Что называют числовыми выражениями
Числовые и буквенные выражения
Числовые выражения
В этом разделе мы узнаем, что называют числовым выражением и значением выражения, научимся читать выражения.
Значение выражения — это результат выполненных действий.
Чтение числовых выражений
Решение числовых выражений
45 – (30 + 2) = …
Сначала выполняем действие, записанное в скобках. К 30 прибавляем 2.
30 + 2 = 32
Теперь нужно из 45 вычесть 38.
45 – 32 = 13
45 – (30 + 2) = 13
Сравнение значений числовых выражений
Сравнить числовое выражение – найти значение каждого из выражений и их сравнить.
Для этого найдем значения каждого из них:
Буквенные выражения
Буквенным называется математическое выражение, в котором используются цифры, знаки действий и буквы. Например, (47 + d) – 11.
Для записи буквенных выражений необходимо знать некоторые буквы латинского алфавита. Мы приводим его полностью, чтобы ты знал, с какими буквами можешь встретиться при составлении, решении или чтении буквенных выражений.
Чаще всего используются буквы:
a, b, c, d, x, y, k, m, n
Алгоритм решения буквенного выражения
1. Прочитать буквенное выражение
2. Записать буквенное выражение
3. Подставить значение неизвестного в выражении
4. Вычислить результат
Читаем выражение: Из 28 вычесть с или Найти разность числа 28 и с
Подставим вместо неизвестного «с» число 4.
У нас получается выражение: 28 – 4
Переменные
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Например, в выражении с + x + 2 переменными являются буквы c и x. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение с + x + 2 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.
Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных c и x. Для изменения значений используется знак равенства
Мы изменили значения переменных c и x. Переменной c присвоили значение 2, переменной x присвоили значение 3, тогда выражение с + х + 2 будет выглядеть так:
Теперь мы можем найти значение этого выражения:
с + х + 2 = 2 + 3 + 2 = 5 + 2 = 7
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Числовые и буквенные выражения. Формулы
Так же, как и у нашего языка общения есть алфавит и знаки-помощники (точка, тире, запятая и т.д.), математический язык вычисления также имеет свой алфавит:
Буквы и цифры в математике служат для обозначения чисел.
Цифрами обозначается конкретное, какое-то определённое число.
Буквами – любое или неизвестное число, в зависимости от задачи.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ – это «слова» и «фразы» математики, записи, в которых содержатся:
При этом знаки математических действий и вспомогательные знаки ОБЯЗАТЕЛЬНО связывают числа и обозначают последовательность действий над ними.
Примеры математических выражений:
ВНИМАНИЕ!
НЕ ЯВЛЯЕТСЯ математическим выражением:
Например, это НЕ математические выражения:
Случаи опускания знака умножения в выражениях
В буквенных выражениях обычно знак умножения пишут только между числами, которые выражены цифрами.
В остальных случаях знак умножения опускают, например:
Как читать математические выражения
Простейшие математические выражения, состоящие из одного математического действия, называются по названию результата этого действия:
Более сложные выражения, называют по последнему выполняемому действию:
Важно не только уметь читать готовые математические выражения, но и «переводить» слова на математический язык – язык чисел, знаков действия и других символов:
Алгоритм чтения математических выражений
Чтобы прочитать математическое выражение, нужно:
При чтении сложного выражения повторяем действия алгоритма столько раз, сколько необходимо.
Формулы
Используя математические выражения можно одну величину представить в виде другой, то есть, установить зависимость значения одной величины от значения другой величины.
Велосипедист едет со скоростью \(v_<1>\) км/ч. Найти скорость:
а) автомобиля, если известно, что он едет в 3 раза быстрее: \(v_=3\cdot v_<1>\);
б) пешехода, если известно, что он двигается на 15 км/ч медленнее: \(v_
= v_<1>-15\).
Иначе это называется выразить одну величину через другую.
Многие величины в математике имеют свои собственные обозначения. Например: S – площадь фигуры, P – периметр, t – время и т.д.
Запись такого равенства называется формулой.
ФОРМУЛА – это запись зависимости значения некоторой величины от значений одной или нескольких других величин. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.3 / 5. Количество оценок: 8
Урок 15 Бесплатно Числовые и буквенные выражения
Любые математические задачи и примеры записываются с помощью математического языка.
Математический язык- это язык, не требующий перевода, универсальный и понятный всем, имеющий четкую структуру и грамматику.
Верная математическая запись всегда точна, логична, компактна, удобна для понимания, однозначно отражает действие, операцию, понятие.
Определенная осмысленная последовательность знаков (чисел, букв), связанных между собой знаками арифметических операций, называют математическим выражением.
Математические выражения делят на числовые и буквенные.
На этом уроке вы познакомитесь с числовыми и буквенными выражениями.
Узнаете, какое выражение называют числовым, а какое буквенным.
Научитесь составлять числовые и буквенные выражения к задачам.
Выясните, как правильно записывать, читать и находить значение математических выражений.
Числовые выражения
Числовые выражения вам уже хорошо знакомы.
В начальных классах на уроках математики, решая задачи и примеры, вы составляли и записывали числовые выражения и находили значения этих выражений.
Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.
Числовым выражением можно назвать только такую запись, которая является осмысленной и составлена согласно математическим правилам.
Рассмотрим примеры числовых выражений.
Не каждую математическую запись из символов и знаков можно считать числовым выражением.
Числовое выражение всегда ориентировано на то, чтобы операции, входящие в него, могли быть выполнены.
Если числовое выражение невозможно вычислить, то оно не имеет смысла.
Существуют такие математические записи, которые на первый взгляд можно принять за числовые выражения, но вычислить их невозможно.
Число 15 необходимо разделить на результат операции в скобках, а он равен нулю.
Математические равенства и неравенства выражениями не являются, но равенства и неравенства состоят из математических выражений.
Два числовых выражения, соединенные знаком равно «=», называют числовым равенством.
Два числовых выражения, соединенные знаками больше «>» или меньше « 4 не является числовым выражением, это неравенство.
Смысл решения любой задачи, любого примера заключается в том, чтобы найти значение выражения, которое превращает его в верное равенство.
Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, называют значением числового выражения.
Следовательно, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.
У числового выражения значение только одно.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Порядок выполнения математических операций очень важен для получения верного значения числового выражения.
В математике порядок выполнения действий в выражении определяют сами арифметические операции и скобки, содержащиеся в данном выражении.
Таким образом, если в числовом выражении стоят скобки, то математическая операция, стоящая в них, выполняется в первую очередь.
Следующими выполняются последовательно слева направо операции умножения и деления, если такие присутствуют в выражении.
Последними выполняются действия сложения и вычитания так же в порядке их следования друг за другом слева направо.
Более подробно порядок выполнения арифметических операций будет рассмотрен несколькими уроками позже.
Важно уметь не только верно записывать числовые выражения, но и уметь их правильно читать.
Чтобы прочитать числовое выражение нужно определить, какая арифметическая операция является последней при вычислении значения этого выражения.
Так, например, если последнее по порядку действие было сложение, то выражение называют «суммой».
Если последним действием является вычитание, то выражение называют «разностью».
Следовательно, если последним действием является умножение, то выражение называют «произведением», если деление- «частным».
Умение составлять математические выражения и находить их значение используют при решении как простых, так и составных задач.
Рассмотрим пример решения составной задачи и выясним особенности процесса составления числовых выражений.
Известно, что любая составная задача содержит несколько простых.
Существуют различные способы оформления решения текстовых задач.
Чаще всего используют такие формы записи решения задач:
1. По действиям с пояснениями.
При решении составных задач важно выделить главное, сделать краткую запись, разделить задачу на простые, составить план решения.
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 2 кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
Запишем кратко условие задачи:
Изобразим к задаче рисунок в виде схемы.
Чтобы определить, сколько собрали клубники за два дня, необходимо знать, какое количество клубники было собрано в первый и во второй день.
Из условия задачи известно количество клубники, собранной в первый день.
Неизвестно количество клубники, собранной во второй день.
Когда будет известно сколько собрали клубники во второй день, можно узнать какое количество ягод собрали за два дня.
Задачу решаем в два действия (каждое действие поясним).
1. Выясним сколько килограммов ягод собрали во второй день.
Известно, что в первый день собрали 12 кг клубники. Так как во второй день собрали на 2 кг больше, то во второй день собрали столько же, как в первый, и еще 2 кг.
Выполним сложение чисел 12 и 2, получим выражение 12 + 2.
Найдем значение данного числового выражения:
12 + 2 = 14 (кг) клубники собрали во второй день.
2. Вторым действием определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Необходимо сложить все ягоды, который собрали в первый и во второй день, получим следующее выражение: 12 + 14.
Найдем значение данного числового выражения:
12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 26 кг.
Как нам уже известно, решение задачи можно записать не только по действиям, но и в форме выражения.
Запись решения составной задачи с помощью составления по ней итогового числового выражения позволяет увидеть ход решения в целом, и такая запись сокращает время оформления задачи.
Составим числовое выражение для решения нашей задачи.
Согласно рассуждениям, изложенным выше, имеем следующие данные:
Определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее числовое выражение:
12 + (12 + 2).
Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.
Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:
12 + (12 + 2) = 12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 26 кг.
Попробуем решить вторую задачу.
Задача 2.
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 5 кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
Скорее всего вы заметили, что первая и вторая задачи отличаются только одним числом, а именно число 2 заменено на число 5.
Остальные условия задачи остались прежние.
Все логические рассуждения во второй задаче аналогичны рассуждениям первой.
Таким образом, имеем следующие данные:
Определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее выражение:
12 + (12 + 5).
Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.
Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:
12 + (12 + 5) = 12 + 17 = 29 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 29 кг.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Буквенные выражения
Рассмотрим еще одну такую же задачу, как первая и вторая, рассмотренные выше, но число, которое менялось в первой и во второй задаче заменим на ☐ пустое окошко, в которое можно вписать любое значение.
Тогда получим следующую задачу:
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на ☐ кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
В математике принято обозначать переменное число не пустым окошком, а буквой.
Для нашей задачи вместо пустого окошка поставим латинскую букву «а».
По аналогии с уже решенными задачами математическое выражение для данной задачи будет следующее: 12 + (12 + а).
Если вместо буквы а подставлять различные числа, то каждый раз будем получать различные числовые выражения и, как следствие, различные значения.
Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.
Соответственно, буквенное выражение отличается от числового тем, что содержит букву.
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.
Для обозначения чисел буквами используют строчные буквы латинского алфавита.
Буквенные выражения должны быть составлены согласно математическим правилам и по такому же принципу, как числовые выражения.
1. Буквенные выражения используют для математических доказательств, для описания свойств, правил, законов.
Например, переместительное свойство сложения, записанное с помощью буквенных выражений, выглядит так: a + (b + c) = (a + b) + c.
Сочетательное свойство сложения, записанное с помощью буквенных выражений, выглядит так: a + b = b + а.
2. Правило, записанное в виде равенства двух буквенных выражений, называется формулой.
Формула подобно универсальной заготовке позволяет описывать различные процессы, действия, состояния и др.
Формула устанавливает взаимосвязь между величинами.
Например, формула для определения периметра треугольника, записанная с помощью буквенных выражений, выглядит так: P = a + b + c, где
P— это периметр треугольника
а, b, c— это стороны треугольника.
В данном случае буквенная запись позволяет определить периметр (Р) любого треугольника, независимо от размеров его сторон.
3. Умение составлять буквенные выражения и находить их значения при заданном значении переменной используют при решение различных задач
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Числовые и буквенные выражения. Порядок действий.
теория по математике 📈 алгебраические выражения
Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел и знаков действий, а также скобок.
Пример №1. В каждом из этих выражений содержатся числа, между которыми есть знаки действий, а также бывают скобки. Это и есть числовые выражения.
Если выполнить по порядку все действия, которые есть в числовом выражении, то получится определенное число, которое называют значением числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях определяется правилами.
Действия сложение и вычитание принято называть действиями первой ступени, а умножение и деление – действиями второй ступени. Возведение в степень – это действие третьей ступени.
Порядок действий в выражении, не содержащем скобки
890 – 567 + 2340 – 124
в данном выражении действия одной ступени (сложение и вычитание), поэтому выполняем их по порядку слева направо:
в этом выражении также действия одной ступени (умножение и деление), поэтому выполняем их по порядку слева направо:
здесь присутствуют действия всех ступеней. Поэтому начинаем выполнять их с наивысшей ступени – возведения в степень. Затем слева направо выполняем деление и умножение, а затем слева направо – сложение и вычитание:
Порядок действий в выражении, содержащем скобки
Если числовое выражение содержит скобки, то выполняют сначала действия в скобках, следуя правилу, а затем – действия за скобками.
(3245 + 67,92:2)×3 + (126×2 – 321:3) – 125
здесь числовое выражение содержит скобки, поэтому действия выполняем в скобках слева (деление, затем сложение), затем в скобках справа (умножение, деление, вычитание):
Теперь выполняем действия за скобками слева направо (умножение, сложение, вычитание):
Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения.
Выражения, содержащие не только числа и знаки действий, но и буквы, называют буквенными. Буквы также можно называть «переменная». Обращаем внимание на то, что знак «умножить» между числом и буквой не пишется.
Пример №6. Примеры буквенных выражений:
Числовое значение буквенного выражения – это значение числового выражения, полученного при подстановке конкретных значений переменной в данное выражение.
Пример №7. Найдем значение выражения с + х при с=23, х=0,17. Для этого подставим вместо с и х их данные числовые значения и получим числовое выражение 23 + 0,17. Теперь вычислим результат и получим 23,17. Таким образом, числовое значение буквенного выражения с + х равно 23,17.
Пример №8. Н айдем значение выражения 11х +(с — d) при х=10, c=178, d=121. Для этого подставляем вместо каждой переменной соответствующие числовые значения и получим числовое выражение 11×10 + (178 – 121). Выполнив действия, получим ответ 167. Это и есть числовое значение буквенного выражения.
Заметим, что и числовые и буквенные выражения можно называть еще как алгебраические выражения.
В данном случае необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:
(x + 5) 2 — x (x — 10) = x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x
Затем приведем подобные слагаемые:
x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x = 20 x + 25
Далее подставим x из условия:
20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = — 1 + 25 = 24
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На координатной прямо отмечены числа a и b:
Какое из приведенных утверждений для этих чисел неверно:
Для удобства решения необходимо оценить данные нам числа. Из координатной прямой видно, что a > 0, так как расположено справа от ноля, а b 0
Значит, утверждение неверно.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными: определения, примеры
В математике принято использовать свои обозначения. Запись условий задач с их помощью приводит к появлению так называемых математических выражений. Можно говорить про числовые, буквенные выражения и математические выражения с переменными. Для удобства и одни, и вторые и третьи называются просто выражениями. В этой статье мы дадим определения и по порядку рассмотрим каждый тип математических выражений.
Числовые выражения
Конечно, числовые выражения содержат не только знаки «плюс» и «минус». Они могут включать деление и умножение, содержать скобки, степени, корни, логарифмы и состоять из нескольких действий.
Учитывая все сказанное, дадим определение. Что такое числовое выражение?
Определение. Числовое выражение
Числовым выражением считается только та комбинация, которая составлена с учетом математических правил.
Поясним данное определение.
Во-первых, числа. Математическое выражение может содержать любые числа. Это значит, что в математическом выражении можно встретить:
деление в выражениях может присутствовать как в виде знака, так и в виде дробной черты.
Скобки в числовых выражениях
Согласно определению, числовые выражения могут содержать степени, корни, логарифмы, тригонометрические и обратные тригонометрическим функции. Приведем пример такого числового выражения:
В качестве примера использования в числовых выражениях специальных знаков, можно привести знак модуля.
Буквенные выражения
После знакомства с числовыми выражениями можно вводить понятие буквенных выражений. Интуитивно понятно, что в них вместо чисел используются буквы. Но обо всем по порядку.
Запишем числовое выражение, но вместо одного числа оставим пустой квадратик.
Определение. Буквенное выражение
Выражение, в котором буквы заменяняют некоторые цифры, называется буквенным выражением. Буквенное выражение должно содержать по крайней мере одну букву.
Приведем пример сложного буквенного выражения.
Выражения с переменными
В рассмотренных выше буквенных выражениях буква обозначала какое-то конкретное числовое значение. Величина, которая может принимать ряд различных значений, называется переменной. Выражение с такой величиной, соответственно, называются выражением с переменной.
Определение. Выражения с переменными
Вообще буквенные выражения и выражения с переменными позволяют посмотреть на задачу вне контекста конкретных чисел, то есть более широко. Они широко используются в математическом анализе для формулировок и доказательств.
Внешний вид буквенного выражения не позволяет узнать, являются входящие в него буквы переменными, или нет. Для этого нужно знать условия конкретной задачи, описываемой выражением. Вне контекста ничто не мешает считать входящие в выражение буквы переменными. Таким образом, разница между понятиями «буквенное выражение» и «выражение с переменными» нивелируется.