Что называют численным значением величины

10.04.202214.04.2022 admin 0 Comments

Понятие величины и её измерения в математике

Длина, площадь, масса, время, объём – величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием.

1) Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше» и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2) Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b – длина отрезка ВС (рис.1), то длина отрезка АС, есть сумма длин отрезков АВ и ВС;

3) Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b= x а, величину b называют произведением величины а на число x. Например, если a – длину отрезка АВ умножить на x= 2, то получим длину нового отрезка АС. (Рис.2)

4) Величины одного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например, если а – длина отрезка АС, b – длина отрезка AB, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ.

5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное число х, что а= х b. Чаще это число – называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2.(Рис №2).

6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А

Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей – другой, для масс- третий и так далее. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определённое численное значение при выбранной единице.

Вообще, если дана величина а и выбрана единица величины e, то в результате измерения величины а находят такое действительное число x, что а=x e. Это число x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать так: х=m (a).

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.

В начальной школе рассматриваются только скалярные величины, причём такие, численные значения которых положительны, то есть положительные скалярные величины.

Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над числами.

1. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то отношения между величинами a и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот.

a=b m (a)=m (b),

a>b m (a)>m (b),

Например, если массы двух тел таковы, что а=5 кг, b=3 кг, то можно утверждать, что масса а больше массы b поскольку 5>3.

2. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то, чтобы найти численное значение суммы a+b достаточно сложить

численные значения величин а и b. а+b= c m (a+b) = m (a) + m (b). Например, если а = 15 кг, b=12 кг, то а+b=15 кг + 12 кг = (15+12) кг = 27кг

Рассмотренные понятия – объект, предмет, явление, процесс, его величина, численное значение величины, единица величины – надо уметь вычленять в текстах и задачах.

Рассмотрим определения некоторых величин и их измерений.

Источник

Понятие величины и ее измерения. Свойства скалярных величин. Действия над величинами. Натуральное число как результат измерения величины.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Понятие величины и ее измерения. Свойства скалярных величин. Действия над величинами. Натуральное число как результат измерения величины.

Длина отрезка как геометрическая величина, её измерение. Методика изучения длины и формирование навыков её измерения. Ознакомление с единицами длины и их соотношением.

При изучении раздела «Величины и их измерение» углубляются, систематизируются и обобщаются знания о величинах и их измерениях, известные из курса математики.

В теме «Понятие величины и её измерения» рассматривается несколько подходов к раскрытию содержания понятия скалярной величины. Из свойств скалярной величины обращаем внимание на те, которые явно или косвенно используются в курсе математики начальной школы. Дается понятие об измерении положительных скалярных величин как отображения некоторых объектов во множество положительных действительных чисел. Решая упражнения по теме, необходимо рассмотреть решение текстовых задач, сопровождая его анализом тех действий, которые выполнялись над величинами.

1. Понятие величины и ее измерения.

Величина – это размер. Существуют звёзды – карлики и гигантские водоросли, огромные белковые молекулы и ничтожные пылинки. Как всё это сопоставить друг с другом, что больше чего и во сколько раз?

Величина – одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

Начиная с дошкольного возраста, у детей формируются интуитивные представления о некоторых величинах и их измерении.

Учитель начальных классов должен не только продолжать эту работу на более высоком уровне, но и знакомить учащихся со свойствами, общими для всех величин.

Термин « величина» впервые появился в философской литературе и был связан с действительными числами.

Исторически числа возникли в процессе счёта предметов и измерения величин. Именно на это обстоятельство указывал Аристотель, когда писал: «То или иное количество есть множество, если его можно счесть; есть величина, если его можно измерить».

Мы знаем величины: дл, масса, емкость…

Тройки взаимосвязанных величин? (ск, вр, рас; цена, количество, стоимость)

Величина – неопределяемое понятие.

Под величиной понимают особые свойства реальных объектов или явлений.

«Величина» и «число» являются ведущими понятиями математики, физики, химии… поэтому формируются с 1 кл на примере длины.

Длина – это свойство предметов иметь протяжённость.

Масса – с математической точки зрения это такая положительная величина, которая обладает свойствами:

масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;

масса складывается, если тела соединяются вместе.

Длина и масса – разнородные величины, так как выражают разные свойства объектов.

Ещё различают величины (в геометрии векторная, скалярная; положительная, отрицательная; переменная, постоянная).

Например, при нагревании длина металлического стержня меняется (увеличивается).

Скалярные величины – величины, не имеющие направления или которые определяются одним численным значением.

В старших классах знания о величинах расширяются: изучают новые единицы ранее изученных величин, а также новые величины: сила, работа, мощность, сопротивление, ускорение, напряжённость…

Рассмотрим свойства однородных скалярных величин.

2. Свойства скалярных величин.

Любые две однородные величины сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой.

Т.е. для любых величин a и b справедливо одно и только одно из отношений:

Например, длина гипотенузы больше длины катета; масса яблока меньше массы арбуза, длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода,

Т.е. для любых величин a и b однозначно определяется величина

Например: пусть а- длина отрезка АВ, в – длина отр. ВС. Тогда длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС.

3. Действия над величинами.

В процессе решения практических задач у учащихся должно сложиться представление о величине как о свойстве предметов, которое позволяет их сравнивать, выполнять действия над ними.

Изучение величин связано с такими разделами курса, как «Нумерация» и «Арифметические действия». Методика изучения каждой величины имеет свои особенности, связанные со спецификой данной величины, но общий подход к величине как к свойству предметов и явлений позволяет говорить об общей методике изучения величин, которая включает следующие этапы:

I этап. Выявление представлений ребенка о данной величине. Введение понятия и соответствующего термина.

II этап. Сравнение однородных величин разными способами (визуально, ощущением, наложением, приложением, с помощью различных мерок).

III этап. Знакомство с единицей измерения величины и с измерительным прибором.

IV этап. Знакомство с новыми единицами измерения величин, с соотношениями между ними. Перевод мелких единиц измерения в более крупные и наоборот.

V этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах различных наименований.

VI этап. Умножение и деление величины на число. Деление именованного числа на именованное.

Длина отрезка как геометрическая величина, её измерение.

Действия над отрезками, их свойства.

Понятие длины отрезка и ее измерения. Свойства числовых значений длины. Стандартные единицы длины, сведения об их происхождении.

Изучение темы «Длина отрезка и её измерение» дает теоретическое обоснование вопросов, связанных с изучением длины отрезка и ее измерения в начальной курсе математики. Здесь сравнивается процесс измерения длины отрезка на практике и в математике, рассматриваются основные свойства длин отрезков и история происхождения стандартных единиц длины.

Методика изучения длины и формирование навыков её измерения.

-Какую же мерку надо выбрать для измерения длин? Об этом надо договориться.

-Кто знает, как договорились люди? (Учащиеся могут назвать м, дм, см).

1) Величина – это то, что может быть измерено и результат измерения выражен числом. Длина является величиной.

2) Чтобы измерить величину, надо выбрать мерку и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой величине.

3) Если изменяется мерка, то изменяется и значение величины. Поэтому сравнивать величины можно только тогда, когда они измерены одной и той же меркой.

4) Сейчас используются единые для всех стран единицы измерения длины. Одной из них является сантиметр.

Ознакомление с единицами длины и их соотношением.

В четвертом классе систематизируются знания учащихся о единицах измерения длины и соотношениях между ними, составляется таблица мер длины,

Источник

Понятие величины и ее измерения. Основные свойства скалярных величин.

Величины – это особые свойства реальных объектов или явлений. Например, свойство иметь протяженность называется длиной.

Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить величину А — это значит найти такое положительное действительное число х, что А = х ∙ Е.

Число х называется численным значением величины А при единице величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А больше (или меньше) величины Е, принятой за единицу измерения.

Если А = х∙Е, то число х называют также мерой величины А при единице Е и пишут х = т _e (А).

В практической деятельности при измерении величин люди пользуются стандартными единицами величин: так, длину измеряют в метрах, сантиметрах и т.д. Результат измерения записывают в таком виде: 2,7 мм; 13 см; 16 м. Исходя из понятия измерения эти записи можно рассматривать как произведение числа и единицы величины.

Например, 2,7 кг = 2,7∙кг; 13 см = 13∙см; 16 с = 16∙с.

Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной.

Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

1. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то отношения между величинами А и В будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот:

Например, если массы двух тел таковы, что А=5кг, В = 3кг, то можно утверждать, что А> В, поскольку 5 > 3.

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то для нахождения численного значения суммы А + В достаточно сложить численные значения величин А и В:

Например, если А = 5 кг, В = 3 кг, то А + В = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг =

3. Если величины А и В таковы, что В = х∙А, где х – положительное действительное число, и величина А измерена при помощи единицы величины Е, то, чтобы найти численное значение величины В при единицы Е, достаточно число х умножить на число т(А):

Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А = 2 кг, то

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 374 ; Нарушение авторских прав

Источник

Презентация по математике для начальных классов «Величины и их измерение»

Описание разработки

Приведите примеры различных величин, изучаемых в школе на уроках математики, физики. Вспомните единицы этих величин.

Разнородные величины выражают различные свойства объектов (один предмет может иметь массу, объем и др.).

Свойства однородных величин.

1. Однородные величины можно сравнивать. Для любых величин А и В справедливо только одно из отношений: А В, А=В.

Например, масса книги больше массы карандаша, а длина карандаша меньше длины стола.

2. Однородные величины можно складывать и вычитать. В результате получается величина того же рода. Величины, которые можно складывать, называются аддитивными.

Например, можно складывать длины предметов. В результате получается длина.

5. Величину можно оценить количественно, то есть измерить.

Измерение величин.

Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу.

Содержимое разработки

Величины и их измерение

Задание: Приведите примеры различных величин, изучаемых в школе на уроках математики, физики. Вспомните единицы этих величин.

Измерение величин Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Цель измерения — получить численную характеристику данной величины при выбранной единице величины. Измерить величину А — это значит найти такое положительное действительное число х, что А=х*Е, где Е — величина того же рода, принятая за единицу. Число х называют численным значением величины А при единице величины Е. Численное значение величины показывает, во сколько раз заданная величина больше или меньше величины, принятой за единицу. Пример. 1) Если масса дыни 3 кг, то 3 — численное значение массы дыни при единице массы килограмм.

B – mn A3 » width=»640″

Значение измерения очень велико. Не всегда можно сравнить или сложить (вычесть) величины непосредственно (например, длину дорог). Измерение позволяет свести сравнение величин к сравнению чисел, а действия с величинами – к действиям над числами, что значительно проще. Взаимосвязь величин и их численных значений Если величины А и В измерены с помощью единицы величины Е, то отношения между величинами А к В будут такими же, как и отношения между их численными значениями (и наоборот):Пусть А=m*Е, В=n*Е, тогда: А=B – m=n AB – mn A3

Площадь фигуры Площадь — положительная величина, определенная на множестве плоских фигур так, что: равные фигуры имеют равные площади; если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей. Некоторые свойства площадей : 1. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей (при одной и той же единице площади). Обратное – неверно. 2. Численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей ее составляющих частей (при одной и той же единице площади) 3. При замене единицы площади численное значение площади увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица меньше (больше) старой.

Промежутки времени Окружающий нас мир существует во времени. Временные характеристики явлений (продолжительность, последовательность, частота, ритм, темп и др.) необходимы для описания любых процессов в природе. Понятие времени более сложное, чем понятие длины, площади, массы. Оно не имеет наглядности и познается опосредованно. Вся жизнь человека связана со временем, с умением измерять, распределять, ценить время. Время течет непрерывно, его нельзя ни остановить, ни возвратить, ни увидеть, что создает особые трудности в изучении. Некоторые свойства промежутков времени 1. Промежутки времени можно сравнивать, («Красная Шапочка затратила больше времени на дорогу до бабушки, чем Серый Волк».) 2. Промежутки времени можно складывать и вычитать. («Маша один час вырезала фигуры и один час их наклеивала. Сколько всего времени она затратила на работу?») 3. Промежутки времени можно умножать на число. («7 суток — это неделя. Сколько суток в трех неделях?») 4. Промежутки времени можно измерять. В качестве единицы времени выбирается регулярно повторяющийся процесс. Такие единицы времени, как год, сутки, были выбраны на основе природных явлений: смены дня и ночи, смены времен года, а час, минута, секунда придуманы человеком.

Источник