Что называют промежутками знакопостоянства функции
Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.
теория по математике 📈 функции
Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.
На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.
Остановимся подробнее на свойствах функций.
Нули функции
Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.
На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!
Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.
а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22
Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11
Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2
Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.
Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.
Промежутки знакопостоянства
Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.
Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).
Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.
Возрастание и убывание функции
Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.
Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Свойства функций
Урок 2. Алгебра 9 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Свойства функций»
На прошлом уроке мы с вами изучили понятие функция. Изучили её график и научились находить область определения и область значений функции.
· промежутки знакопостоянства функции;
· промежутки монотонности функции.
Нулями функции называют такие значения аргумента, при которых функция равна нулю.
В данном случае функция задана графически и мы определили нули функции по графику. Так же нули функции можно находить по формуле, с помощью которой задана функция.
Решив уравнение, мы найдём те значения х, при которых функция равна нулю.
Стоит обратить внимание на то, что не каждая функция имеет нули.
График не пересекает ось икс ни в одной точке.
Промежутки знакопостоянства функции
Функция принимает положительные значения:
И отрицательные значения:
Запишите промежутки знакопостоянства функции:
Положительные и отрицательные значения функции:
Промежутки монотонности функции
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Промежутками монотонности называют такие промежутки из области определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.
Опишем свойства функции:
Графиком является прямая, поэтому для построения достаточно двух точек:
Найдём значения функции:
Областью определения и областью значений будет множество всех действительных чисел. Ведь х и у могут быть любыми числами.
Свойства функций: чётность, промежутки знакопостоянства, монотонность.
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Итак, мы познакомились с функцией, узнали, что такое область определения и область значений функции. Теперь рассмотрим свойства функций. Их существует много, однако, изучаются они постепенно. В 9 классе мы знакомимся с нулями функции, промежутками возрастания и убывания (монотонность) и промежутками знакопостоянства и чётностью (нечётностью) функции. Рассмотрим их подробно.
Нулями функции называются значения независимой переменной (аргумента), при которых значение функции равно нулю. В графической интерпретации нулями функции являются абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс (осью х). 
Промежутками знакопостоянства функции называются промежутки значений аргумента, на которых значения функции либо только положительны, либо только отрицательны. Другими словами, это те промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.
Рассматривая график сверху, найдём промежутки знакопостоянства.
функция принимает только положительные значения на тех участках графика, где он находится выше оси Ох, т.е. при ;
Это неравенство можно решить двумя способами: с помощью систем неравенств и методом интервалов. Метод интервалов будет рассмотрен нами чуть позже, поэтому воспользуемся системами неравенств. Произведение двух множителей положительно, если эти множители имеют одинаковый знак. Значит, получается совокупность двух систем:
Теперь находим промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения.
Произведение двух множителей отрицательно, если эти множители имеют разные знаки, т.е.
Чётной называется функция, если противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции, т.е. . График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Оу).
Нечётной называется функция, если противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции, т.е. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
На рисунке слева график чётной функции, на рисунке справа – нечётной функции.
Для того, чтобы определить чётность функции, заданной аналитически, необходимо в заданную функцию вместо х подставить –х и произвести упрощение. Если в результате получится функция, равная заданной, то функция чётная; если получится функция, противоположная заданной, то она нечётная; если не получится ни один из предложенных вариантов, то функция не является ни чётной, ни нечётной.
Находим значение этой функции при противоположном значении х, т.е.
Полученное выражение не совпадает с заданным и не противоположно ему, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. Её график не симметричен относительно оси Оу и не симметричен относительно начала координат.
После упрощения получили выражение, полностью совпадающее с заданным. Значит, функция является чётной и её график симметричен относительно начала координат.
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (или меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции), т.е. если при , то функция возрастающая.
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции (или меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции), т.е. если при , то функция убывающая.
Для примера рассмотрим графики на рисунках выше.
Синий график: функция возрастает при
функция убывает при
Зелёный график: функция возрастает при
функция убывает при
Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.
Если функция задана аналитически, то нахождение промежутков монотонности является более сложным процессом и он изучается в 11 классе. Мы ограничимся определением этих промежутков по графикам.
Наибольшим значением функции называется самое большое значение функции по сравнению со всеми остальными.
Наименьшим значением функции называется самое маленькое значение функции по сравнению со всеми остальными.
Строгое определение наибольшего и наименьшего значения функции будет дано в старших классах.
На зелёном графике нет ни наибольшего, ни наименьшего значения функции.
На рисунках изображены части графиков нечётных функций. Достройте эти графики.
Какая из данных функций является чётной, а какая – нечётной:
Приведите необходимые обоснования.
Докажите, что – чётная функция, а – нечётная, если:
На рисунках изображены части графиков чётных функций. Достройте эти графики. 
Какая из линейных функций и является возрастающей, убывающей и почему?
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
Укажите значение аргумента, при котором функция принимает наименьшее значение. Существует ли наибольшее значение этой функции?
Укажите значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее значение. Существует ли наименьшее значение этой функции?
Найдите область определения функции:
Найдите нули функции и области положительных и отрицательных значений, если:
функция является непрерывной и нечётной;
функция является непрерывной и чётной;
С помощью графика определите свойства функции: 
область определения функции;
область значений функции;
монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);
наибольшее и наименьшее значение функции.
Определить свойства функций, заданных формулами:
С помощью графика определите свойства функции: 
область определения функции;
область значений функции;
монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);
наибольшее и наименьшее значение функции.
Найдите нули функции (если они существуют):
С помощью графика определите свойства функции: 
область определения функции;
область значений функции;
монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);
наибольшее и наименьшее значение функции.
Постройте график функции и опишите её свойства.
Постройте график функции и опишите её свойства.
Выясните свойства функции
Выясните свойства функции
С помощью графика определите свойства функции: 
область определения функции;
область значений функции;
монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);
наибольшее и наименьшее значение функции.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Данная разработка знакомит учеников 9 класса с базовыми свойствами функций: нулями функции, промежутками знакопостоянства, промежутками монотонности, чётностью и нечётностью функции, наибольшим и наименьшим значением функции. В теоретической части представлены определения, примеры, иллюстрации. Практическая часть разработки содержит большой объём заданий разного уровня сложности.
Номер материала: ДБ-721511
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах
Время чтения: 2 минуты
Учителям истории предлагают предоставить право бесплатно посещать музеи
Время чтения: 2 минуты
Время чтения: 2 минуты
Россияне чаще американцев читают детям страшные и печальные книжки
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
«Промежутки знакопостоянства. Возрастающая и убывающая функции»
систематизировать знания по теме «функция,нули функции»; добиться усвоение учащимися понятия: промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (промежутки знакопостоянства функции, возрастающая и убывающая функция); сформировать умения
Просмотр содержимого документа
«»Промежутки знакопостоянства. Возрастающая и убывающая функции»»
Тема урока: Промежутки знакопостоянства. Возрастающая и убывающая функции
Обучающие: систематизировать знания по теме «функция,нули функции»; добиться усвоение учащимися понятия: промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (промежутки знакопостоянства функции, возрастающая и убывающая функция); сформировать умения формулировать определения изученного понятия, а также решать задачи с использованием изученного на уроке определения;
Развивающие: развитие умения определять промежутки знакопостоянства функции, определять возрастание и убывание функции, заданной графически; способствовать развитию математической речи; развитию умения читать и анализировать графики;
Воспитательные: учить правильно использовать терминологию; прививать интерес к предмету через компьютер.
Материально-техническое обеспечение: компьютер, интерактивная доска
Компетентности: математическая грамотность, информационно-цифровая компетентность
Сквозные умения: решение проблемы, сотрудничаю, эффективно общаюсь, исследую, рефлексирую
Тип урока: усвоение знаний, формирование умений
I. Организационный момент
Проверка готовности учащихся к уроку, настрой их на урок.
2. Определите нули функции ( слайд 2)
II. Формулирование цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся ( слайд 3)
Почти все, что происходит с нами или вокруг нас связано с понятием «функция», потому что все вокруг взаимосвязано, а «функция»- это зависимость между двумя величинами, которая обладает определённым свойством: каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Именно такие зависимости называются функциями. Таким образом, функция — одно из важнейших математических понятий.
Итак, цель нашего урока – повторить основные сведения о функции, с которыми вы познакомились на предыдущих уроках, а также познакомиться с новым свойством функции: промежутками знакопостоянства, возрастающей и убывающей функциями и научиться применять полученные знания на практике.
III. Актуализация опорных знаний и уменийй учашихся
Игра «Математический футбол»
Учащиеся задают друг другу вопросы по раннее изученному материалу. По заданным вопросам и ответам я определю, как вы готовы сегодня к уроку.
1. Что такое функция?
Это зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у.
2. Как обозначается функция? у = f(х)
3. Что называют аргументом функции? х- аргумент (независимая переменная)
4. Как по другому называют функцию у? зависимая переменная
5. Приведите примеры функций.
у=2х-8 ; у= х 2 ; у= 
; у= 5х; у= 
.
5. Что называют областью определения функции? Обозначение: D(f)
Это множество значений, которые принимает аргумент,т.е. х.
6. Что называют областью значений функции? Обозначение: Е(f)
Это множество всех значений переменной у, которые она может приобретать при всех значениях аргумента, взятых из D(f).
7. Какие способы задания функции вы знаете?
— С помощью формулы.Такой способ задания функции называют аналитическим.
— описательный (словесное описание)
Например: Сила равна скорости изменения импульса
8. Какое значение аргумента называют нулём функции?
Это значение аргумента, при котором значении функции равно 0.
IV. Усвоение знаний (слайд 4)
Итак, рассмотрим график изменения температуры воздуха с течением времени.
1) В течение какого промежутка времени шло наблюдение? (0-12 ч)
2) В каких пределах изменялась за это время температура?(-2 до 3°С)
3) В какое время температура воздуха была равна 0? (1ч, 4ч, 6ч, 8ч)
4) В какие промежутки времени температура была выше нуля? ниже нуля?
5) В какие промежутки температура повышалась? понижалась?
Отвечая на эти вопросы, мы, по сути, перечислили с вами основные свойства функции.
Продолжаем с вами знакомиться со свойствами функции.
1. Промежутки знакопостоянства
Промежутки, к которых функция сохраняет свой знак, называют промежутками знакопостоянства.
( слайды 6, 7) – найти промежутки знакопостоянства
2. Возрастающая и убывающая функция
( слайды 10 и 11) – решение заданий
V. Историческая пауза
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r 
.
VI. Формирование умений
С х е м а для исследования любой функции: 1) Найти область определения функции, D (у). 2) Найти область значений функции, Е (у). 3) Найти нули функции. 4) Найти промежутки знакопостоянства функции. 5) Найти промежутки возрастания и убывания функции. 1. Решение упражнений ( слайды 13, 14)
Учащиеся самостоятельно выполняют работу в тетрадях, после этого проводят взаимопроверку по готовым ответам и оценивают работу соседа.
3) f(x) = 0, х = – 2,5; х = 1
4) f(x) 0 при х 
(– 3;- 2,5]; (1;3)
5) f(x) ↑ при х [–0,5; 2]
f(x) ↓ при х [– 3; –0,5]и [2; 3]
3) f(x) = 0, х = – 3,5; х = 1; х = 3
4) f(x) 0при х [– 3,5;1) и (3; 4]
f(x) ↓ при х [– 1; 2]
Сегодня на уроке мы познакомились со схемой исследования функции. Расскажите, как провести исследование функции. Скажите, пожалуйста, какие из выполненных заданий вызвали у вас наибольшее затруднение?
Если для функции y = f(x) выполняется условие f (х0) = 0 (х0 
D( f )), то х0 — ноль функции.
1. На уроке я работал активно/ пассивно
2. Своей работой я доволен/ не доволен
3. За урок я устал/ не устал
4. Моё настроение стало лучше/ хуже
5. Материал урока для меня был понятным/ непонятным
IX. Домашнее задание: § 8, № 8 (2, 5, 8), на повторение: № 28(1, 2), 29(1,2)