)

Показательным законом надёжности называют функцию надёжности определяемую равенством где — интенсивность отказов.

62. Система двух случайных величин.

Совокупность двух случайных величин (X,Y), рассматриваемых совместно, называется системой двух случайных величин, геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (X,Y) на плоскости xOy или как случайный вектор, направленный из начала координат.

Величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, n числами, называют соответственно двумерными, трехмерными, … n-мерными.

63. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.

Называют перечень возможных значений этой величины, то есть пар чисел x­i,yj и их вероятностей p(xi,yi)(i=1,2,…,n; j=1,2,…m). Обычно закон распределения задают в виде таблицы СС двойным входом.

Первая строка таблицы содержит все возможные значении составляющей X, а первый столбец – все возможные составляющей Y. В клетке, стоящей на пересечении «столбца xi» и «строки yi», указана вероятность p(xi,yi) того, что двумерная случайная величина примет значение (xi­,yi)

Называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел x,y вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом, Y примет значение, меньшее y: F(x,y)=P(X 0, ограничена снизу величиной 1–D(X)/ε2, т. е.

Таким образом, гамма-распределение является двухпараметрическим распределением, оно занимает важное место в математической статистике и теории надёжности. Это распределение имеет ограничение с одной стороны

(x>0;k=1,2,3…)

61. Функция надёжности.

Показательным законом надёжности называют функцию надёжности определяемую равенством где — интенсивность отказов.

62. Система двух случайных величин.

Совокупность двух случайных величин (X,Y), рассматриваемых совместно, называется системой двух случайных величин, геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (X,Y) на плоскости xOy или как случайный вектор, направленный из начала координат.

Величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, n числами, называют соответственно двумерными, трехмерными, … n-мерными.

63. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.

Называют перечень возможных значений этой величины, то есть пар чисел x­i,yj и их вероятностей p(xi,yi)(i=1,2,…,n; j=1,2,…m). Обычно закон распределения задают в виде таблицы СС двойным входом.

Первая строка таблицы содержит все возможные значении составляющей X, а первый столбец – все возможные составляющей Y. В клетке, стоящей на пересечении «столбца xi» и «строки yi», указана вероятность p(xi,yi) того, что двумерная случайная величина примет значение (xi­,yi)

Называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел x,y вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом, Y примет значение, меньшее y: F(x,y)=P(X

Источник