Что называется системой материальных точек или механической системой

Механическая система. Силы внешние и внутренние

Изучение данных вопросов необходимо для динамики колебательного движения механических систем, теории удара, для решения задач в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Детали машин».

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.

Материальное абсолютно твердое тело мы также будем рассматривать как систему материальных точек, образующих это тело и связанных между собой так, что расстояния между ними не изменяются, все время остаются постоянными.

Классическим примером механической системы является солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения. Другим примером механической системы может служить любая машина или механизм, в которых все тела связаны шарнирами, стержнями, тросами, ремнями и т.п. (т.е. различными геометрическими связями). В этом случае на тела системы действуют силы взаимного давления или натяжения, передаваемые через связи.

Совокупность тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия (например, группа летящих в воздухе самолетов), механическую систему не образует.

В соответствии со сказанным, силы, действующие на точки или тела системы, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы.

Как внешние, так и внутренние силы могут быть в свою очередь или активными, или реакциями связей.

Реакции связей или просто – реакции, это силы которые ограничивают движение точек системы (их координаты, скорость и др.). В статике это были силы заменяющие связи. В динамике для них вводится более общее определение.

Активными или задаваемыми силами называются все остальные силы, все кроме реакций.

Необходимость этой классификации сил выяснится в следующих главах.

Разделение сил на внешние и внутренние является условным и зависит от того, движение какой системы тел мы рассматриваем. Например, если рассматривать движение всей солнечной системы в целом, то сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; при изучении же движения Земли по её орбите вокруг Солнца та же сила будет рассматриваться как внешняя.

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю. В самом деле, по третьему закону динамики любые две точки системы (рис.31) действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами и , сумма которых равна нулю. Так как аналогичный результат имеет место для любой пары точек системы, то

Источник

Механическая система

История…

Фундаментальные понятия
Пространство · Время · Масса · Сила Энергия · Импульс

Формулировки
Ньютоновская механика Лагранжева механика Гамильтонова механика

Разделы
Прикладная механика Небесная механика Механика сплошных сред Геометрическая оптика Статистическая механика

Учёные
Галилей · Кеплер · Ньютон Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамильтон · Коши

Класси́ческая меха́ника — вид механики (раздела физики, изучающей законы изменения положений тел и причины, это вызывающие), основанный на 3 законах Ньютона и принципе относительности Галилея. Поэтому её часто называют «Ньютоновской механикой». Важное место в классической механике занимает существование инерциальных систем. Классическая механика подразделяется на кинематику (которая изучает геометрическое свойство движения без рассмотрения его причин), статику (которая рассматривает равновесие тел) и динамику (которая рассматривает движение тел).

Классическая механика дает очень точные результаты в рамках повседневного опыта. Но для систем, движущихся с большими скоростями, приближающимися к скорости света, более точные результаты дает релятивистская механика, для систем микроскопических размеров — квантовая механика, а для систем, обладающих обеими характеристиками — квантовая теория поля. Тем не менее, классическая механика сохраняет свое значение, поскольку (1) она намного проще в понимании и использовании, чем остальные теории, и (2) в обширном диапазоне она достаточно хорошо приближается к реальности. Классическую механику можно использовать для описания движения таких объектов, как волчок и бейсбольный мяч, многих астрономических объектов (таких, как планеты и галактики), и даже многих микроскопических объектов, таких как органические молекулы.

Хотя классическая механика в общих чертах совместима с другими «классическими теориями», такими как классическая электродинамика и термодинамика, в конце 19 века были найдены несоответствия, которые удалось разрешить только в рамках более современных физических теорий. В частности, классическая электродинамика предсказывает, что скорость света постоянна для всех наблюдателей, что трудно совместить с классической механикой, и что привело к необходимости создания специальной теории относительности. При рассмотрении совместно с классической термодинамикой, классическая механика приводит к парадоксу Гиббса в котором невозможно точно определить величину энтропии и к ультрафиолетовой катастрофе, в которой абсолютно чёрное тело должно излучать бесконечное количество энергии. Попытки разрешить эти проблемы привели к развитию квантовой механики.

Содержание

Описание теории

Перейдем к изложению основных понятий классической механики. Для простоты, мы будем рассматривать только материальную точку, т. е. тело, размером которого можно пренебречь. Движение материальной точки характеризуется несколькими параметрами: её положением, массой, и приложенными к ней силами. Рассмотрим каждый из них по очереди.

В действительности, любое тело, которое подчиняется законам классической механики, обязательно имеет ненулевой размер. Настоящие материальные точки, такие, как электрон, подчиняются законам квантовой механики. Тела ненулевого размера могут испытывать более сложные движения, поскольку может меняться их внутренняя конфигурация, например, потому что теннисный мяч может двигаться, вращаясь. Тем не менее, мы сможем применить к подобным телам результаты, полученные для материальных точек, рассматривая такие тела, как совокупности большого количества взаимодействующих материальных точек. Мы сможем показать, что такие сложные тела ведут себя, как материальные точки, при условии, что они малы в масштабах рассматриваемой задачи.

Радиус-вектор и его производные

Радиус-вектор материальной точки указывает на её положение по отношению к произвольной точке, зафиксированной в пространстве, которая обычно называется началом координат, и обозначается O. Это вектор r соединяющий начало координат с частицей. В общем случае, материальная точка движется, поэтому r является функцией t, промежутка времени прошедшего с произвольного начального момента. Скорость изменения положения со временем, определяется так:

.

Ускорение, или скорость изменения скорости, это:

.

Вектор ускорения может меняться за счет изменения его направления, величины, или и того и другого. Если скорость уменьшается, иногда пользуются термином «замедление», но вообще, термин «ускорение» относится к любому изменению скорости.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона связывает массу и скорость частицы с векторной величиной, известной как сила. Пусть m — масса тела и F — векторная сумма всех приложенных к нему сил (то есть равнодействующая сила.) Тогда второй закон Ньютона выглядит так:

.

Величина mv называется импульсом. В большинстве случаев, масса m не изменяется со временем, и закон Ньютона можно записать в упрощенной форме

где a — ускорение, определенное выше. Не всегда выполняется условие независимости массы от времени. Например, масса ракеты уменьшается по мере использования горючего. В таких случаях последнее выражение неприменимо, и следует пользоваться полной формой второго закона Ньютона.

Второго закона Ньютона недостаточно для описания движения частицы. Дополнительно требуется описание силы F, полученное из рассмотрения сущности физического взаимодействия, в котором участвует тело. Например, сила трения может быть смоделирована как функция скорости частицы, а именно

где λ — некоторая положительная постоянная. Получив независимое выражение для каждой силы, действующей на тело, мы можем подставить его во второй закон Ньютона и получим дифференциальное уравнение, называемое уравнением движения. Продолжая наш пример, примем, что на тело действует только сила трения. Тогда уравнение движения будет иметь вид

.

Это можно интегрировать, что даст

где v₀ — начальная скорость. Это означает, что скорость тела экспоненциально уменьшается со временем до нуля. Проинтегрировав последнее выражение, мы можем получить радиус-вектор r тела, как функцию времени.

Важными силами являются сила всемирного тяготения и сила Лоренца для электромагнетизма. Помимо этого, для определения сил, действующих на тело, используется третий закон Ньютона: если мы знаем, что тело A действует с силой F на тело B, значит B должно действовать с равной по величине и противоположной по направлению силой реакции, −F, на A.

Энергия

Если сила приложена к частице, которая перемещается на , то работа, совершенная силой, определяется как скалярное произведение силы и вектора перемещения:

Если масса частицы постоянна, а W_total полная работа, совершенная частицей, определяемая как сумма работ совершенных приложенными к частице силами, то второй закон Ньютона примет вид:

где E_k называется кинетической энергией. Для материальной точки, кинетическая энергия определяется как работа силы, ускорившей точку от нулевой скорости до скорости v :

Для сложных объектов, состоящих из множества частиц, кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий частиц.

Если все силы, действующие на частицу консервативны, и E_p является полной потенциальной энергий, полученной суммированием потенциальных энергий соответствующих каждой силе, тогда:

.

Этот результат известен как сохранение механической энергии и утверждает, что полная механическая энергия в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы

является постоянной относительно времени. Это очень полезно, потому что часто приходится сталкиваться с консервативными силами.

Источник

Презентация к защите

Механической системой или системой материальных точек называется совокупность точек, связанных между собой так, что движение каждой точки системы зависит от движения остальных точек системы.

Примером механической системы является всякое абсолютно твердое тело или же совокупность тел, связанных между собой.

Выбор механической системы зависит от нас, так как, изучая движение какого-либо механизма, можно в зависимости от характера поставленной задачи принять за механическую систему как весь механизм в целом, так и любое его звено.

В динамике различают изменяемые и неизменяемые системы точек.

Система называется неизменяемой, если точки ее не перемещаются относительно друг друга, изменяемой, если точки системы перемещаются относительно друг друга.

Всякое абсолютно твердое тело можно рассматривать как неизменяемую систему. Примером изменяемой системы являются деформируемое (не абсолютно твердое) тело.

Классификация сил, действующих на систему.

В динамике принято делить все силы, действующие на систему точек, на два вида: внутренние и внешние.

Внутренними называются силы, с которыми точки или тела, составляющие систему, действуют друг на друга.

Внешними называются силы, с которыми действуют на систему точки или тела, не входящие в состав самой системы.

Если деление сил на активные и реакции связи зависит от физической природы сил, то деление их на внешние и внутренние зависит от нашего выбора. Одна и та же сила может быть внешней по отношению к одной системе точки внутренней по отношению к другой. Таким образом, деление сил на внешние и внутренние является условным и зависит от того, что включим в состав системы.

Пример. Если рассмотреть движение всей солнечной системы в целом, то сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней. Если же рассмотреть Землю как систему точек, то эта сила станет внешней.

Свойства внутренних сил системы

1. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы равна нулю, то есть

Действительно, на основании третьего закона динамики силы, с которыми действуют друг на друга точки системы, равны по величине и противоположны по направлению (рис.1).

Складывая такие силы, получаем:

потому что и — коллинеарны.

Полученные выводы упрощают исследования вопросов, относящихся к системе точек, так как они позволяют в некоторых случаях не принимать в расчет внутренние силы системы.

Центр масс системы

Когда система состоит из очень большого числа точек, то изучить ее движение сложно и даже иногда невозможно. В таких случаях рассматривается движение всей системы как одного целого. С этой целью и вводится понятие центра масс.

Из курса статики известно, что все эти силы можно заменить одной силой, приложенной в точке С, называемой центром параллельных сил. Координаты этой точки определяются по формулам:

Заменим Pj в формулах (1) его значением, координаты примут вид

где (масса всех точек системы), получим

Эти формулы (3) определяют точку С, положение которой уже не зависит от сил, действующих на систему, а зависит лишь от положения материальных точек системы и от их масс. Точка С и называется центром масс системы.

Следовательно, центром масс системы называется геометрическая точка С координаты которой определяются по формулам (3).

Положение точки С можно определить или ее координатами по формулам (3) или ее радиус-вектором по формуле (4).

Примечание. В поле силы тяжести центр масс системы совпадает с ее центром тяжести (для неизменяемой системы). Но, если центр тяжести существует только для неизменяемой системы, находящейся в поле тяжести, то центр масс существует для любой системы, находящейся в любом пространстве, и положение его не зависит от сил, действующих на систему. Таким образом, понятие центра масс и центра тяжести не являются тождественным понятиями. Центр тяжести является частным случаем по отношению к понятию центра масс.

Источник

СИСТЕМА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. ТВЁРДОЕ ТЕЛО

Системой материальных точек (или механической системой) называют такую совокупность точек, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных.

Систему материальных точек, движение которых не ограничено никакими связями, а определяется лишь действующими на эти точки силами, называют системой свободных точек. Примером системы свободных точек может служить Солнечная система, планеты которой рассматривают в астрономии как материальные точки. Планеты свободно перемещаются по орбитам, зависящим от действующих на них сил.

Система материальных точек, движения которых ограничиваются наложенными на точки связями, называется системой несвободных точек. Примером системы несвободных точек может служить любой механизм или машина, у которых движения отдельных элементов ограничены связями.

Материальное тело мы также будем рассматривать как систему материальных частиц (точек), образующих это тело.

Механическая система с неголономными связями называется неголономной системой.

Механическая система с голономными связями называется голономной системой.

Известно, что механическое действие связей на точки системы выражается силами, называемыми реакциями связей. Таким образом, все силы, действующие на систему несвободных точек, можно разделить на задаваемые (активные) силы и реакции связей.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы. Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы. Будем обозначать внешние силы символом , а внутренние – (индексы и происходят от начальных букв французских слов: exterieur – внешний и interieur – внутренний).

Как внешние, так и внутренние силы могут быть, в свою очередь, или активными, или реакциями связей. Разделение сил на внешние и внутренние является условным и зависит от того, движение какой системы тел мы рассматриваем.

Таким образом, любая сила, действующая на точку механической системы в соответствии с приведёнными двумя классификациями сил, является внешней пли внутренней. В то же время она является задаваемой силой или реакцией связи. Движение точек механической системы зависит как от внешних, так и от внутренних сил.

Внутренние силы обладают следующими свойствами.

1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю. По третьему закону динамики, любые две точки системы (рис. 15) действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами и ,сумма которых равна нулю. Так как аналогичный результат имеет место для любой пары точек системы, то

. (5.1)

2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равняется нулю.

Действительно, если взять произвольный центр ,то из рис. 15 видно, что

.

Аналогичный результат получится при вычислении моментов относительно оси. Следовательно, и для всей системы будет выполняться условие:

или . (5.2)

Из доказанных свойств не следует, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызвать взаимные перемещения этих точек или тел. Уравновешенными внутренние силы будут тогда, когда рассматриваемая система представляет собою абсолютно твёрдое тело.

Центр масс. Движение системы, кроме действующих сил, зависит от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему:

.

В однородном поле тяжести, для которого g = const, вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести (см. Алексеев В. В. Теоретическая механика. Статика. – Новосибирск, 2008), к виду, явно содержащему массу. Для этого положим , , после чего, сократив на ,получим:

, , . (5.3)

В полученные равенства входят только массы материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты , , этих точек. Следовательно, положение точки действительно характеризует распределение масс в теле или в любой механической системе, если под , , , понимать соответственно массы и координаты точек этой системы.

Геометрическая точка , координаты которой определяются формулами (5.3), называется центром масс или центром инерции механической системы.

Если положение центра масс определять его радиус-вектором ,то для его определения используется формула:

, (5.4)

где – радиусы-векторы точек, образующих систему.

Хотя положение центра масс совпадает с положением центра тяжести тела, находящегося в однородном поле тяжести, понятия эти не являются тождественными. Понятие о центре тяжести как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, по существу имеет смысл только для твёрдого тела, находящегося в однородном поле тяжести. Понятие же о центре масс как о характеристике распределения масс в системе имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, причем это понятие сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли данная система под действием каких-нибудь сил или нет.

Источник