Что называется пределом функции в точке
Определение предела функции в конечной точке
Определение предела функции по Коши
Конечный предел функции в конечной точке
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы
Бесконечный предел функции в конечной точке
С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Аналогичным образом вводятся определения односторонних пределов.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.
Определение предела функции по Гейне
Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения задач, в которых нужно показать существование пределов, используя определение предела по Коши.
⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Введем обозначения:
.
Выпишем определение конечного предела функции в точке по Коши:
.
Преобразуем разность:
.
Пример 2
Все примеры ⇑ Используя определение предела по Коши показать, что
.
Пример 3
Все примеры ⇑ Используя определение предела по Коши показать, что
.
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Предел функции
| x |  |
|---|---|
| 1 | 0.841471 |
| 0.1 | 0.998334 |
| 0.01 | 0.999983 |
Хотя функция (sin x)/x в нуле не определена, когда x приближается к нулю, значение (sin x)/x становится сколь угодно близко к 1.
Другими словами, предел функции (sin x)/x при x, стремящемся к нулю, равен 1.
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).
В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.
Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».
Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).
Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.
Содержание
Определения
Рассмотрим функцию 
, определённую на некотором множестве 
, которое имеет предельную точку 
(которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).
Предел функции по Гейне
Значение 
называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек 
, сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции 
сходится к . [1]
Предел функции по Коши
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа 
найдётся отвечающее ему положительное число 
такое, что для всех аргументов 
, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
. [1]
0
\exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right)
Окрестностное определение по Коши
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой окрестности 
точки существует выколотая окрестность 
точки такая, что образ этой окрестности 
лежит в . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.
Предел по базе множеств
Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).
Пусть 
— некоторая база подмножеств области определения. Тогда
Если 
— предельная точка множества 
, то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке . Эта база имеет специальное обозначение «
» и читается «при 
, стремящемся к по множеству ». Если область определения функции 
совпадает с 
, то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «
» и читается «при , стремящемся к ».
При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:
Соответственно этому вводятся две базы:
Эквивалентность определений
Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны. [1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.
Вариации и обобщения
Односторонний предел
Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.
Предел вдоль фильтра
Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.
Пределы на бесконечности
Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.
Предел на бесконечности по Гейне
Предел на бесконечности по Коши
\exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0
\exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0
\exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0
\forall x \in X \colon x
Окрестностное определение по Коши
Пусть функция 
определена на множестве , имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка называется пределом функции на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки .
Обозначения
Если в точке у функции существует предел, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к , и пишут одним из следующих способов:
Если у функции существует предел на бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
Если у функции существует предел на плюс бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
Если у функции существует предел на минус бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
Свойства пределов числовых функций
Пусть даны функции 
и 
.
Доказательство методом от противного. Пусть существует 
и 
и 
.
Предположим 
0″ border=»0″ /> и запишем определения:
Пускай 
0″ border=»0″ />, тогда 
: 
и 
но тогда 
то есть 
Противоречие. Значит предел единственный. 
Предел функции в точке
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).
Число А называется пределом функции у = f(x)в точке х0 (или при
х →x0), если для любой последовательности допустимых значений аргумента хп, п
N (хп ≠ x0), сходящейся к x0 (т. е. 
) последовательность соответствующих значений функции f(xn), пN, сходится к числу А (т. е. 
).
В этом случае пишут 
или f(x)→ А при х→ х0. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек x, достаточно близких к точке x0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Записывают . Это определение коротко можно записать так:
Предел функции – определения, теоремы и свойства
Определение предела функции
Первое определение предела функции по Гейне
С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.
См. «Универсальное определение предела функции по Гейне и по Коши».
Второе определение по Коши
Здесь a и x 0 также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.
Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Применяемые окрестности точек
Далее мы приводим формулировки определений предела функции по Коши для разных случаев, используя определения окрестностей с равноудаленными концами.
Конечные пределы функции в конечных точках
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Бесконечные пределы функции
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Свойства и теоремы предела функции
Основные свойства
Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы.
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0 :
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства предела функции».
Арифметические свойства предела функции
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства предела функции».
Критерий Коши существования предела функции
Предел сложной функции
Доказательство теоремы приводится на странице
«Предел и непрерывность сложной функции».
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно малых функций».
Бесконечно большие функции
Свойства бесконечно больших функций
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».
Пределы монотонных функций
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций».
Определение функции, верхней и нижней грани
Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.
Если это особо не оговорено, мы рассматриваем функции, области определения и множества значений которых принадлежат множеству действительных чисел.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.