Что называется вектором выходного состояния объекта управления

Что называется вектором выходного состояния объекта управления

Тема: «Принципы детерминированного синтеза систем управления»

Понятие “синтез” означает нахождение такой структуры и параметров системы управления, при которых выходные переменные объекта управления (ОУ) отвечают задан-ным требованиям или критериям качества. Решение проблем автоматизации процедуры син-теза систем управления (СУ) сопряжено с построением универсальных алгоритмов, обеспе-чивающих поиск оптимальных структуры и параметров СУ, не зависимо от сложности ОУ.

Очевидно, что универсальность алгоритмов и их инвариантность к сложности ОУ может быть достигнута только при использовании высокоформализованных упрощенных математических моделей ОУ, которыми являются векторно-матричные модели.

Если синтез осуществляется в пространстве состояний, то при известном состоянии x(t1) в момент времени t1 должна существовать возможность нахождения такого управления, которое будет удовлетворять требованиям, налагаемым на выход объекта. Эти требования формируются с помощью критериев качества управления, которые рассмотрены в предыду-щем разделе.

В большинстве практических задачах синтеза СУ возникает противоречивая ситуа-ция: объект управления обладает нелинейными свойствами, устройства управления предпо-лагается реализовать с помощью средств цифровой (микропроцессорной) техники, а наибо-лее простыми, доступными и эффективными являются алгоритмы и программы синтеза СУ с помощью линейных непрерывных моделей.

В том случае, когда ВММ удовлетворяет требованиям адекватности описания нели-нейного ОУ и требованиям представления дискретного управляющего устройства примене-ние указанных алгоритмов вполне оправдано и наиболее рационально. Однако и при невы-полнении этих требований выполнение процедуры синтеза СУ целесообразно начать с ис-пользования ВММ с последующим их усложнением до требуемого вида. Таким образом, не-смотря на техническую сложность современных ЭМС, нелинейные свойства ОУ и дискрет-ный характер управления, алгоритмы синтеза и анализа СУ, основанные на матричных опе-рациях с векторно-матричными моделями, не потеряли свою актуальность.

Этап функционального проектирования систем управления предусматривает выпол-нение следующих проектных операций:

Синтез системы управления с регулятором состояния

В линейном случае мы всегда выражаем вектор входа через линейную комбинацию компонент вектора состояния, т.е. в непрерывном времени с помощью уравнения

а в дискретном случае с помощью уравнения

Следует отметить, что уравнения (8.1), (8.2) имеют вид уравнений выхода векторно-матричной модели в пространстве состояний и, таким образом, управляющее устройство, определяемое уравнениями (8.1), (8.2), является статическим. Требуемый астатизм обес-печивается дополнительным включением в СУ элементов, обладающих интегрирующими свойствами.

Для решения задачи синтеза в такой постановке, необходимо измерение всех компо-нент вектора состояния объекта x(t). Если состояние объекта неизмеряемо, его надо оценить. В детерминированных системах это осуществляется с помощью наблюдателя. Сначала оце-нивается вектор состояния (t), а затем рассчитывается вектор входа объекта

Одним из фундаментальных методов проектирования детерминированных систем управления в пространстве состояний является метод расположения полюсов.

Как было отмечено в разделе. 3, в линейных системах качество управления и динами-ческие показатели системы можно задать с помощью корней характеристического уравнения или полинома замкнутой системы.

Общая постановка задачи. Для стационарного непрерывного управляемого объекта, уравнение динамики которого имеет вид

и управляющего устройства, описываемого уравнением

необходимо определить матрицу К, такую, чтобы замкнутая система, получаемая подстанов-кой (8.5) в (8.4),

имела желаемый характеристический полином

Общая схема системы управления будет иметь вид, представленный в среде компью-терного комплекса FuncPro 1.0 на рис 8.1.

Рис. 8.1. Схема системы управления с регулятором состояния

Методические аспекты выбора желаемого полинома (8.7) подробно изложены в лек-ции 6.. Здесь же рассмотрим ряд алгоритмов вычисления матрицы коэффициентов обратных связей К.

Алгоритм 1. Рассмотрим управляемый объект с одним входом и одним выходом. Подстановкой

преобразуем его к канонической форме управляемости

Для линейных стационарных систем характер свободного движения не изменится, ес-ли выбрать вместо (8.5) регулятор вида

, где .

Подставляя (8.10) в (8.9), получим

В этом случае характеристический полином имеет вид

Сопоставляя полиномы (8.12) и (8.7), получаем соотношения для вычисления коэф-фициентов матрицы регулятора kRT:

Связь между управляющей переменной u и вектором состояния х определяется со-гласно выражению (8.10):

Из этого следует, что для вычисления коэффициентов обратных связей нужно опреде-лить еще и матрицу преобразования

Таким образом, алгоритм 1 синтеза регулятора состояния может быть сформулирован следующим образом:

3. На основании выражения (8.13) вычисляются коэффициенты матрицы .

4. По формуле (8.15) определяется матрица реальных коэффициентов обратных связей К по полному вектору состояния.

Алгоритм 2. Общность постановки задачи не нарушится, если считать, что оптималь-ные динамические характеристики проектируемой системы задаются в виде эталонной моде-ли

имеющей тот же порядок, что и модель объекта (8.4).

Тогда коэффициенты регулятора состояния однозначно определятся путем решения уравнения

Процесс синтеза сводится к двум задачам:

1) определение эталонной модели (8.16);

2) решение уравнения (8.17).

Наиболее просто желаемое качество управления можно задать с помощью эталонной модели, представленной в канонической форме управляемости

Для согласования объекта и эталонной модели введем линейное преобразование

После преобразования (8.9) система “объект + регулятор” (8.6) относительно нового базиса имеет вид

Из условия равенства собственных движений синтезируемой системы и эталонной модели следует, что .

Откуда получается выражение для вычисления значений матрицы обратных связей К регулятора состояния:

Таким образом, для синтеза регулятора состояния в этом случае необходимо:

Алгоритм 3. Если матрица входов В ВММ объекта управления имеет больше одного ненулевого элемента, то применение алгоритма 2 вызывает определенные затруднения. Для их устранения используем следующую методику.

Представим эталонную матрицу как сумму двух матриц:

Подставляя (8.21) в (8.20):

получим

Так как то согласно (8.21) элементы матрицы Кk можно опреде-лить из уравнения

Итак, алгоритм 3 формируется как последовательность следующих операций:

1. Вычисление матриц преобразования ОУ к канонической форме управляемости Q и Q-1.

2. Решение уравнения (8.23) относительно Кk.

3. Вычисление реальных коэффициентов обратных связей (матрицы К) по формуле (8.22).

Сравнительно высокая сложность приведенных выше алгоритмов делает практически неосуществимыми проектные операции синтеза регулятора состояния без ЭВМ.

Компьютерная реализация представленных выше алгоритмов синтеза регулятора со-стояния при построенной ВММ ОУ затруднений не вызывает, так как все вычисления по-строены на основе типовых операций обработки матриц и матричной алгебры.

Эффективность проектных решений, полученных в результате вычислительных экс-периментов, выполняемых с помощью компьютерных средств реализации указанных алго-ритмов, может быть повышена за счет включения пользователя в заключительный этап уточнения параметров регулятора состояния (РС).

В практических ситуациях часто нет необходимости использовать в дальнейших опе-рациях точные значения расчетных параметров РС. Это объясняется возможными погрешно-стями и трудностями реализации. Поэтому вполне оправдано уже на начальных стадиях про-ектирования «поиграть» параметрами РС и дополнительных устройств, а в отдельных случа-ях даже сократить число обратных связей СУ.

Пример 8.1. Для упругого электромеханического объекта, который подробно пред-ставлен в лекции 1, синтезируем регулятор состояния.

Таблица 8.1. Параметры электромеханического объекта

Векторно-матричная модель объекта с учетом численных значений параметров пре-образователя, электродвигателя и механизма, приведенных в табл. 8.1., принимает следую-щий вид:

Желаемые динамические показатели управления были определены с помощью инст-рументальных средств формирования критерия качества путем некоторой модификации стандартного распределения Баттерворта для среднегеометрического корня . В ре-зультате был выбран желаемый характеристический полином

которому соответствует эталонная модель, представленная в канонической форме

Вычислительные эксперименты, выполненные с помощью компьютерного комплекса функционального проектирования СУ, позволили получить расчетные параметры регулятора состояния в виде значений коэффициентов обратных связей по вектору состояния, которые приведены во второй строке табл. 8.2.

Таблица 8.2. Параметры регулятора состояния

Анализ полученных результатов показывает, что для обеспечения заданного качества динамических характеристик СУ электромеханическим объектом необходимо введение сла-бой положительной обратной связи по току электродвигателя, что нежелательно. В этой свя-зи было принято решение в дальнейшем отказаться от реализации обратной связи по току, а значения других коэффициентов округлить в допустимых пределах. Выбранные значения параметров дальнейшей реализации регулятора состояния приведены в третьей строке табл. 8.2.

Обоснованность принятого решения доказывают приведенные на рис. 8.2 предвари-тельные результаты вычислительных экспериментов с моделями синтезированных систем управления. Суммарное среднеквадратичное отклонения выходной координаты не превыша-ет здесь 1.5%.

— расчетные параметры регулятора состояния

— параметры реализации

Рис. 8.2. Сравнительные динамические характеристики СУ

Контрольные вопросы к лекции № 8.

1. Для объекта, описанного ВММ, матрицы которой имеют размеры А(7×7), В(7×1), С(1×7), синтезирован регулятор состояния при допущении, что все переменные со-стояния измеряемы. Каков будет размер матрицы состояния системы «объект – регу-лятор»?

2. Какие операции должны быть обязательно выполнены при реализации любого из ал-горитмов синтеза регулятора состояния?

3. Каковы будут значения параметров регулятора состояния, синтезированного для объ-екта? Векторно-матричная модель объекта и эталонная модель системы управления приведены ниже.

1. ВММ объекта управления

2. Эталонная модель СУ

4. Каковы будут значения параметров регулятора состояния, синтезированного для объ-екта? Векторно-матричная модель объекта и эталонная модель системы управления приведены ниже.

Источник

Что называется вектором выходного состояния объекта управления

Тема:«Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени»

Понятие пространства состояний

Современная теория автоматического управления оперирует с векторно-матричными моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т.е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи, с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры. Для получения векторно-матричной модели (ВММ) исследуемая динамическая система представляется в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и выходных каналов (рис. 1.1, а).

Рис.1.1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде «черного ящика»

Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы.

1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Они характеризуются вектором входа.

2. Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия. Представляются вектором выхода

Решение задач анализа и синтеза связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний,.

Векторно-матричные модели в непрерывном времени

В общем случае динамическая система в непрерывном может быть описана парой матричных уравнений:

Матричное уравнение (1.1) называют уравнением состояния системы. Его решение, удовлетворяющее начальному условию , дает вектор состояния системы

Матричное уравнение (1.2), определяющее выходные переменные в зависимости от x(t) и u(t), называют уравнением выхода.

В частном случае зависимости могут быть линейными комбинациями переменных состояния x_i и входных переменных u_q. При этом динамическая система описывается в векторно-матричной форме:

Переход к стационарным моделям позволяет оперировать с коэффициентными матрицами, т.е. со стационарными уравнениями

Очень часто D=0, т.е. выход непосредственно не зависит от входа.

В дальнейшем под векторно-матричной моделью объекта (системы) будем понимать описание ее динамического поведения в классе стационарных непрерывных линейных систем, представленное в виде уравнений (1.6), (1.7).

Таким образом, ВММ имеет единую форму представления, что значительно облегчает алгоритмизацию и компьютерную реализацию проектных процедур и проектных операций структурно-параметрического синтеза и анализа систем управления. Однако с использованием ВММ может быть получено лишь приближенное проектное решение, которое потребует дальнейшего уточнения, так как такие модели отображают динамическое поведение реального объекта лишь в классе стационарных линейных систем.

Если мы знаем физическое описание системы и можем записать уравнения, описывающие поведения ее отдельных частей, то получить уравнения состояния системы обычно сравнительно не трудно. Покажем эту процедуру на нескольких примерах.

Пример 1.1. Получим уравнения состояния для простейшей RLC-цепи, показанной на рис 1.2.

Динамическое поведение этой системы при полностью определяется, если известны начальные значения и входное напряжение U(t) при . Следовательно, можно выбрать в качестве переменных состояния, то есть

Для указанных переменных состояния можно записать дифференциальные уравнения

или в векторно-матричной форме

Таким образом для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

Пример 1.2. На рис. 1.3. показан электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения, работающий при постоянном магнитном потоке (Ф=const).

Дифференциальные уравнения для такого объекта могут быть записаны относительно следующих переменных состояния: — скорости вращения ротора, тока якоря i(t), углового перемещения ротора . При использовании знакомых зависимостей для электродвижущей силы и вращающего момента двигателя получим уравнение электрической цепи

и уравнения вращающейся части

где J – приведенный момент инерции электродвигателя.

Представляя векторы состояния, входа и выхода как получим следующую векторно-матричную модель электродвигателя постоянного тока

То есть для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

Здесь легко выделить три функциональных элемента, соответствующие трем видам преобразования энергии:

преобразователь, осуществляющий управляемое преобразование электрической энергии;

При использовании общеизвестных допущений [5] и обозначений координат и параметров такого объекта его динамическое поведение при МС=0 описывается следующей системой линейных дифференциальных уравнений:

принимают следующий вид:

После подстановки реальных значений параметров объекта, которые приведены в табл. 1.1, компоненты матриц состояния А и управления В принимают вид (1.13).

На рис. 1.5. приведено окно редактирования векторно-матричной модели (1.13) в среде Компьютерного комплекса функционального проектирования динамических систем.

Контрольные вопросы к лекции № 1.

1. Какие переменные при построении математического описания системы принято называть

a) входными переменными;

b) выходными переменными;

c) переменными состояния?

2. Математическое описание объекта с одним входом и одним выходом представлено структурной схемой, содержащей q элементов, представленных передаточной функцией общего вида

Как в этом случае можно определить размерность пространства состояния для описания этого объекта?

3. Математическое описание объекта с двумя входами и одним выходом y(t) представлено следующим уравнением в операторной форме

Какова в этом случае будет размерность пространства состояния n для описания этого объекта?

4. Выберите из приведенных ниже записей возможные формы представления уравнения состояния для непрерывных систем.

6. Сформируйте векторно-матричную модель фильтра, электрическая схема которого представлена на рис. 1.6.

Здесь следует учесть, что

7.При составлении математического описания динамических процессов в упругом электромеханическом объекте, влючающем в себя электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения (Ф=const) и механизм, модель которого представляется двухмассовой системой (см. пример 1.3), могут быть использованы следующие переменные:

Какие из этих переменных, и в какой последовательности включены в состав вектора состояния приведенной ниже векторно-матричной модели?

ОТВЕТЫ

a) переменные, характеризующие реакцию системы на входные воздействия;

b) переменные, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе;

c) промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы.

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →