Что называют графиком линейного уравнения с двумя переменными

Алгебра. 9 класс

Рассмотрим уравнение 3x 2 + y = 13.

Это уравнение является уравнением с двумя переменными x и y.

При подстановке вместо переменной x числа 2, а вместо переменной y числа 1 мы получим верное равенство.

Значит, пара чисел 2 и 1 является решением данного уравнения. Эту пару чисел записывают в круглых скобках, причём на первом месте записывают значение переменной x, а на втором – значение переменной y: (2; 1).

Итак, сформулируем определение решения уравнения с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство.

Если все эти пары чисел представить как координаты точек и изобразить на координатной плоскости, то получится график данного уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Вспомним, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.

Графиком этого уравнения является окружность с центром в точке с координатами (а; b) и радиусом r.

Все пары чисел, которые будут являться решением данного уравнения, при изображении их на координатной плоскости будут принадлежать окружности с центром в точке с координатами (1; 2) и радиусом, равным 3.

Источник

Линейные уравнения с двумя переменными

Линейные уравнения с двумя переменными

Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

т. е. пара чисел (4; 1,5) не является решением уравнения.

Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их.

1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак.

2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Выразить одну переменную через другую:

1) 2х +у = 5 2) 3)

График линейного уравнения с двумя переменными

Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

1. Пример: 3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6

План 1) Выразить переменную у

у =

2) Составить таблицу значений х и у

3) Построить график

2. Частные случаи построения графика ax + by = c

у =

x =

х = 2

Графика не существует

График – вся координатная плоскость

Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ.

Определение: Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение.

Определение: Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство.

Если х=7, у=5, то , , верно,

т. е. (7; 5) – решение системы уравнений.

Определение: Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

План решения системы уравнений графическим способом

1. Выразить переменную у в первом уравнении.

2. Выразить переменную у во втором уравнении.

3. В одной системе построить графики данных функций.

4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.

Пример:

Источник

График линейного уравнения с двумя переменными

Урок 40. Алгебра 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «График линейного уравнения с двумя переменными»

· ввести понятие «график линейного уравнения с двумя переменными»;

· рассмотреть поведение графика в зависимости от значений коэффициентов перед переменными.

На прошлом уроке мы с вами познакомились с линейным уравнением с двумя переменным. Давайте, вспомним определение.

И сегодня на уроке мы будем вести речь о графике такого уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Обратите внимание, что полученная формула имеет вид линейной функции, графиком которой является прямая.

Так как прямая определяется двумя точками, то для построения графика нам достаточно указать две точки. Так:

Таким образом, получили две точки с координатами:

Теперь на координатной плоскости отметим эти точки и проведём через них линию.

Эта прямая является графиком исходного уравнения.

Все точки, принадлежащие графику, – это пары чисел, которые являются решениями нашего уравнения.

Теперь рассмотрим уравнение, в котором коэффициент при одной из переменных равен нулю.

А это постоянная функция. С предыдущих уроков нам известно, что график такой функции – это прямая, которая проходит через точку с координатами (0; 2) и параллельна оси Ox.

Все точки, принадлежащие этой прямой, – это пары чисел, которые являются решениями данного уравнения. И таких решений бесконечно много.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

А теперь давайте рассмотрим случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента при переменных равны нулю.

Давайте, рассмотрим примеры построения графиков линейных уравнений.

Итак, сегодня на уроке мы выяснили, что же представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными и научились строить такие графики.

Источник

Математика

Урок 1: Линейное уравнение с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными

92. Линейное уравнение с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными.

Составим уравнение с двумя переменными. Пусть известно, что одно число на 3 больше другого. Обозначим первое число за х, а второе за у. Тогда уравнение будет выглядеть так: х-у = 3.

Уравнения 5х+6у = 7, 3ху+4 = 0, х 2 +у 2 = 16 также являются уравнениями с двумя переменными. Первое уравнение имеет вид ax+by = c, где a, b и c – некоторые числа. Такое уравнение называется линейным уравнением с двумя переменными.

При значениях переменных х = 6, у = 3 уравнение х-у = 3 обращается в верное равенство. Говорят, что эта пара значений является решением линейного уравнения с двумя переменными. Ответ записывается в виде пары чисел, в которой на первом месте значение х, на втором – у, например (6,3). Можно найти множество значений для уравнения х-у = 3. Так, решениями уравнения будут пары (8,5); (10,7); (17,14) и другие.

Решением линейного уравнения с двумя переменными называют пару значений х и у, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Уравнения, не имеющие решений, также называются равносильными.

Обратите внимание – пары чисел, которые являются решениями уравнений, похожи на координаты точки на плоскости. Если мы действительно отметим на плоскости эти точки, то получим график.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Построим график для уравнения 4у+8х = 12. Выразим переменную у из этого уравнения.

Источник

Линейное уравнение с двумя переменными

Урок 39. Алгебра 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Линейное уравнение с двумя переменными»

· повторить что такое линейное уравнение с одной переменной и сколько решений может иметь такое уравнение;

· ввести понятия «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «равносильные уравнения».

Ранее мы с вами рассматривали линейное уравнение с одной переменной.

Сегодня на уроке мы познакомимся с линейным уравнением, но уже с двумя неизвестными.

Давайте рассмотрим ситуацию

Полученное равенство содержит две переменные. А поэтому такие равенства называют уравнениями с двумя переменными (или с двумя неизвестными).

Посмотрите на примеры уравнений с двумя переменными

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида:

То есть пара значений переменных (x = 60, y = 110) является решением этого уравнения. Отметим, что эти корни были найдены методом подбора, причём это не единственная пара чисел, удовлетворяющих нашему уравнению.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Вспомним, что при изучении уравнений с одной переменной, мы говорили о равносильных уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.

Аналогично можем сказать, что уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Причем уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также являются равносильными.

Равносильные уравнения обладают следующими свойствами:

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнения, равносильное данному;

Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Снова вернёмся к нашему уравнению

Но здесь важно знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой – на втором. Так в нашем случае сначала записано значение переменной x, а затем переменной y.

И давайте рассмотрим ещё одну задачу.

Решение уравнений в целых числах, то есть когда надо найти только целые значения переменных, подробно рассматривал древнегреческий математик Диофант.

Поэтому уравнения с несколькими переменными, которые надо решить в целых числах, называют диофантовыми уравнениями. То есть уравнение, составленное в предыдущей задаче, является диофантовым, так как для него мы отыскивали только натуральные решения.

И давайте рассмотрим примеры.

Итак, на этом уроке мы рассмотрели линейное уравнение с двумя переменными и один из способов решения таких уравнений.

Источник