Что называют основным тригонометрическим тождеством
Основное тригонометрическое тождество
9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Связь между sin и cos одного угла
Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.
Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.
Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.
Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.
В результате деления получаем:
Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.
Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:
Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.
Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.
Исходя из определений:
Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества
задаются sin и cos углов.
Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.
Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества
верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.
применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.
Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.
Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.
Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.
Основные тригонометрические тождества
sin 2 α + cos 2 α = 1
tg 2 α + 1 = 
1 + ctg 2 α = 
Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.
Примеры решения задач
Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если: 
Подставляем значения sin α:
Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.
Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg
Основные тождества тригонометрии
Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.
Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).
Формулы приведения
Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.
Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.
Тригонометрические формулы сложения
Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.
Тригонометрические формулы сложения
На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.
Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.
Формулы половинного угла
Формулы понижения степени
Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:
Общий вид формул понижения степени
Сумма и разность тригонометрических функций
Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.
Сумма и разность тригонометрических функций
Произведение тригонометрических функций
Формулы произведения тригонометрических функций
Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальная тригонометрическая подстановка
Основное тригонометрическое тождество
Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций»).
Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.
. Для любого угла α верно утверждение:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:
Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).
Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.
Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:
Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:
Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны (для получения тангенса) (для котангенса).
Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.
Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒
Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол то в градусной мере это записывается так:
Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому
Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒
Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, принадлежит промежутку Переведем углы из радианной меры в градусную — получим:
Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому
Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:
Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем Известно, Переведем углы из радианной меры в градусную — получим
Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому
Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒
Знак определяем по углу. Имеем: Переведем углы из градусной меры в радианную: это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно,
Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:
Отсюда получаем, что sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол В градусной мере это записывается так: I координатная четверть.
Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому
Основные тригонометрические тождества
Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
\sin^<2>\alpha + \cos^ <2>\alpha = 1
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Содержание
Зависимость между синусом и косинусом
\sin^ <2>\alpha+\cos^ <2>\alpha=1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Решение
\sin^<2>\alpha + \left (-\frac12 \right )^2 = 1
Это уравнение имеет 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt <1-\frac14>= \pm \frac <\sqrt 3>
По условию \frac<\pi> <2>. Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac<\sqrt 3> <2>.
tg \alpha = \frac<\sqrt 3> <2>: \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Решение
Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения.
Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения.
Данная статья содержит материалы раздела алгебры, подраздела основы тригонометрии ЕГЭ по математике профильного уровня, мы рассмотрим тригонометрические тождества, формулы их приведения, синус, косинус, тангенс суммы разности двух углов, а также синус и косинус двойного угла.
На начальном этапе подготовки перед выпускниками обычно встаёт вопрос о том, с чего нужно начинать подготовку к ЕГЭ по математике, рассмотрим структуру КИМа, как правило, он состоит из двух частей:
За правильный ответ на задания из первой части, как правило, ставят один балл за каждое задание. Ответ должен быть дан в виде целого числа либо десятичной дроби. А задания второй части оценивают исходя из полноты ответа, то есть за решение одного задания можно получить от нуля до четырёх баллов. Перейдём к рассмотрению основной темы статьи.
Итак, рассмотрим определение тригонометрических тождеств, а также формулы их приведения.
Тригонометрическими тождествами называют равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом и тангенсом угла. Эта связь помогает определять любую функцию (при этом должна быть известна хотя бы одна функция).
Рассмотрим тригонометрические тождества:
— tg a = sin a / cos a;
Используем формулы синуса угла, являющегося двойным. Затем применяем формулу приведения. Получаем:
13 sin 152 / cos 76 * cos 14 = 13 * 2 sin 76 * cos 76 / cos 76 * cos 14 = 26 sin 76 / cos 14 = 26 sin (90 – 14) / cos 14 = 26 cos 14 / cos 14 = 26.
Итак, мы переходим к изучению второй части нашей статьи. В ходе которой мы рассмотрим формулы для косинуса, синуса и тангенса суммы и разности двух углов, синуса и косинуса двойного угла, а также изучим формулы половинного угла.
Существуют формулы для вычисления суммы и разности аргументов функций, рассмотрим их:
— cos (a + b) = cos (a) * cos (b) – sin (a) * sin (b);
— cos (a – b) = cos (a) * cos (b) + sin (a) * sin (b);
— sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin (b);
— sin (a – b) = sin (a) * cos (b) – cos (a) * sin (b);
— tg (a + b) = tg (a) + tg (b) / 1 – tg (a) * tg (b) и другие формулы.
Рассмотрим пример решения задач, которые требуют применения вышеописанных формул. Такие задания также встречаются под № 9 в ЕГЭ по математике, итак:
Решение: преобразовываем данное выражение:
Cos 24 = cos (-24);
— sin 24 = sin (- 24).
Cos 36 cos 24 – sin 36 sin 24 = cos 36 cos (-24) + sin 36 (-24) = cos (36 – (-24)) = cos 60 = 1 / 2.
Таким образом, мы одновременно упростили, а также произвели вычисление.
Ответ: 1 / 2.
Решение: применяем формулу косинуса разности аргументов: cos 107 cos 17 + sin 107 sin 17 = = cos (107 – 17) = cos (90) = 0.
Далее вычисляем: sin 21 cos 21 – cos 51 sin 21 = sin (51 – 21) = sin 30 = 1 / 2.
Ответ: 1 / 2.
Далее переходим к рассмотрению завершающей темы. Эта тема о синусе и косинусе двойного угла.
Считают, что если возможно записать произвольный аргумент в виде произведения определённого числа на два, то для этих углов следует применять следующие формулы:
— cos (a + b) = cos (a) * cos (b) – sin (a) * sin (b).
Представим, что углы а и b одинаковые, значит: cos (2b) = cos^2 b – sin^2 * b.
По отношению к синусу получаем: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin (b).
Sin 2x = 2 sin x cos x.
Sin 2x = 2 sin x cos x
Cos 2x = cos^2 x – sin^2 x = 2 cos^2 x – 1
Tg 2x = 2tgg x / 1 – tg^2 x = 2 / ctg x
Ctg 2x = ctg^2 x – 1 / 2ctg x = ctg x – tg x / 2.
Вышеописанные формулы также можно применять для двойного аргумента.
Рассмотрим примеры применения этих формул:
Решение: 25 cos 2 a = 25 * (1 – 2 sin^2 a) = (1 – 2 * (-0,7)^2) = 0,5.
Решение: применим формулы приведения:cos (90 – a) = sin a или sin (90 – a) = cos a.
5 cos 28 / sin 61 = 5 cos (90 – 61) / sin 61 = 5 sin 61 / sin 61 = 5
Помним, что функции углов, являющихся дополнительными, равны: 5 cos 29 / sin 61 = 5 cos (90 – 61) / sin 61 = 5 sin 61 / sin 61 = 5.
Таким образом, мы рассмотрели темы, встречающиеся в разделе алгебры ЕГЭ по математике, изучили формулы, которые необходимо применять при решении заданий, а также разобрали примеры заданий и их решения.