Что называют основной задачей механики

§ 2.9. Основные задачи механики

Основная (прямая) задача механики

Основная задача механики состоит в нахождении положения и скорости тела в любой момент времени, если известны его положение и скорость в начальный момент времени и действующие на него силы.

Эта задача решается с помощью второго закона Ньютона — основного закона классической механики:

Его часто называют уравнением движения.

Так как ускорение и сила — величины векторные, то уравнение (2.9.1) фактически является компактной записью трех независимых уравнений:

где а_х, а_у, a_z — проекции вектора ускорения на оси координатной системы отсчета, a F_ix, F_iy, F_iz — проекции векторов сил на те же оси. В случае движения на плоскости достаточно двух уравнений в проекциях, а в случае прямолинейного — одного.

Обычно нам бывают известны из опыта силы как функции координат и скоростей. Зная силы и массу, легко определить проекции ускорения с помощью уравнений (2.9.2).

Но ускорение, как вы знаете из кинематики, не определяет однозначно скорость тела и его координаты. Так, в случае постоянной проекции ускорения а_х на ось X проекция скорости v_x и координата х находятся из уравнений:

Таким образом, для определения проекции скорости в произвольный момент времени нужно знать проекцию начальной скорости v_0x (проекцию в начальный момент времени t₀ = 0), а для определения координаты требуется еще знание начальной координаты х₀.

Если же сила меняется с течением времени, то ускорение не остается постоянным. В этом случае формулы (2.9.3) и (2.9.4) уже не будут справедливыми для любого момента времени и зависимость координат и проекций скоростей от времени будет иметь гораздо более сложный вид. (Формулы (2.9.3) и (2.9.4) справедливы лишь для очень малых интервалов времени, в течение которых ускорение можно считать постоянным.)

Но по-прежнему для нахождения координат и проекций скоростей нужно знать начальные значения этих величин.

Расчет траектории космического корабля и его скорости в произвольный момент времени с учетом влияния как Земли, так и других планет — пример сложной задачи, решаемой с помощью электронных вычислительных машин. Необходимость использования ЭВМ связана еще и с тем, что космические корабли имеют большие скорости. Поэтому при коррекции траектории корабля необходимо обработать обширную информацию в очень короткое время.

Обратная задача механики

Кроме прямой задачи законы механики позволяют решать и обратную задачу. Она состоит в определении сил по известному или заданному движению, т. е. по зависимости координат, скоростей или ускорений от времени. Такую обратную задачу решил Ньютон, определяя силу тяготения по известным кинематическим законам движения планет (законам Кеплера). В настоящее время подобные задачи решаются при определении формы Земли и расположения в ней горных пород различной плотности посредством точного определения орбит спутников.

Часто приходится решать обратную задачу конструкторам: по заданному условиями работы движению деталей машины им приходится рассчитывать действующие на них силы. Это необходимо для правильного выбора материалов, формы и размеров деталей, обеспечивающих необходимую прочность.

Во многих случаях силы упругости в растянутых тросах можно определить по ускорению, сообщаемому ими телам, не прибегая к непосредственному измерению деформации тросов.

Зная массу тела и силу, можно определить ускорение в любой момент времени. По известному ускорению и начальной скорости можно найти скорость в любой момент времени. Зная скорость и начальные координаты, можно вычислить координаты в любой момент времени.

Источник

Основы механики для чайников. Введение

В рамках любого учебного курса изучение физики начинается с механики. Не с теоретической, не с прикладной и не вычислительной, а со старой доброй классической механики. Эту механику еще называют механикой Ньютона. По легенде, ученый гулял по саду, увидел, как падает яблоко, и именно это явление подтолкнуло его к открытию закона всемирного тяготения. Конечно, закон существовал всегда, а Ньютон лишь придал ему понятную для людей форму, но его заслуга – бесценна. В данной статье мы не будем расписывать законы Ньютоновской механики максимально подробно, но изложим основы, базовые знания, определения и формулы, которые всегда могут сыграть Вам на руку.

Механика – раздел физики, наука, изучающая движение материальных тел и взаимодействия между ними.

Почему изучение физики начинается именно с механики? Потому что это совершенно естественно, не с термодинамического же равновесия его начинать?!

Механика – одна из старейших наук, и исторически изучение физики началось именно с основ механики. Помещенные в рамки времени и пространства, люди, по сути, никак не могли начать с чего-то другого, при всем желании. Движущиеся тела – первое, на что мы обращаем свое внимание.

Что такое движение?

Механическое движение – это изменение положения тел в пространстве относительно друг друга с течением времени.

Именно после этого определения мы совершенно естественно приходим к понятию системы отсчета. Изменение положения тел в пространстве относительно друг друга. Ключевые слова здесь: относительно друг друга. Ведь пассажир в машине движется относительно стоящего на обочине человека с определенной скоростью, и покоится относительно своего соседа на сиденье рядом, и движется с какой-то другой скоростью относительно пассажира в машине, которая их обгоняет.

Механика, как наука, имеет свою задачу. Задача механики – в любой момент времени знать положение тела в пространстве. Иными словами, механика строит математическое описание движения и находит связи между физическими величинами, его характеризующими.

Для того, чтобы двигаться далее, нам понадобится понятие “материальная точка”. Говорят, физика – точная наука, но физикам известно, сколько приближений и допущений приходится делать, чтобы согласовать эту самую точность. Никто никогда не видел материальной точки и не нюхал идеального газа, но они есть! С ними просто гораздо легче жить.

Материальная точка – тело, размерами и формой которого в контексте данной задачи можно пренебречь.

Разделы классической механики

Механика состоит из нескольких разделов

Кинематика с физической точки зрения изучает, как именно тело движется. Другими словами, этот раздел занимается количественными характеристиками движения. Найти скорость, путь – типичные задачи кинематики

Динамика решает вопрос, почему оно движется именно так. То есть, рассматривает силы, действующие на тело.

Статика изучает равновесие тел под действием сил, то есть отвечает на вопрос: а почему оно вообще не падает?

Границы применимости классической механики

Классическая механика уже не претендует на статус науки, объясняющей все (в начале прошлого века все было совершенно иначе), и имеет четкие рамки применимости. Вообще, законы классической механики справедливы привычном нам по размеру мире (макромир). Они перестают работать в случае мира частиц, когда на смену классической приходит квантовая механика. Также классическая механика неприменима к случаям, когда движение тел происходит со скоростью, близкой к скорости света. В таких случаях ярко выраженными становятся релятивистские эффекты. Грубо говоря, в рамках квантовой и релятивистской механики – классическая механика, это частный случай, когда размеры тела велики, а скорость – мала.

Движение на скорости, близкой к скорости света, нельзя описать законами классической механики

Вообще говоря, квантовые и релятивистские эффекты никогда никуда не деваются, они имеют место быть и при обычном движении макроскопических тел со скоростью, много меньшей скорости света. Другое дело, что действие этих эффектов так мало, что не выходит за рамки самых точных измерений. Классическая механика, таким образом, никогда не потеряет своей фундаментальной важности.

Мы продолжим изучение физических основ механики в следующих статьях. Для лучшего понимания механики Вы всегда можете обратиться к нашим авторам, которые в индивидуальном порядке прольют свет на темное пятно самой сложной задачи.

Источник

Механическое движение и его характеристики

теория по физике 🧲 кинематика

Механика — раздел физики, который изучает механическое движение физических тел и взаимодействие между ними.

Основная задача механики — определение положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение и его виды

По характеру движения точек тела выделяют три вида механического движения:

По типу линии, вдоль которой движется тело, выделяют два вида движения:

По скорости выделяют два вида движения:

По ускорению выделяют три вида движения:

Что нужно для описания механического движения?

Для описания механического движения нужно выбрать, относительно какого тела оно будет рассматриваться. Движение одного и того же объекта относительно разных тел неодинаковое. К примеру, идущий человек относительно дерева движется с некоторой скоростью. Но относительно сумки, которую он держит в руках, он находится в состоянии покоя, так как расстояние между ними с течением времени не изменяется.

Решение основной задачи механики — определения положения тела в пространстве в любой момент времени — заключается в вычислении координат его точек. Чтобы вычислить координаты тела, нужно ввести систему координат и связать с ней тело отсчета. Также понадобится прибор для измерения времени. Все это вместе составляет систему отсчета.

Система отсчета — совокупность тела отсчета и связанных с ним системы координат и часов.

Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается движение.

Часы — прибор для отсчета времени. Время измеряется в секундах (с).

При описании движения тела важно учитывать его размеры, так как характер движения его отдельных точек может различаться. Но в рамках некоторых задач размер тела не влияет на результат решения. Тогда его можно считать пренебрежительно малым. Тогда тело рассматривают как движущуюся материальную точку.

Материальная точка — это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях конкретной задачи. Допустимо принимать тело за точку, если оно движется поступательно или его размеры намного меньше расстояний, которые оно проходит.

Виды систем координат

В зависимости от характера движения тела для его описания выбирают одну из трех систем координат:

Способы описания механического движения

Описать механическое движение можно двумя способами:

Координатный способ

Указать положение материальной точки в пространстве можно, используя трехмерную систему координат. Если эта точка движется, то ее координаты с течением времени меняются. Так как координаты точки зависят от времени, можно считать, что они являются функциями времени. Математически это записывается так:

Эти уравнения называют кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме.

Векторный способ

Радиус-вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с положением этой точки.

Указать положение точки в трехмерном пространстве также можно с помощью радиус-вектора. При движении точки радиус-вектор со временем изменяется. Он может менять направление и длину. Это значит, что радиус-вектор тоже можно принять за функцию времени. Математически это записывается так:

Эта формула называется кинематическим уравнением движения точки, записанным в векторной форме.

Характеристики механического движения

Движение материальной точки характеризуют три физические величины:

Перемещение

Траектория — линия, которую описывает тело во время движения.

Путь — длина траектории. Обозначается буквой s. Единица измерения — метры (м).

Путь есть функция времени:

Модуль перемещения — длина вектора перемещения. Обозначается как |Δ r |. Единица измерения — метры (м).

Модуль перемещения необязательно должен совпадать с длиной пути.

Пример №1. Человек обошел круглое поле диаметром 1 км. Чему равны пройденный путь и перемещение, которое он совершил.

Путь равен длине окружности. Поэтому:

Человек, обойдя круглое поле, вернулся в ту же точку. Поэтому его начальное положение совпадает с конечным. В этом случае человек совершил перемещение, равное нулю.

Пример №2. Точка движется по окружности радиусом 10 м. Чему равен путь, пройденный этой точкой, в момент, когда модуль перемещения равен диаметру окружности?

Диаметр — это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Перемещение равно длине этого отрезка в случае, если один из концов этого отрезка является началом вектора перемещения, а другой — его концом. Траекторией движения в этом случае является дуга, равная половине окружности. А длина траектории есть путь:

Скорость

Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тела. Численно она равна отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

Скорость характеризуется не только направлением вектора скорости, но и его модулем.

Модуль скорости — расстояние, пройденное точкой за единицу времени. Обозначается буквой V и измеряется в метрах в секунду (м/с).

Математическое определение модуля скорости:

Величина скорости тела в данный момент времени есть первая производная от пройденного пути по времени:

Ускорение

Ускорение — векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела. Численно она равна отношению изменения скорости за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

Модуль ускорения — численное изменение скорости в единицу времени. Обозначается буквой a. Единица измерения — метры в секунду в квадрате (м/с 2 ).

Математическое определение модуля скорости:

v — скорость тела в данный момент времени, v₀— его скорость в начальный момент времени, t — время, в течение которого эта скорость менялась.

Ускорение тела есть первая производная от скорости или вторая производная от пройденного пути по времени:

Проекция вектора перемещения на ось координат

Проекция вектора перемещения на ось — это скалярная величина, численно равная разности конечной и начальной координат.

Проекция вектора на ось OX:

Проекция вектора на ось OY:

Знаки проекций перемещения

Проекция вектора перемещения на ось считается нулевой, если вектор расположен перпендикулярно этой оси.

Модуль перемещения — длина вектора перемещения:

Модуль перемещения измеряется в метрах (м).

Вместе с собственными проекциями модуль перемещения образует прямоугольный треугольник. Сам он является гипотенузой этого треугольника. Поэтому для его вычисления можно применить теорему Пифагора. Выглядит это так:

Выразив проекции вектора перемещения через координаты, эта формула примет вид:

Выражение проекций вектора перемещения через угол его наклона по отношению к координатным осям:

Общий вид уравнений координат:

Пример №3. Определить проекции вектора перемещения на ось OX, OY и вычислить его модуль.

Определяем координаты начальной точки вектора:

Определяем координаты конечной точки вектора:

Проекция вектора перемещения на ось OX:

Проекция вектора перемещения на ось OY:

Применяем формулу для вычисления модуля вектора перемещения:

Пример №4. Определить координаты конечной точки B вектора перемещения, если начальная точка A имеет координаты (–5;5). Учесть, что проекция перемещения на OX равна 10, а проекция перемещения на OY равна 5.

Извлекаем известные данные:

Для определения координаты точки В понадобятся формулы:

Выразим из них координаты конечного положения точки:

Точка В имеет координаты (5; 10).

Алгоритм решения

Решение

Записываем исходные данные:

Записываем формулу ускорения:

Так как начальная скорость равна 0, эта формула принимает вид :

Отсюда скорость равна:

Подставляем имеющиеся данные и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник

Учебники

Журнал «Квант»

Общие

Кикоин А.К. Как решается основная задача механики? //Квант. — 1984. — № 2. — С. 24-25.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Основная задача механики, как неоднократно указывается в учебнике «Физика 8», — определять положение (координаты) движущегося тела в любой момент времени. Это механика обязательно должна «уметь», иначе она не может быть наукой о движении. Законы движения, открытые Ньютоном, и прежде всего второй закон Ньютона (основной закон динамики) \(

\vec F = m \vec a\) как раз и позволяют решать эту задачу.

Второй закон Ньютона связывает силу, приложенную к телу, и вызванное силой ускорение. Но ускорение — это быстрота изменения скорости, а скорость, в свою очередь, — быстрота изменения перемещения тела. Поэтому, решив уравнение, выражающее основной закон динамики, мы узнаем о быстроте изменения координат тела, а значит, и о самих координатах в любой момент времени. Для этого кроме силы нужно знать еще начальные условия — начальные координаты и начальную скорость тела.

На первый взгляд кажется, что уравнение второго закона Ньютона очень простое и что решается оно тоже просто. Однако надо помнить, что уравнение \(

\vec F = m \vec a\) — векторное. Это значит, что за ним «скрываются» три скалярных уравнения для проекции силы и ускорения на оси координат:

Эти уравнения в самом деле решаются легко, но только в том случае, когда проекции силы F_x, F_y и F_z постоянны, то есть когда их значения одинаковы при любых значениях координат точки, а значит, и в любой момент времени. Тогда постоянны и значения проекций ускорения a_x, a_y и a_z, движение тела, следовательно, равноускоренное, и координаты х, у и z определяются равенствами

Здесь x₀, y₀ и z₀ — начальные координаты, a υ_0x, υ_0y и υ_0z — соответствующие проекции начальной скорости на оси координат.

В школьном курсе физики рассматриваются только такие задачи, когда силы постоянны. Значительно сложнее решать основную задачу механики, если сила и ее проекции зависят от координат. В действительности обычно именно так и бывает. Как решается задача в таком случае? Конечно, и теперь нужно знать начальные условия и силу. Но теперь «знать силу» — значит знать, как она изменяется при изменении координат тела.

Пусть, например, на тело действует сила F_x, которая определенным (и известным) образом зависит от координаты х. Для определения координаты х тела в любой момент времени прежние формулы непригодны, потому что если сила F_x изменяется от точки к точке, будет изменяться и ускорение a_x тела. Будем решать задачу постепенно, так сказать, шаг за шагом.

Сначала рассмотрим движение нашего тела в течение малого промежутка времени Δt, начиная с момента, который мы условимся считать начальным. В этот момент (t = 0) координата х тела, равна x₀ (начальная координата), а скорость равна υ_0x (начальная скорость). Промежуток Δt выберем настолько малым, чтобы в течение этого времени силу F_x, а значит, и ускорение a_x можно было считать постоянными. Силу F_0x мы знаем, поскольку нам известно, как сила зависит от координаты; a_0x мы тоже знаем, так как \(

a_ <0x>= \frac>\). Следовательно, по известным нам формулам равноускоренного движения для скорости υ_1x и координаты x₁ в конце промежутка времени Δt мы можем написать:

Затем рассмотрим движение тела в следующий столь же малый промежуток времени Δt. Начальной координатой теперь будет найденное нами значение x₁ и начальной скоростью — значение υ_1x. В течение этого второго промежутка на тело будет действовать уже другая сила — F_1x. Ее значение мы найдем, зная зависимость силы от координаты. Соответственно другим будет и ускорение тела a_1x. Таким образом, к концу второго промежутка времени скорость тела будет равна

Эти значения скорости и координаты будут начальными для движения тела в течение следующего, третьего, промежутка, и мы таким же способом найдем значения скорости и координаты к концу этого промежутка.. Так, «двигаясь» шаг за шагом, мы сможем определить координату х тела в любой момент времени. Аналогично можно найти и координаты y и z.

В рассмотренной нами процедуре нетрудно заметить систематическую ошибку, которую мы допускаем. Состоит она в том, что сила и ускорение считаются постоянными в течение каждого малого промежутка времени Δt, а в конце промежутка они скачком изменяются. Между тем в действительности и сила, и ускорение всегда изменяются непрерывно. Уменьшить эту ошибку можно, уменьшив значение Δt. Ошибка практически вовсе исчезнет, если промежутки времени сделать бесконечно малыми. Но тогда число наших «шагов» станет бесконечно большим, и процедура из-за этого сделается невозможной.

Специально для таких случаев разработан особый математический аппарат, называемый дифференциальным и интегральным исчислением (Ньютон придумал его именно для этой цели). С его помощью и решается основная задача механики. Но принцип решения именно тот, который мы здесь рассмотрели. Именно таким способом рассчитывают сложные механические движения (например, спутников и ракет) современные ЭВМ.

В заключение отметим следующее. Когда мы говорим, что основная задача механики — находить координаты движущихся тел по известным силам и начальным условиям, то это вовсе не значит, что только этим и занимается механика. Бывает и так, что движение тела, то есть его положение в любой момент времени, известно из наблюдений. Тогда законы движения позволяют найти силу, действующую на тело. Эта задача, так называемая обратная задача механики, столь же важна, как и рассмотренная нами прямая задача, но, как нетрудно понять, она значительно проще.

Источник