Что называют комплексной частотной характеристикой

Что называют комплексной частотной характеристикой

6.1. Понятие частотных характеристик

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал

то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

.

W(j) есть комплексная функция, поэтому:

;

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L() и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) (). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина () откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы:

ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

6.2. Частотные характеристики типовых звеньев

Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики. Для этого необходимо подставить в нее j вместо p, получим АФЧХ W(j). Затем надо выразить из нее ВЧХ P() и МЧХ (Q(). После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A() и ФЧХ (), а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = 20lgA() (ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).

6.2.1. Безынерционное звено

Некоторые ЧХ показаны на рис.50. Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе.

6.2.2. Интегрирующее звено

Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть

6.2.3. Апериодическое звено

При k = 1 получаем следующие выражения ЧХ:

;

;

;

;

6.2.4. Инерционные звенья второго порядка

При k = 1 передаточная функция звена:

В виду сложности вывода выражений для частотных характеристик рассмотрим их без доказательства, они показаны на рис.53.

Реальная ЛАЧХ при значительно отличается от асимптотической. Это отличие тем существенней, чем меньше коэффициент демпфирования . Точную кривую можно построить, воспользовавшись кривыми отклонений, которые приводятся в справочниках. В предельном случае = 0 получаем консервативное звено, у которого при амплитуда выходных колебаний стремится к бесконечности (рис.54).

6.2.5. Правила построения ЧХ элементарных звеньев

При построении ЧХ некоторых звеньев можно использовать “ правило зеркала ”: при k = 1 ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев с обратными передаточными функциями зеркальны относительно горизонтальной оси. Так на рис.55 изображены ЧХ идеального дифференцирующего и идеального форсирующего звеньев.

Для примера на рис.56 приведены частотные характеристики апериодического звена при k = 10 и T = 1c. При этом ЛАЧХ апериодического звена с k = 1 поднята вверх на 20lg10 = 20.

Источник

Частотные характеристики электрических цепей

Частотные характеристики пассивных двухполюсников

Основные понятия о частотных характеристиках

14.3. Частотные характеристики пассивных четырёхполюсников

Зависимость некоторой величины электрической цепи от частоты гармонического сигнала называют частотной характеристикой.

Частотную характеристику, записанную в комплексной форме, называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ). Модуль КЧХ называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Зависимость фазы КЧХ от частоты называют фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

К комплексным частотным характеристикам относят входные, выходные и передаточные функции.

Входными комплексными характеристиками, или входными комплексными функциями называют зависимости от частоты комплексного входного сопротивления

или комплексной входной проводимости

двухполюсника, т.е. электрической схемы, рассматриваемой относительно двух выводов (рис. 14.1). В формулах (14.1) и (14.2) через и обозначены модули входного сопротивления и проводимости соответственно.

Рис. 14.1. К определению входного сопротивления двухполюсника

Выходными комплексными частотными характеристиками называют зависимости от частоты комплексного выходного сопротивления (входного сопротивления со стороны выходных выводов) и выходной проводимости (входной проводимости со стороны выходных выводов) электрической схемы.

Передаточной комплексной характеристикой, или коэффициентом передачи называют выраженную в комплексной форме зависимость от частоты отношения выходной величины к входной.

Различают следующие основные виды передаточных функций:

1) коэффициент передачи по напряжению

2) коэффициент передачи по току

3) передаточное сопротивление

4) передаточная проводимость

В радиотехнике наиболее часто имеют дело с коэффициентом передачи по напряжению и поэтому индекс напряжения опускают, что отражено в формуле (14. 3).

Зависимость положения конца вектора комплексной функции на комплексной плоскости от некоторого параметра называют годографом или амплитудно-фазовой харак­теристикой. Годограф наглядно показывает изменение модуля и фазы комплексной величины от параметра.

Годограф позволяет строить зависимости комплексных напряжений, токов, мощностей, сопротивлений, проводимостей и передаточных функций на комплексной плоскости от выбранного параметра. В качестве параметра можно использовать частоту, величину или фазу эдс (генератора тока), величину сопротивления, ёмкости, индуктивности и др.

Источник

Комплексные частотные характеристики

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

И РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЦЕПЯХ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Комплексные передаточные функции линейных цепей

Рассмотрим случай, когда воздействие на линейную цепь является гармоническим . Отклик линейной цепи на это воздействие тоже будет гармоническим с частотой воздействия .

Важнейшей характеристикой линейной цепи является комплексная передаточная функция H(jω)(КПФ).При этом электрическую цепь удобно изображать в виде четырехполюсника (рис. 3.1). Внешние полюса (1 – 1 / ), на которые действует воздействие в виде напряжения с комплексной амплитудой или тока с комплексной амплитудой , называются входными полюсами.

Внешние полюса (2 – 2 / ), к которым подключают нагрузку, т.е. полюса, с которых снимается реакция (отклик) в виде напряжения с комплексной амплитудой или тока с комплексной амплитудой , называются выходными полюсами.

Комплексная передаточная функция (КПФ) определяется как отношение комплексной амплитуды реакции цепи к комплексной амплитуде внешнего воздействия (рис. 3.1)

. (3.1)

В зависимости от вида воздействия и отклика (см. рис. 3.1) различают следующие виды КПФ:

1. Комплексная передаточная функция по напряжениюили коэффициент передачи по напряжению

. (3.2)

2. Комплексная передаточная функция по токуили коэффициент передачи по току

. (3.3)

3. Комплексное передаточное сопротивление или передаточное сопротивление

. (3.4)

4. Комплексная передаточная проводимость или передаточная проводимость

. (3.5)

Первые две функции (3.2) и (3.3) являются безразмерными величинами, а функции (3.4) и (3.5) – имеют соответственно размерности сопротивления и проводимости.

Комплексные частотные характеристики

Всякую комплексную величину H(jω) можно представить в показательной, тригонометрической и алгебраической форме (3.6):

;

; (3.6)

.

Величина H(ω) = │H(jω)│ является модулем передаточной функции.

Зависимость модуля комплексной передаточной функции от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой цепи(АЧХ) КПФ(рис. 3.2, а).

Величина φ_H(ω) = argH(jω) – аргумент комплексной передаточной функции. Зависимость φ(ω) от частоты называют фазо-частотной характеристикой цепи(ФЧХ) КПФ(рис. 3.2, б).

(3.7)

есть вещественная и мнимая части комплексной передаточной функции.

Из (3.6) и (3.7) можно получить выражения модуля (АЧХ) и аргумента (ФЧХ) комплексной передаточной функции

; (3.8)

. (3.9)

АЧХ и ФЧХ цепи можно изобразить единым графиком, если построить зависимость КПФ H(jω) от частоты ω на комплексной плоскости. При этом конец вектора H(jω опишет некоторую кривую, которая называется годографомкомплексной передаточной функции (рис. 3.2, в). На годографе указывают точки, соответствующие некоторым значениям частоты ω, и стрелкой показывают направление перемещения конца вектора при увеличении частоты.

Совокупность АЧХ, ФЧХ и годограф составляет комплексные частотные характеристики (КЧХ). КЧХ являются наиболее фундаментальными понятиями теории цепей и широко используются на практике.

В ряде случаев частотные характеристики цепи могут изменяться в очень широких пределах, поэтому более удобно их оценивать в логарифмическом масштабе. С этой целью для оценки АЧХ вводят понятие логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАХ):

Оценивается ЛАХ в децибелах (дБ). В активных цепях K называют еще логарифмическим усилением. Для пассивных цепей вместо коэффициента усиления оперируют ослаблением цепи

Источник

Частотные характеристики

Передаточная функция выражает свойства системы через комплексную переменную, которая содержит действительную и мнимую части: p = s + jw. Мнимая часть имеет смысл циклической частоты колебаний. Если взять чисто мнимое значение комплексной переменной, p = jw, и ввести эту величину в передаточную функцию (2.6), получается частотная функция:

. (2.8)

Ее называют комплексная частотная характеристика, амплитудно-фазовая частотная характеристика, комплексный коэффициент усиления.

По определению, она записывается отношением частотных полиномов. Но возможны и другие формы записи. Обратим внимание на то, что частотный полиномВ(jw) в развернутом виде,

,

представляет собой сумму действительной и мнимой частей:

.

Так получается потому, что j = в четной степени будет либо –1, либо +1.

Частотный полином D(jw) в развернутом виде имеет ту же структуру:

Следовательно комплексная частотная характеристика есть отношение двух комплексных чисел:

.

Умножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю, позволяет выделить действительную и мнимую части:

.

Комплексное выражение (2.9) можно интерпретировать геометрически, отложив по оси абсцисс действительную частотную характеристику, по оси ординат – мнимую частотную характеристику, рис. 2.1.

V(w)

j

, . (2.10)

Все величины – функции частоты w.

Комплексную частотную характеристику, следовательно, можно записать в виде

По формуле Эйлера . Поэтому

. (2.11)

А(w) называют амплитудной частотной характеристикой или просто амплитудой. j(w) называют фазовой частотной характеристикой или просто фазой.

Пример 2.2.

Записать комплексную частотную характеристику, частотные характеристики, амплитуду и фазу для системы, описываемой дифференциальным уравнением

.

Преобразуя по Лапласу, получаем операторное уравнение

и передаточную функцию:

.

Подстановкой p = jw превращаем передаточную функцию в комплексную частотную характеристику:

.

Действительная частотная характеристика

.

Мнимая частотная характеристика

.

.

.

Пример 2.3.

Найти комплексную частотную характеристику, амплитуду и фазу пропорционально-интегрального регулятора (ПИ-регу-лятора). Его уравнение

.

(T – постоянная времени, k – коэффициент усиления).

Продифференцируем исходное уравнение,

и преобразуем по Лапласу:

.

Из операторного уравнения составим передаточную функцию:

.

Полагая p = jw, записываем комплексную частотную характеристику

,

находим частотные характеристики:

и амплитудную частотную характеристику:

.

Фаза в функции частоты имеет выражение

.

Пример 2.4.

Найти логарифмическую амплитудную частотную характеристику ПИ-регулятора.

Воспользуемся выражением для амплитуды и запишем общий вид ЛАЧХ:

Выделим асимптотические прямые.

В области w 2 T 2 w 2 становится пренебрежимо меньше единицы. Его можно отбросить. Тогда первый член L(w) обращается в нуль вследствие lg 1 = 0. Остается

Вид графика показан на рис. 2.1.

Рис. 2.2. Асимптотическая логарифмическая

амплитудная частотная характеристика ПИ-регулятора

Источник