Что называют мгновенной скоростью как она направлена в произвольной точке траектории

Мгновенная и средняя скорость

Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.

Величина, которая характеризует быстроту изменения положения координаты, называется скоростью.

Мгновенная скорость точки. Формулы

Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.

Мгновенной скоростью называют предел, к которому стремится средняя скорость » open=» υ при стремлении промежутка времени ∆ t к 0 :

Имеющееся выражение υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:

Перемещение и мгновенная скорость

Запись модуля вектора υ примет вид:

Мгновенной скоростью называют значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент, связанной с элементарным перемещением соотношением d r = υ ( t ) d t

Решение

Мгновенной скоростью принято называть первую производную радиус-вектора по времени. Тогда ее запись примет вид:

Решение

Вычислим уравнение мгновенной скорости, подставим числовые выражения:

Источник

Мгновенная скорость движения

Другими словами, мгновенная скорость – это первая производная радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории тела в сторону движения тела.

Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Например, при езде в автомобиле в некоторый момент времени водитель смотрит на спидометр и видит, что прибор показывает 100 км/ч. Через некоторое время стрелка спидометра указывает на величину 90 км/ч, а еще спустя несколько минут – на величину 110 км/ч. Все перечисленные показания спидометра – это значения мгновенной скорости автомобиля в определенные моменты времени. Скорость в каждый момент времени и в каждой точке траектории необходимо знать при стыковке космических станций, при посадке самолетов и т.д.

Имеет ли понятие «мгновенной скорости» физический смысл? Скорость – это характеристика изменения перемещения тела в пространстве. Однако, для того, чтобы определить, как изменилось перемещение, необходимо наблюдать за движением в течение некоторого времени. Даже самые совершенные приборы для измерения скорости такие как радарные установки, измеряют скорость за промежуток времени – пусть достаточно малый , однако это все-таки конечный временной интервал, а не момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако, понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.

Примеры решения задач по теме «Мгновенная скорость»

Задание

О какой скорости – средней или мгновенной – идет речь в следующих случаях:

1) самолет летит из Санкт-Петербурга в Москву со скоростью 800 км/ч;

2) пуля вылетает из винтовки со скоростью 800 м/с;

3) велосипедист едет по шоссе со скоростью 12 км/ч;

4) прибор показывает скорость тепловоза 75 км/ч?

Ответ1) и 3) – речь идет о средней скорости;

2) и 4) – речь идет о мгновенной скорости.

Задание	Закон движения точки по прямой задается уравнением . Найти мгновенную скорость точки через 10 секунд после начала движения.
Решение	Мгновенная скорость точки – это первая производная радиус-вектора по времени. Поэтому для мгновенной скорости можно записать:

Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость будет иметь значение:

м/с

ОтветЧерез 10 секунд после начала движения мгновенная скорость точки м/с.

Задание	Тело движется по прямой так, что его координата (в метрах) изменяется по закону . Через сколько секунд после начала движения тело остановится?
Решение	Найдем мгновенную скорость тела:

В момент остановки мгновенная скорость тела будет равна нулю:

Источник

Неравномерное движение. Мгновенная скорость

Урок 6. Физика 10 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Неравномерное движение. Мгновенная скорость»

Ранее мы рассматривали равномерное прямолинейное движение. Строго говоря, такое движение — это идеализированный пример. На самом деле тела двигаются неравномерно. Например, автомобиль едет чуть быстрее или чуть медленнее в определённые промежутки времени.

Да и траектория его никогда не является прямой на достаточно длинных участках.

Существует также колебательное движение, примером которого может являться движение маятника. Кроме того, как вы знаете, тело, находящееся в свободном падении, двигается с ускорением. Наконец, тело, двигающееся по кривой, обладает центростремительным ускорением. Все эти примеры являются примерами неравномерного движения. Неравномерным движением называется такое движение, при котором расстояния, пройденные за одинаковые промежутки времени, не равны.

Именно, с неравномерным движением связано понятие мгновенной скорости. Чтобы понять, что такое мгновенная скорость, рассмотрим простой пример. На рисунке вы видите траекторию, по которой перемещается точка.

Отметим три случайных положения этой точки на траектории. Тогда мы можем найти три разных вектора перемещения: , и . Соответственно, эти перемещения были совершены за промежутки времени , и . Тогда мы можем посчитать средние скорости на этих участках:

Очевидно, что эти скорости будут неравны. Но по мере уменьшения промежутка времени, средние скорости всё меньше и меньше будут отличаться друг от друга. В конце концов, если мы возьмём бесконечно малый промежуток времени, выражение

будет стремиться к определённому значению. То есть, это скорость в данный момент времени или, точнее сказать, мгновенная скорость.

Заметим, что какой бы сложной ни была траектория движения, если мы возьмём бесконечно малый промежуток времени, то на нём перемещение будет казаться прямолинейным. В этом случае, мы можем подсчитать скорость по формуле для прямолинейного движения. Но в каждое последующее мгновение, скорость будет меняться. Именно поэтому, она и называется мгновенной скоростью.

Мгновенная скорость — это величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Например, если вы едете в машине и наехали на кочку, то вас подбрасывает вверх. Почему? Потому что в тот миг, когда машина переезжает через кочку, мгновенная скорость направлена вверх. Но в следующее же мгновение, она направлена вниз, а еще через мгновение, скорость снова направлена также, как и была направлена до кочки.

Рассмотрим конкретный пример. Вы видите график зависимости положения материальной точки от времени при равноускоренном движении.

График представляет собой параболу. Очевидно, что в каждой точке скорость разная. Если мы рассчитаем среднюю скорость в период от 2 до 5 секунд, то она будет равна 7 м/с. Рассмотрим теперь промежуток времени от 4 до 5 секунд. В этом случае, средняя скорость будет равна 9 м/с. Рассмотрим теперь участок от 4,796 секунд до 5 секунд. Этот промежуток времени довольно мал, поэтому если мы достаточно приблизим график, то траектория будет казаться почти прямой. Средняя скорость на этом участке равна 9,8 м/с.

Как видите, с уменьшением интервала времени, средняя скорость стремится к какому-то определённому значению. То есть, к значению мгновенной скорости в момент времени t = 5 с, которое в нашем случае равно 10 м/с. Если мы подсчитаем среднюю скорость на временном интервале, равным 0,01 с, то убедимся, что средняя скорость почти равна 10 м/с.

Заметим, что во всех упомянутых примерах мы рассматривали среднюю скорость перемещения. Существует также, такое понятие, как средняя путевая скорость. Именно путевая скорость чаще всего используется для описания движения.

Средняя путевая скорость определяется отношением пройденного пути к промежутку времени, за который этот путь пройден:

Мы уже говорили, что пройденный путь всегда больше либо равен модулю перемещения. Из этого можно сделать вывод, что средняя путевая скорость больше либо равна модулю средней скорости перемещения:

Источник

§ 8. Мгновенная и средняя скорости

Как вы думаете, какую скорость показывает спидометр?

Может ли городской транспорт двигаться равномерно и прямолинейно?

Понаблюдайте за движением раз- личных тел. Какие из них всё время изменяют скорость при движении, а какие движутся практически равномерно в течение длительного промежутка времени?

Реальные тела (человек, автомобиль, ракета, теплоход и т. д.), как правило, не движутся с постоянной скоростью. Они начинают двигаться из состояния покоя, и их скорость увеличивается постепенно, при остановке скорость уменьшается также постепенно, таким образом, реальные тела движутся неравномерно.

Неравномерное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным.

Чтобы полностью описать неравномерное движение точки, надо знать её положение и скорость в каждый момент времени.

Запомни
Скорость точки в данный момент времени называется мгновенной скоростью.

Что же понимают под мгновенной скоростью?

Пусть точка, двигаясь неравномерно и по кривой линии, в некоторый момент времени t занимает положение М (рис. 1.24). По прошествии времени Δt₁ от этого момента точка займёт положение М₁, совершив перемещение Δ₁. Поделив вектор Δ₁ на промежуток времени Δt₁ найдём такую скорость равномерного прямолинейного движения, с которой должна была бы двигаться точка, чтобы за время Δt попасть из положения М в положение М₁. Эту скорость называют средней скоростью перемещения точки за время Δt₁.

Обозначив её через _ср1, запишем: Средняя скорость направлена вдоль секущей ММ₁. По той же формуле мы находим скорость точки при равномерном прямолинейном движении.

Запомни
Скорость, с которой должна равномерно и прямолинейно двигаться точка, чтобы попасть из начального положения в конечное за определённый промежуток времени, называется средней скоростью перемещения.

Для того чтобы определить скорость в данный момент времени, когда точка занимает положение М, найдём средние скорости за всё меньшие и меньшие промежутки времени:

Верно ли следующее определение мгновенной скорости: «Скорость тела в данной точке траектории называется мгновенной скоростью»?

При уменьшении промежутка времени Δt перемещения точки уменьшаются по модулю и меняются по направлению. Соответственно этому средние скорости также меняются как по модулю, так и по направлению. Но по мере приближения промежутка времени Δt к нулю средние скорости всё меньше и меньше будут отличаться друг от друга. А это означает, что при стремлении промежутка времени Δt к нулю отношение стремится к определённому вектору как к своему предельному значению. В механике такую величину называют скоростью точки в данный момент времени или просто мгновенной скоростью и обозначают

Запомни
Мгновенная скорость точки есть величина, равная пределу отношения перемещения Δ к промежутку времени Δt, в течение которого это перемещение произошло, при стремлении промежутка Δt к нулю.

Выясним теперь, как направлен вектор мгновенной скорости. В любой точке траектории вектор мгновенной скорости направлен так, как в пределе, при стремлении промежутка времени Δt к нулю, направлена средняя скорость перемещения. Эта средняя скорость в течение промежутка времени Δt направлена так, как направлен вектор перемещения Δ Из рисунка 1.24 видно, что при уменьшении промежутка времени Δt вектор Δ уменьшая свою длину, одновременно поворачивается. Чем короче становится вектор Δ, тем ближе он к касательной, проведённой к траектории в данной точке М, т. е. секущая переходит в касательную. Следовательно,

Важно
мгновенная скорость направлена по касательной к траектории (см. рис. 1.24).

В частности, скорость точки, движущейся по окружности, направлена по касательной к этой окружности. В этом нетрудно убедиться. Если маленькие частички отделяются от вращающегося диска, то они летят по касательной, так как имеют в момент отрыва скорость, равную скорости точек на окружности диска. Вот почему грязь из-под колёс буксующей автомашины летит по касательной к окружности колёс (рис. 1.25).

Понятие мгновенной скорости — одно из основных понятий кинематики. Это понятие относится к точке. Поэтому в дальнейшем, говоря о скорости движения тела, которое нельзя считать точкой, мы можем говорить о скорости какой-нибудь его точки.

Помимо средней скорости перемещения, для описания движения чаще пользуются средней путевой скоростью _cps.

Запомни
Средняя путевая скорость определяется отношением пути к промежутку времени, за который этот путь пройден:

Начертите произвольную кривую. Пусть вдоль неё движется точка. Выберите на кривой несколько точек и начертите вектор мгновенной скорости, если: а) модуль скорости не изменяется; б) модуль скорости уменьшается на одно и то же значение через авные отрезки пути.

Когда мы говорим, что путь от Москвы до Санкт-Петербурга поезд прошёл со скоростью 80 км/ч, мы имеем в виду именно среднюю путевую скорость движения поезда между этими городами. Модуль средней скорости перемещения при этом будет меньше средней путевой скорости, так как s > |Δ|.

Важно
Для неравномерного движения также справедлив закон сложения скоростей. В этом случае складываются мгновенные скорости.

Ключевые слова для поиска информации по теме параграфа.
Мгновенная скорость. Средняя скорость. Средняя путевая скорость

Вопросы к параграфу

1. Что называется средней скоростью перемещения?

2. Что такое мгновенная скорость?

3. Как направлена мгновенная скорость в данной точке траектории?

4. Точка движется по криволинейной траектории так, что модуль её скорости не изменяется. Означает ли это, что скорость точки постоянна?

5. Что такое средняя путевая скорость?

Образцы заданий ЕГЭ

A1. На рисунке представлен график зависимости координаты тела от времени. Средняя скорость движения тела равна

A2. Уравнение движения тела х = 4 + 5t. Все величины выражены в СИ. Через время, равное 2 с после начала движения, скорость тела равна

1) 7 м/с 2) 2,5 м/с 3) 5 м/с 4) 14 м/с

A3. На рисунке показана зависимость координаты тела от времени. Определите максимальное значение модуля мгновенной скорости.

A4. Определите значения средней путевой скорости и модуля средней скорости перемещения за 9 с (см. рис. к тесту АЗ).

Источник

Основы механики для чайников. Часть 1: Кинематика

В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.

Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.

Траектория, радиус-вектор, закон движения тела

Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.

Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.

Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна. А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения. Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.

Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.

Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат (или радиус-вектора точки) от времени.

Перемещение и путь

Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.

Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.

Скорость и ускорение

Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло

А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.

Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду

Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.

Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.

Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории

Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.

Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.

Закон равноускоренного движения

Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.

Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.

Пример решения задачи

Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Источник