Что называют длиной ломаной 5 класс математика

Ломаная линия

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего. При этом соседние (имеющие общую точку) отрезки не должны лежать на одной прямой.

Отрезки, из которых состоит ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной.

Построим ломаную из четырёх отрезков:

Замкнутая и незамкнутая ломаная

Незамкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой не совпадают друг с другом:

незамкнутая ломаная ABCD.

Замкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой совпадают друг с другом:

замкнутая ломаная ABC.

Самопересекающаяся ломаная

Замкнутые и незамкнутые ломаные линии могут быть самопересекающимися. Самопересекающаяся ломаная — это ломаная линия, звенья которой пересекают другу друга в одной или нескольких точках. Например:

точки F, T, K — точки самопересечения, то есть точки, в которых ломаная пересекает сама себя.

Длина ломаной

Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев. Длина замкнутой ломаной, не имеющий самопересечений, то есть длина многоугольника, называется периметром.

Пример 1. Найти длину ломаной из 3 звеньев.

Решение: Для нахождения длины ломаной, состоящей из трёх звеньев, надо сложить длины всех её звеньев. Длина ломаной ABCD будет равна:

AB + BC + CD = 4 см + 3 см + 2 см = 9 см.

Ответ: Длина ломаной ABCD равна 9 см.

Пример 2. Найти длину замкнутой ломаной.

Решение: Найдём периметр замкнутой ломаной, сложив длины всех её звеньев:

AB + BC + CD + DA =
3 см + 5 см + 4 см + 5 см = 17 см.

Источник

Отрезок. Ломаная линия

Отрезок представляет собой часть прямой линии, которая находится между двумя точками. Эти точки называют концы отрезка.
Иными словами, отрезок – это множество точек прямой линии, находящиеся между двух известных точек, которые называют концами отрезка.

Рис. 1 Отрезок на прямой

Рис. 2 Несколько отрезков на прямой

Отрезок делит прямую линию на три объекта (смотри рисунок 3):

То есть, два конца отрезка прямой являются соответственно началами двух лучей этой же прямой.

Рис. 3 Отрезок и лучи прямой

Рис. 4 Отрезок без прямой

Рис. 5 Отрезок и принадлежащие ему точки

Так, на рисунке 5 видно, что:

В последнем случае точка F хотя и лежит на одной прямой линии с отрезком AB (если вы мысленно продлите линию от точки B дальше, то увидите это), но не принадлежит ему, потому что находится не между его концами, а справа от отрезка.

Рис. 6 Отрезок и части отрезка

Построение и измерение отрезка

Произвольный отрезок можно построить двумя способами:

Рис. 7 Построение произвольного отрезка

Измерить отрезок можно:

Сравнить отрезки между собой можно при помощи циркуля или циркуля-измерителя. Для этого нужно сперва поставить иглу на один конец отрезка, а затем вторую иглу или грифельный стержень (если используется обычный чертежный циркуль) совместить со вторым концом отрезка (рисунок 8).

Рис. 8 Сравнение отрезков

На рисунке 8 видно, что:

Длину отрезка измеряют линейкой с делениями или другим измерительным инструментом.

Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Равные отрезки — это такие отрезки, которые имеют одинаковую длину.

На рисунке 9 измерены длины отрезков предыдущего рисунка. Проверьте, правильно ли мы сравнили эти отрезки при помощи циркуля?

Рис. 9 Измерение длины отрезка

Для этого на плоскости обозначают один конец отрезка (ставят точку), а затем при помощи линейки отмеряют необходимую длину отрезка (к примеру, 9 см), ставят точку второго конца отрезка и соединяют оба конца линией.

Рис. 10 Построение отрезка заданной длины

Отрезок — это самое короткое расстояние между двумя точками.

В этом вы можете убедиться самостоятельно на практике. Возьмите любой твердый длинный предмет, например, линейку, и шнурок. Линейка будет играть роль отрезка, а из шнурка сделайте кривую и ломаную линию, наподобие таких, какие показаны на рисунке 11, и соедините ими два конца линейки. После чего выпрямите шнурок и сравните его длину с длиной линейки.

Рис. 11 Кривая, ломаная, отрезок

Ломаная линия

Ломаная линия – это линия, которая состоит из отрезков, принадлежащих разным прямым, и эти отрезки последовательно соединены друг с другом.

Рис. 12 Ломаная линия

На рисунке 12 видно, что:

Количество звеньев у ломаной линии может быть каким угодно, бесконечным, но самое меньшее – это два звена.

Замкнутая ломаная линия – это такая ломаная, у которой совпадают точки начала и конца, то есть, которая начинается и заканчивается в одной точке.
Разомкнутая (не замкнутая) ломаная линия начинается и заканчивается в разных точках.

Рис. 12. Замкнутая и разомкнутая ломаные линии

Самопересекающаяся ломаная линия – это такая ломаная, у которой есть хотя бы два пересекающихся звена.

Самопересекающимися могут быть как замкнутые, так и разомкнутые ломаные.

Рис. 13. Самопересекающиеся ломаные линии

Источник

ВОПРОСЫ

1. Сколько существует отрезков, концами которых являются две дан­ные точки?

2. Как обозначают отрезок?

3. Какие вы знаете единицы длины?

Нам известны такие единицы длины: миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр.

4. Объясните, что означает измерить длину отрезка.

5. Каким свойством обладает длина отрезка?

6. Какие отрезки называют равными?

7. Какие длины имеют равные отрезки?

8. Какой из двух неравных отрезков считают большим?

9. Что называют расстоянием между точками А и В?

10. Объясните, какую геометрическую фигуру называют ломаной.

11. Что называют длиной ломаной?

12. Какую ломаную называют замкнутой?

РЕШАЕМ УСТНО

1. Какое число больше числа 46 на 9? Какое число меньше числа 72 на 15? Какое число больше числа 21 в 7 раз? Какое число меньше числа 65 в 13 раз?

2. Назовите все двузначные числа, сумма цифр которых равна 6.

3. Назовите все двузначные числа, разность цифр которых равна 7.

4. Назовите три последовательных натуральных числа, наименьшим из которых является наибольшее четырехзначное число.

5. Назовите три последовательных натуральных числа, наибольшим из которых является наименьшее четырехзначное число.

6. Выразите в сантиметрах:

1) 7 дм 4 см = 74 см
2) 4 м 1 см = 401 см
3) 2 м 6 дм = 260 см
4) 1 м 2 дм 5 см = 125 см

7. Выразите в дециметрах и сантиметрах:

1) 72 см = 7 дм 2 см
2) 146 см = 14 дм 6 см
3) 450 мм = 4 дм 5 см
4) 8 м 40 мм = 80 дм 4 см

УПРАЖНЕНИЯ

44. Запишите все отрезки, изображенные на рисунке 15.

a) AB, BC, AC, BK
б) OP, OR, OT, PR, PT, RT
в) AE, EC, CD, AC, ED, AD
г) MN, NE, ME, EP, PQ, EQ, MQ, NP

45. Запишите все отрезки, изображенные на рисунке 16.

а) AO, OC, AC, BO, OD, BD, AD
б) MK, KN, NP, MN, KP, MP, FK, KE, FE, EN, NS, ES

46. Отметьте в тетради точки A, B, C, D и соедините их попарно отрезками. Сколько отрезков образовлось? Сколько образовалось отрезков с концом в точке А?

47. Начертите отрезки MN и AC так, чтобы MN=6 см 3 мм, AC = 5 см 3 мм.

48. Начертите отрезки EF и BK так, что EF = 9 см 2 мм, BK = 7 см 6 мм.

49. Начертите отрезок АВ, длина которого равна 8 см 9 мм. Отметьте на нём точку С так, чтобы СВ = 3 см 4 мм. Какова длина отрез­ка АС?

50. Начертите отрезок TP, длина которого равна 7 см 8 мм. Отметьте на нём точку Е так, чтобы ТЕ = 2 см 6 мм. Какова длина отрезка ЕР?

51. Сравните на глаз отрезки АВ и CD (рис. 17). Проверьте свой вывод измерением.

52. Назовите все ломаные, изобра­жённые на рисунке 11. Какая из них имеет наибольшее коли­чество звеньев?

53. Назовите звенья ломаной, изображённой на рисунке 18, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

54. Запишите звенья ломаной, изображённой на рисунке 19, и измерь­те их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

55. Отметьте в узле клеток тетради точку А; точку В разместите на 4 клетки левее и на 5 клеток выше точки А; точку С — на 3 клет­ки правее и на 1 клетку выше точки В; точку D — на 3 клетки пра­вее и на 3 клетки ниже точки С; точку Е — на 1 клетку правее и на 2 клетки ниже точки D. Соедините последовательно отрезками точ­ки А, В, С, D и Е. Какая фигура образовалась? Запишите её назва­ние и укажите количество звеньев.

56. Вычислите длину ломаной ABCDE, если АВ = 8 см, ВС = 14 см, CD = 23 см, DE = 10 см.

57. Вычислите длину ломаной MNKPEE, если MN = 42 мм, NK = 38 мм, КР = 19 мм, РЕ = 12 мм, ЕF = 29 мм.

58. Начертите в тетради ломаную, изображённую на рисунке 20. Измерьте длины звеньев (в мил­лиметрах) и найдите длину ло­маной.

59. Известно, что отрезок SK в 3 ра­за больше отрезка RS (рис. 21). Найдите длину отрезка RK, ес­ли RS = 34 см.

60. Известно, что отрезок DВ в 5 раз меньше отрезка AD (рис. 22). Найдите длину отрезка АВ, ес­ли АD = 135 см.

61. Известно, что AC = 32 см, ВС = 9 см, CD = 12 см (рис. 23). Найдите длины отрезков АВ и BD.

62. Известно, что MF= 43 см, МЕ = 26 см, КЕ = 18 см (рис. 24). Найди­те длины отрезков МК и EF.

63. Даны две точки А и В. Сколько можно провести отрезков, соеди­няющих эти точки? Сколько можно провести ломаных, соединяю­щих эти точки?

64. Начертите отрезок МК и отметьте на нём точки А и С. Запишите все образовавшиеся отрезки.

65. Длина отрезка АВ равна 28 см. Точки М и К принадлежат этому от­резку, причём точка К лежит между точками М и В, AM =12 см, ВК = 9 см. Найдите длину отрезка МК.

66. Точка С принадлежит отрезку АВ, длина отрезка АС равна 15 см, а отрезок АВ на 5 см больше отрезка АС. Чему равна длина отрез­ка ВС? Есть ли в условии задачи лишние данные?

67. Отрезки МТ и FK равны (рис. 25). Сравните отрезки MF и ТК.

68. Постройте ломаную ACDM так, чтобы АС = 15 мм, CD = 24 мм, DM = 32 мм. Вычислите длину ло­маной.

69. Постройте ломаную CEFK так, чтобы звено СЕ было равно 8 мм, звено EF было на 14 мм больше звена СЕ, а звено FK — на 7 мм меньше звена EF. Вычислите длину ломаной.

70. Вычислите длину ломаной, изображённой на рисунке 26.

71. Известно, что АС = 8 см, BD = 6 см, ВС = 2 см (рис. 27). Найдите длину отрезка AD.

72. Известно, что MF = 30 см, ME = 18 см, KF = 22 см (рис. 28). Найди­те длину отрезка КЕ.

73. Известно, что КР = РЕ = EF = FT = 2 см (рис. 29). Какие ещё равные отрезки есть на этом рисунке? Найдите их длины.

74. На первом отрезке отметили семь точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 3 см, а на втором — десять точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 2 см. Расстояние между какими крайними точками больше: лежащими на первом отрезке или лежащими на втором отрезке?

75. Известно, что АЕ = 12 см, AQ = QB, ВМ = МС, СК = KD, DR = RE, МК = 4 см (рис. 30). Найдите длину отрезка QR.

76. Какое наименьшее количество точек надо отметить на отрезках, изображённых на рисунке 31, чтобы на каждом из них было две от­меченные точки, не считая концов отрезков?

77. У Миши есть линейка, на которой отмечены только 0 см, 5 см и 13 см (рис. 32). Как, пользуясь этой линейкой, он может постро­ить отрезок длиной: 1) 3 см; 2) 2 см; 3) 1 см?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

78. Вычислите:

79. Выполните действия:

80. Детскому саду подарили четыре ящика конфет по 5 кг в каждом и шесть ящиков печенья по 3 кг в каждом. На сколько килограм­мов больше подарили конфет, чем печенья?

81. Медведица Настасия Петровна заготовила на зиму семь бочонков мёда по 12 кг в каждом и 8 бочонков мёда по 10 кг в каждом. Сколько всего килограммов мёда заготовила Настасия Петровна?

82. В магазин привезли 240 кг бананов и 156 кг апельсинов. Треть при­везённых фруктов продали в первый день, а остальные — во второй день. Сколько килограммов фруктов продали во второй день?

83. Кот Матроскин вырастил в своём саду 246 кг яблок и 354 кг груш. Шестую часть всех фруктов он отдал своим друзьям из детского са­да, пятую часть всех фруктов — друзьям из школы, а остальное — в больницу. Сколько килограммов фруктов Матроскин отдал в больницу?

84. Укажите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого равна 101.

Источник