Что называют системой линейных уравнений

Система линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Содержание

Соглашения и определения

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:

Матричная запись

СЛАУ может быть представлена и в матричной форме:

.

Здесь — это матрица системы, — столбец неизвестных, а — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной. Теорема Кронекера — Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений посредством свойств матричных представлений: система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.

Эквивалентные системы линейных уравнений

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.

Методы решения

Прямые методы дают алгоритм, по которому можно найти точное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Некоторые прямые методы:

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

,

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

.

Итерационные методы делятся на несколько типов, в зависимости от применяемого подхода:

Среди итерационных методов:

Источник

Системы линейных уравнений

Содержание:

Системы линейных уравнений. Понятия линейного уравнения и системы линейных уравнений

Напомним, что линейным уравнением с неизвестными называют уравнение вида

. (1)

Определение 1. Систему алгебраических уравнений, каждое из которых имеет вид (1), называют системой линейных уравнений или линейной системой.

Система линейных уравнений с неизвестными (далее система х ) записывается в общем виде так:

(2)

Систему (2) удобно записывать в виде таблицы:

Решением системы (2) является любой набор значений неизвестных

удовлетворяющий всем уравнениям системы. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Для любой системы (2) возможны три случая:

1) система не имеет ни одного решения;

2) система имеет единственное решение;

3) система имеет бесконечное множество решений.

Множество всех решений системы (2) называют ее общим решением. Решить систему означает найти ее общее решение.

Над системой (2) можно совершать элементарные преобразования:

1) перестановка уравнений;

2) вычеркивание из системы уравнения вида

или, проще говоря, 0 = 0;

3) умножение обеих частей уравнения системы на число ;

4) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

Пример №15

Решить систему уравнений

Решение:

1) Если не выходить за рамки школьной математики, то можно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и подставить в оставшееся уравнение:

2) Если же использовать элементарные преобразования над системой, то можно ко второму уравнению, умноженному на 2, прибавить первое и, т.о., исключить из второго уравнения переменную :

Продолжая дальше заниматься теорией линейных систем, заметим, что при выполнении элементарных преобразований может возникнуть уравнение вида

,

где. Это уравнение не имеет решений и мы будем называть его противоречивым. Система, содержащая противоречивое уравнение, несовместна.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Пример №16

Рассмотрим систему линейных уравнений

Решение:

Здесь — базисные неизвестные (они выделены квадратными скобками), a — свободные. Заметим, что коэффициенты при базисных неизвестных равны 1. Этого можно добиться с помощью элементарных преобразований 3), 4).

Перепишем нашу систему в виде:

Опишем алгоритм метода Гаусса.

Шаг первый. Одно из уравнений (например, первое) выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных (например, ) за разрешающее неизвестное. Коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от нуля (удобно, когда он равен единице). Этот коэффициент называют разрешающим элементом. Из всех уравнений, кроме разрешающего, исключаем разрешающее неизвестное. Для этого к каждому из этих уравнений прибавляем разрешающее уравнение, умноженное на подходящее число. Из полученной системы удаляем уравнения 0 = 0. Если в системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение, то система несовместна и работа с ней прекращается.

Шаг второй. Какое-то другое уравнение выбирается за разрешающее и одно из неизвестных в нем выбирается за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются два требования: 1) на предыдущих шагах это уравнение не было разрешающим; 2) в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от нуля. Остальные действия такие же, как в шаге первом.

Пример №17

Найти общее решение системы линейных уравнений

Решение:

Последовательность действий будем записывать в виде таблиц. Разрешающие элементы отмечаются квадратными скобками. Конкретные действия комментируются в крайнем правом столбце таблицы. Например, запись <3>*(-2)+ <1>означает, что третье уравнение системы, умноженное на число (-2), прибавлено к первому уравнению.

Последней таблице соответствует система

Подстановкой в исходную систему убеждаемся в правильности решения.

Ответ: система имеет единственное решение .

Пример №18

Найти общее решение системы линейных уравнений

Решение:

Последней таблице соответствует система

Таким образом, — базисные неизвестные, — свободное неизвестное. Поэтому общее решение задается формулами

Ответ: система имеет бесконечное множество решении , где — любое действительное число.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Что называют системой линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Примеры. Решить системы уравнений.

Найдем матрицу обратную матрице A.

,

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Из уравнения получаем .

Следовательно,

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому .

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Источник