Что называют синусом угла а где

10.04.202214.04.2022 admin 0 Comments

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

0
0
0
0	−
−	0

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача решается за четыре секунды.

Найдем по теореме Пифагора.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Источник

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Источник

Определение синуса. Основные тригонометрические функции

Тригонометрия является важной частью математики, знания которой широко используются в астрономии и при ориентировании на местности. В данной статье рассматривается определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса как основных тригонометрических функций.

Что такое тригонометрия?

Это наука, которая изучает количественные свойства треугольников, о чем говорит ее название. Процесс изучения этих простых плоских фигур осуществляется с использованием так называемых тригонометрических функций.

Еще в древнем Вавилоне и Египте люди сталкивались с задачами, требующими знания соотношения между сторонами и углами треугольника (например, при строительстве египетских пирамид). Однако до нашего времени не дошли точные свидетельства того, что вавилоняне и египтяне располагали необходимой математической теорией для решения задач подобного рода.

Развитие тригонометрия получила на заре нашей эры, благодаря достижениям древнегреческих ученых. Первые таблицы тригонометрических функций были составлены лишь во второй половине XV века.

Прямоугольный треугольник

Перед тем как давать определение синусу и другим тригонометрическим функциям, необходимо пояснить, что представляет собой прямоугольный треугольник. У него один из углов равен 90o.

Зная, что сумма углов в этой фигуре равна 180o, можно с уверенностью сказать, что два других угла в сумме составят 90o. При этом каждый из них будет меньше, чем прямой угол.

Введение тригонометрических функций

Давая определение синуса угла, следует сказать, что он равен отношению отрезка BC к отрезку AB. Записывается это следующим образом: sin(θ) = BC/AB. Поскольку AB = 1, то sin(θ) = BC. Иными словами, под синусом угла прямоугольного треугольника понимают отношение катета, лежащего напротив этого угла, к гипотенузе.

Теперь определение косинуса угла. Это отношение катета, прилежащего к рассматриваемому углу, к гипотенузе. Для рисунка выше имеем: cos(θ) = AC/AB = AC.

Свойства синуса и других тригонометрических функций

Из введенных определений синуса, косинуса угла и других функций следуют несколько важных выводов об их свойствах:

Периодичность функций

Это свойство специально было вынесено в отдельный пункт статьи, поскольку его рассмотрение заслуживает отдельного внимания.

Если вращать отрезок AB (см. рис. выше) против часовой стрелки, то точка B пробежит всю окружность единичного радиуса. Как при этом будут меняться тригонометрические функции?

Рассмотрим синус. Согласно определению синуса угла, когда θ = 0, то BC = 0, то есть sin(0o) = 0. По мере возрастания угла θ, увеличивается длина отрезка BC. При этом длина AB остается неизменной. Это означает, что sin(θ) постоянно увеличивается. Когда угол θ = 90o, то BC=AB и sin(90o) = 1.

Дальнейшее вращение AB против часовой стрелки приводит к уменьшению значения синуса до нуля при угле 180o (sin(180o)=0).

Наконец, в 4-м квадранте окружности, когда угол меняется от 270o до 360o, абсолютное значение синуса увеличивается, но модуль его уменьшается до тех пор, пока при 360o он снова не станет равным нулю (sin(360o) = sin(0o) = 0).

Таблица значений тригонометрических функций

Эта таблица включает в себя данные о значениях синуса, косинуса, тангенса и котангенса для набора углов. Школьников заставляют учить эти значения наизусть.

В настоящее время, благодаря развитию информатики, все языки программирования и калькуляторы снабжены соответствующими библиотеками, которые позволяют быстро рассчитать значения любой тригонометрической функции за доли секунды.

Ниже приводится таблица, в которой приведены значения для всех названных функций набора углов. Которые представлены, как в градусах, так и в радианах. Буквы «ind» означают, что функция для этого угла имеет неопределенное значение. Помимо основных четырех тригонометрических функций, в таблице также приводятся секанс (sec) и косеканс (csc), которые представляют собой обратные косинус и синус, соответственно.

Теорема Пифагора и связь синуса и косинуса

Поскольку определение синуса и косинуса угла основано на использовании прямоугольного треугольника, то эти функции можно связать, если воспользоваться теоремой Пифагора.

Для изображенного выше прямоугольного треугольника имеем: sin(α) = b/a и cos(α) = c/a. Теорема Пифагора записывается так: c2 + b2 = a2. Если левую и правую части этого выражения поделить на a2, а затем подставить формулы для синуса и косинуса, то получим: (sin(α))2 + (cos(α))2 = 1.

Источник

Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии: определения, примеры

В этой статье мы покажем, как даются определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла и числа в тригонометрии. Здесь же мы поговорим об обозначениях, приведем примеры записей, дадим графические иллюстрации. В заключение проведем параллель между определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии и геометрии.

Навигация по странице.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Проследим за тем, как формируются представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе в школьном курсе математики. На уроках геометрии дается определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. А позже изучается тригонометрия, где говорится о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе угла поворота и числа. Приведем все эти определения, приведем примеры и дадим необходимые комментарии.

Острого угла в прямоугольном треугольнике

Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Угла поворота

В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.

Также скажем, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике согласуются с только что данными определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота величиной от 0 до 90 градусов. Это мы обоснуем в последнем пункте этой статьи.

Числа

Дальше возникает потребность отвязаться от углов и дать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называют число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла поворота в t радианов соответственно.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Он состоит в том, что каждому действительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности с центром в начале прямоугольной системы координат, и синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки. Остановимся на этом подробнее.

Покажем, как устанавливается соответствие между действительными числами и точками окружности:

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Функции синус, косинус, тангенс и котангенс называют основными тригонометрическими функциями.

Из контекста обычно понятно, с тригонометрическими функциями углового аргумента или числового аргумента мы имеем дело. В противном случае мы можем считать независимую переменную как мерой угла (угловым аргументом), так и числовым аргументом.

Однако, в школе в основном изучаются числовые функции, то есть, функции, аргументы которых, как и соответствующие им значения функции, являются числами. Поэтому, если речь идет именно о функциях, то целесообразно считать тригонометрические функции функциями числовых аргументов.

Связь определений из геометрии и тригонометрии

Если рассматривать угол поворота α величиной от 0 до 90 градусов, то данные в контексте тригонометрии определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота полностью согласуются с определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, которые даются в курсе геометрии. Обоснуем это.