Что называют отрицанием высказывания

Операции над высказываниями

Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое (читается «не А», «неверно, что А»), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.

Отрицающие друг друга высказывания А и называются противоположными.

Построим отрицание высказывания «число =3,14». Это истинное высказывание. Тогда его отрицание будет следующим: «3,14» – ложное высказывание.

2. Операция конъюнкции.

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое АВ (читается «А и В»), истинные значения которого определяются в том и только том случае, когда оба высказывания А и В истинны.

Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.

Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0С до +7С» и высказывание В – «в Витебске идет дождь». Тогда АВ будет следующей: «в марте температура воздуха от 0С до +7С и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0С или в Витебске не было дождя, то АВ будет ложной.

3. Операция дизъюнкции.

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание АВ (А или В), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.

Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.

Формула, принимающая значение истины хотя бы при одном значении входящих высказываний, называется выполнимой.

Например, АВ, АВ – выполнимые.

Формулы, принимающие значение истинности при всех наборах значений входящих в них высказывательных переменных, называются тождественно истинными формулами или тавтологиями.

Формулы, принимающие значение лжи при всех наборах значений входящих в них высказывательных переменных, называются тождественно ложными или противоречиями.

Если формулы при всех наборах истинности и лжи входящих высказывательных переменных принимают одинаковые значения, то их называют равносильными. Запись АВ читается так: А равносильно В.

Источник

Отрицание высказываний

В обыденной речи мы очень часто используем частицу «не» или слова «неверно, что», когда что-нибудь отрицаем. В математике также приходится строить предложения, в которых что-либо отрицается.

Пусть дано высказывание А. Определим операцию отрицания высказывания.

Отрицанием высказывания А называется высказывание, которое истинно, когда данное высказывание ложно, и ложно, когда данное высказывание истинно.

Отрицание высказывания А обозначается: Ā. Читаем: «не А» или «неверно, что А».

Ā: «3+4≠7» (три плюс четыре не равно 7»), это будет ложное высказывание.

2. В: «7>9» – это ложное высказывание.

`В: «Неверно, что 7>9» или «7 не больше 9». Слова «не больше» означают «меньше или равно», поэтому в символах `Взапишется: «7≤9», это высказывание истинное.

Определение отрицания высказывания можно записать в так называемой таблице истинности.

Таблицей истинности называется таблица, в которой устанавливается значение истинности составного высказывания при различных комбинациях значений истинности входящих в него элементарных высказываний.

Таблица истинности отрицания высказывания имеет вид:

Пример ознакомления дошкольников с отрицанием «Не А». Наглядный материал изображён на рисунке 15:

яблоко груша апельсин лук

Задание ребенку: «Выбери лишний предмет, объясни, почему ты так думаешь».

Элементарное предложение: А – «предмет фрукт». Составное предложение: «Не А» – «предмет не является фруктом».

Если предложение А – элементарное высказывание, то для построения отрицания следует либо предварить его словами «неверно, что…», либо поставить частицу «не» перед сказуемым (если А содержит частицу «не», то отбросить ее).

Для операции отрицания высказывания А выполняется закон, называемый закономдвойного отрицания:

( А) ( =А).

Читаем: «Для любого высказывания А двойное отрицание высказывания А равно высказыванию А».

Доказательство этого закона выполняем в следующей таблице истинности, используя определение отрицания высказывания и определение равносильных высказываний.

А	Ā
и л	л и	и л

Как видно из таблицы, значения истинности высказываний А и по строкам совпадают, поэтому высказывания А и равносильны и равенство А= является верным.

Убедимся в справедливости этого закона и на примерах.

Источник

Отрицание высказываний и высказывательных форм

Пусть предложение А – высказывание. Если перед сказуемым данного предложения поставить частицу «не» либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что», то получится новое предложение, которое называется отрицанием данного и обозначается Ā (читают: «не А» или «неверно, что А).

Определение. Отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А – ложно.

Таблица истинности отрицания имеет вид :

Из данного определения следует, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинны, ни одновременно ложны.

Построим отрицание ложного высказывания «число 28 делится на 9:

А) Число 28 не делится на 9.

Б) Неверно, что число 28 делится на 9.

Высказывания, которые мы получили, истинные. Значит, отрицание данного предложения построено правильно.

Рассмотрим теперь правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции высказываний. Если перед всем составным высказыванием поставим слова «неверно, что», то, безусловно, получим его отрицание. А как быть с частицей «не»? Можно ли поставить перед сказуемым составного предложения и получить его отрицание? На примере можно показать, что нельзя.

Можно доказать, что отрицанием конъюнкции двух высказываний А и В является дизъюнкция их отрицаний. Для этого надо убедиться в том, что значения истинности высказываний вида А∧В и А∨ В совпадают при любых значениях истинности высказываний А и В. Сделать это можно при помощи таблицы истинности:

А	В	А∧В	А∧В	А	В	А∨ В
и	и	и	л	л	л	л
и	л	л	и	л	и	и
л	и	л	и	и	л	и
л	л	л	и	и	и	и

Про высказывания вида А∧В и А∨ В говорят, что они равносильны, и пишут

А∧В ⇔ А ∨ В.

Аналогично можно доказать, что имеет место равносильность

А∨В ⇔ А ∧ В.

Эти равносильности носят название законов де Моргана.

Из них вытекает следующее правило построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции: чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и).

10. Отношения следования и равносильности между предложениями.

Следование: Рассмотрим две высказывательные формы: «число х кратно 4» и «число х кратно 2», заданные на множестве N натуральных чисел.

Можно сказать так: из того, что число х кратно 4, следует, что хкратно 2, т.к. при всех значениях х, при которых истинно предложение «число х кратно 4», будет истинно и предложение «число х кратно 2». В этом случае говорят, что данные предложения находятся в отношении логического следования.

Определение.Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А (х), если В(х) обращается в истинное выска­зывание при всех тех значениях х, при которых А (х) истинна.

1. Из А(х) следует В(х).

2. Всякое А(х) есть В(х).

4. В(х) есть следствие А(х).

5. А(х) есть достаточное условие для В(х).

6. В(х) есть необходимое условие для А(х).

Например, утверждение о том, что из предложения «число х кратно 4», следует предложение «число х кратно 2», можно сформулиро­вать еще так:

— Всякое число, которое кратно 4, кратно и 2.

— Если число кратно 4, то оно кратно и 2.

— Кратность числа 2 есть следствие кратности его 4.

— Кратность числа 4 есть достаточное условие для его кратности 2.

— Кратность числа 2 есть необходимое условие для его кратности 4.

Определение. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А (х).

Для обозначения отношения равносильности используется знак Û. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) Û В(х), прочитать которое можно по-разному:

1. А(х) равносильно В(х).

2. А(х) тогда и только тогда, когда В(х).

Например, утверждение о том, что предложение «число делится на 3» и «сумма цифр в записи числа делится на 3» равносильны, можно сформулировать еще так:

· Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр вегозаписи делится на 3.

· Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в его записи делилась на 3.

Источник

Операции над высказываниями и предикатами. Таблицы истинности

п.1. Отрицание

Расшифровка первого правила: высказывание «неверно, что для любого x выполняется A(x)» совпадает с высказыванием «найдётся x, для которого A(x) не выполняется».
Расшифровка второго правила: высказывание «неверно, что найдётся x, для которого выполняется A(x)» совпадает с высказыванием «для любого x A(x) не выполняется».

п.2. Конъюнкция

Обозначение конъюнкции A ∧ B, читается «А и В». Таблица истинности:

С точки зрения операций над множествами, конъюнкция аналогична пересечению двух множеств (см. §10 справочника для 8 класса).

С точки зрения записи условий, конъюнкция аналогична системе с фигурной скобкой.

п.3. Дизъюнкция

Обозначение дизъюнкции A ∨ B, читается «А или В». Таблица истинности:

С точки зрения операций над множествами, дизъюнкция аналогична объединению двух множеств (см. §10 справочника для 8 класса).

п.4. Импликация

Обозначение импликации A → B, читается «если A, то B».
Высказывание A называют «посылкой», а высказывание B – «заключением».
Значение импликации зависит от порядка высказываний.
Таблица истинности:

п.5. Эквиваленция

Обозначение эквиваленции A ↔ B, читается «A то же самое, что B» или «A эквивалентно B».
Таблица истинности:

п.6. Законы де Моргана

Докажем эквивалентность с помощью таблиц истинности:

Мы видим, что итоговые столбцы слева и справа полностью совпадают.
Значит, высказывания эквивалентны.

Докажем эквивалентность с помощью таблиц истинности:

Высказывания слева и справа эквивалентны.

Не путайте эквиваленцию и эквивалентность.
Эквиваленция – это логическая операция с 0 или 1 на выходе, в зависимости от исходных А и В.
Эквивалентность(равносильность) – это отношение, при котором эквиваленция A ↔ B истинна при всех значениях логических переменных на области определения. Тогда A ⇔ B (пишут также A=B, A≡B, A

B).
Если A ⇔ B, то каждое из предложений является и необходимым и достаточным условием для другого предложения; используются словосочетания «необходимо и достаточно», «равносильно».

п.7. Алгоритм доказательства эквивалентности высказываний с помощью таблиц истинности

Например:
Докажем следующее свойство:

Источник

Отрицание высказываний и высказывательных форм

Пусть предложение А – высказывание. Если перед сказуемым данного предложения поставить частицу «не» либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что», то получится новое предложение, которое называется отрицанием данного и обозначается (читают: «не А» или «неверно, что А»).

Определение. Отрицанием высказывания А называется высказывание , которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А – ложно.

Таблица истинности отрицания имеет вид:

А
и	л
л	и

Из данного определения следует, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинны, ни одновременно ложны.

Построим, например, отрицание ложного высказывания «число 28 делится на 9»:

а) Число 28 не делится на 9.

б) Неверно, что число 28 делится 9.

Высказывания, которые мы получили, истинные. Значит, отрицание данного предложения построено правильно.

Рассмотрим теперь правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции высказываний. Если перед всем составным высказыванием поставить слова «неверно, что», то, безусловно, получим его отрицание. А как быть с частицей «не»? Можно ли поставить ее перед сказуемым составного предложения и получить его отрицание? Возьмем, например, высказывание «число 28 делится на 9 и на 4». Оно ложное, так как представляет собой конъюнкцию двух высказываний, одно из которых ложно. Поставив перед сказуемым этого высказывания частицу «не», получим конъюнкцию «число 28 не делится на 9 и на 4», в которой одно из предложений «число 28 не делится на 4» – ложное и, значит, ложно построенное с помощью частицы «не» предложение. Поэтому оно не является отрицанием высказывания «число 28 делится на 9 и на 4».

Можно доказать, что отрицание конъюнкции двух высказываний А и В является дизъюнкцией их отрицаний. Для этого надо убедится в том, что значения истинности высказываний вида и Ú совпадают при любых значениях истинности высказываний А и В. Сделать это можно при помощи таблицы истинности:

А	В	А Ù B				Ú
И	и	и	л	л	л	л
И	л	л	и	л	и	и
Л	и	л	и	и	л	и
Л	л	л	и	и	и	и

Про высказывания вида и Ú говорят, что они равносильны, и пишут Û Ú .

Аналогично можно доказать, что имеет место равносильность Û Ù .

Эти равносильности носят название законов де Моргана.

Из них вытекает следующее правило построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции: чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и»).

Задача 1. Построить отрицание высказывания «число 28 делится на 9 или на 6».

Решение (два способа).

1) Поставим перед данным высказыванием слова «неверно, что». Получим высказывание «неверно, что число 28 делится на 6 или на 6», которое является отрицанием исходного.

2) Воспользуемся законом де Моргана: заменим высказывания «число 28 делится на 9» и «число 28 делится на 6» их отрицаниями, а союз «или» поменяем на союз «и». Получим высказывание «число 28 не делится на 9 и не делится на 6», которое также является отрицанием исходного.

Итак, мы выяснили, как строить отрицание конъюнкции и дизъюнкции высказываний. А как быть с высказываниями, которые содержат кванторы? Достаточно ли для отрицания таких предложений поставить перед сказуемым частицу «не»? Например, будет ли отрицанием высказывания «всякий прямоугольный треугольник является равнобедренным» предложение «всякий прямоугольный треугольник не является равнобедренным»? Видим, что не будет, так как оба высказывания ложны. Таким образом, строить отрицания высказываний с квантором при помощи частицы «не» перед сказуемым нельзя.

Остается другой путь – перед всем предложением, ставим слова «неверно, что». Тогда отрицанием высказывания «всякий прямоугольный треугольник является равнобедренным» будет предложение «неверно, что всякий прямоугольный треугольник является равнобедренным», но это предложение имеет тот же смысл, что и предложение «некоторые прямоугольные треугольники не являются равнобедренными».

Отрицанием высказывания «некоторые прямоугольные треугольники являются равнобедренными» является высказывание «неверно, что некоторые прямоугольные треугольники являются равнобедренными».

Вообще если дано предложение («х) А(х), то его отрицанием будут предложения и ($х) , также имеющие один и тот же смысл (и одно и то же значение истинности).

Получаем две равносильности: Û ($х) ;

Û («х) .

Из них вытекает правило: для того чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора общности (существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора.

Задача 2. Построить отрицание высказывания «некоторые однозначные числа делятся на 10».

Решение. Сделать это можно двумя способами.

1) Поставим перед высказыванием слова «неверно, что». Получим высказывание «неверно, что некоторые однозначные числа делятся на 10», которое является отрицанием данного.

2) Заменим квантор существования (он выражен словом «некоторые») на квантор общности «все» и построим отрицание предложения, стоящего после слова «некоторые», поставив частицу «не» перед сказуемым. Получим высказывание «все однозначные числа не делятся на 10».

Пусть на множестве Х задана высказывательная форма А(х). Ее отрицание обозначим (читают: «не А(х)» или «неверно, что А(х)»). Предложение будет обращаться в истинное высказывание лишь при тех значениях х из множества Х, при которых А(х) – ложно. Таким образом, , где — множество истинности предложения , а – дополнение множества Т_А до множества Х.

Доказательство этого равенства мы опускаем.

Пусть, например, на множестве натуральных чисел задана высказывательная форма А(х) – «число х кратно 5». Тогда ее отрицанием будет предложение «число х не кратно 5» (или «неверно, что число х кратно 5»), истинное при всех значениях х, которые не кратны 5.

Источник