Что называется высотой параллелограмма
Параллелограмм
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если у параллелограмма все углы прямые, то такой параллелограмм называется прямоугольником, а прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.
Все параллелограммы обладают следующими свойствами:
Точка O — это центр симметрии.
Высота
Нижняя сторона параллелограмма называется его основанием, а перпендикуляр, опущенный на основание из любой точки противоположной стороны, — высотой.
AD — это основание параллелограмма, h — высота.
Высота выражает расстояние между противоположными сторонами, поэтому определение высоты можно сформулировать ещё так: высота параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную ей сторону.
Площадь
Для измерения площади параллелограмма можно представить его в виде прямоугольника. Рассмотрим параллелограмм ABCD:
Построенные высоты BE и CF образуют прямоугольник EBCF и два треугольника: ΔABE и ΔDCF. Параллелограмм ABCD состоит из четырёхугольника EBCD и треугольника ABE, прямоугольник EBCF состоит из того же четырёхугольника и треугольника DCF. Треугольники ABE и DCF равны (по четвёртому признаку равенства прямоугольных треугольников), значит и площади прямоугольника с параллелограммом равны, так как они составлены из равных частей.
Итак, параллелограмм можно представить в виде прямоугольника, имеющего такое же основание и высоту. А так как для нахождения площади прямоугольника перемножаются длины основания и высоты, значит и для нахождения площади параллелограмма нужно поступить также:
Из данного примера можно сделать вывод, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Общая формула площади параллелограмма:
где S — это площадь параллелограмма, a — основание, h — высота.
Высота параллелограмма
Что такое высота параллелограмма? Сколько у параллелограмма высот?
Что такое основание параллелограмма?
Высота параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны параллелограмма на прямую, содержащую противоположную сторону.
Высотой параллелограмма также называют длину этого перпендикуляра. Расстояние между противоположными сторонами параллелограмма равно высоте параллелограмма.
BK, PF, DE — высоты параллелограмма.
BK, PF, DE — меньшие высоты параллелограмма.
Меньшая высота параллелограмма — это высота, проведенная к его большей стороне.
BM, DL — высоты параллелограмма.
BM, DL — большие высоты параллелограмма.
Большая высота высота параллелограмма — это высота, проведенная к ее меньшей стороне.
На рисунке 3 BK и BM — высоты параллелограмма ABCD, проведенные из вершины тупого угла B.
Из них BM — большая высота параллелограмма ABCD, BK — его меньшая высота.
На рисунке 4 CN и CH — высоты, проведенные из вершины острого угла C параллелограмма ABCD.
Из них CN — меньшая высота, CH- большая высота параллелограмма.
Иногда одну из сторон называют основанием параллелограмма.
Например, на рисунке 3 AD — основание параллелограмма, BK — проведенная к нему высота.
CD тоже можно считать основанием параллелограмма. BM — проведенная к нему высота.
Но чаще об основании говорят, когда хотят подчеркнуть, что эта сторона — нижняя горизонтальная (для понимания того, как лучше выполнить рисунок).
Параллелограммы
 Свойства и признаки параллелограмма |
| Свойства и признаки прямоугольника |
| Свойства и признаки ромба |
| Свойства и признаки квадрата |
Свойства и признаки параллелограмма
Определение: Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны
Определение: Диагональю параллелограмма называют отрезок, соединяющий противоположные вершины
Определение: Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки на стороне параллелограмма на противоположную сторону параллелограмма или ее продолжение
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны.
Признак: Если у четырёхугольника противолежащие стороны равны, то он является параллелограммом.
Признак: Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом.
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Признак: Если у четырёхугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие углы равны.
Признак: Если у четырёхугольника противолежащие углы равны, то четырёхугольник является параллелограммом.
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то каждая диагональ делит его на два равных треугольника.
Признак: Если каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника, то четырёхугольник является параллелограммом.
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то диагонали делит его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника)
Признак: Если диагонали четырёхугольника делят его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника), то четырёхугольник является параллелограммом.
Свойства и признаки прямоугольника
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Прямоугольник |  | Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые |
| Свойство | Равенство диагоналей |  | Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны |
| Признак | Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником |
| Определение: прямоугольник | |
| Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые |
| Свойство: равенство диагоналей | |
| Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны |
| Признак: равенство диагоналей | |
| Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником |
Определение: Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойство: Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны.
Признак: Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
Свойства и признаки ромба
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Ромб |  | Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны |
| Свойство | Биссектрисы углов диагонали |  | Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали является биссектрисами углов |
| Признак | Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом | ||
| Свойство | Перпендикулярность диагоналей |  | Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны |
| Признак | Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом |
| Определение: ромб | |
| Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны |
| Свойство: биссектрисы углов и диагонали | |
| Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали являются биссектрисами углов |
| Признак: биссектрисы углов и диагонали | |
| Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом |
| Свойство: перпендикулярность диагоналей | |
| Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны |
| Признак: перпендикулярность диагоналей | |
| Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом |
Определение: Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны
Признак: Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом
Свойство: Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны
Признак: Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом
Свойства и признаки квадрата
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Квадрат |  | Квадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны |
| Свойство | Перпендикулярность и равенство диагоналей |  | Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны |
| Признак | Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом | ||
| Свойство | Перпендикулярность диагоналей | Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны | |
| Признак | Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом | ||
| Свойство | Равенство диагоналей |  | Если ромб является квадратом, то его диагонали равны |
| Признак | Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом |
| Определение: квадрат | |
| Квадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны |
| Свойство: перпендикулярность и равенство диагоналей | |
| Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны |
| Признак: перпендикулярность и равенство диагоналей | |
| Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом |
| Свойство: перпендикулярность диагоналей | |
| Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны |
| Признак: перпендикулярность диагоналей | |
| Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом |
| Свойство: равенство диагоналей | |
| Если ромб является квадратом, то его диагонали равны |
| Признак: равенство диагоналей | |
| Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом |
Определение: Квадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны
Свойство: Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны
Признак: Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом
Свойство: Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны
Признак: Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом
Свойство: Если ромб является квадратом, то его диагонали равны
Признак: Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом
Что называется высотой параллелограмма
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. AB ∥ CD, BC ∥ AD.
Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведенный из любой точки одной стороны на противолежащую сторону (расстояние между противолежащими сторонами).
Свойства параллелограмма:
1. Противолежащие стороны равны.
2. Противолежащие стороны параллельны.
3. Противолежащие углы равны.
4. Сумма соседних углов равна 180.
5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
6. Диагональ делит пaрaллелограмм на два равных треугольника.
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его четырех сторон.
8. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.
Признаки параллелограмма:
— две противолежащие стороны равны и параллельны,
— противолежащие стороны попарно равны,
— диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
— каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника.
Это конспект по геометрии в 8 классе «Свойства и признаки параллелограмма». Выберите дальнейшее действие:
Висота паралелограма дорівнює співвідношенню площі до підстави (Формула 1)
Висота паралелограма дорівнює твору бічної сторони на синус кута при його основі (Формула 2)
Співвідношення підстав паралелограма дорівнює обернено пропорційному співвідношенню висот, опущених на відповідні сторони (Формула 3)
Висоти паралелограма, опущені з однієї вершини, утворюють кут, рівний куту паралелограма при сусідній вершині (Малюнок 2)
Висота паралелограма рівна, корню з різниці квадрата бічної сторони і квадрата довжини відрізка, створюючого прямокутний трикутник, іншими сторонами якого є бічна сторона і висота (Формула 4)
Висота паралелограма дорівнює корню з різниці квадрата діагоналі, з якої опущена висота і квадрата довжини відрізка між точкою, з якої проведена діагональ і точкою пересічення висоти і основання (Формула 5)
Задача
| Висота паралелограма проведена з вершини тупого кута і дорівнює 5 см. Висота ділить сторону парелелограма навпіл. Гострий кут паралелограма доривнюе 30 градусів. Знайдіть діагональ паралелограма, проведену з вершини тупого кута, и кути, яки вона утворює зі сторонами паралелограма. | Высота параллелограмма проведена из вершины тупого угла и равняется 5 см. Высота делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол равняется 30 градусам. Найдите диагональ параллелограмма, проведенную из вершины тупого угла и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма. |
Найдем длину диагонали.
BE / BD = cos ∠EBD
BE / BD = cos 60
Подставим значение косинуса 60 градусов и получим:
BE / BD = 1/2
По условию задачи BE = 5 см, откуда
5 / BD = 1/2
BD = 10
Ответ: длина диагонали параллелограмма равна 10 см, углы, которые образует диагональ с основаниями равны 30 и 120 градусов.