Что называется отрицанием высказывания
Отрицание высказываний
В обыденной речи мы очень часто используем частицу «не» или слова «неверно, что», когда что-нибудь отрицаем. В математике также приходится строить предложения, в которых что-либо отрицается.
Пусть дано высказывание А. Определим операцию отрицания высказывания.
Отрицанием высказывания А называется высказывание, которое истинно, когда данное высказывание ложно, и ложно, когда данное высказывание истинно.
Отрицание высказывания А обозначается: Ā. Читаем: «не А» или «неверно, что А».
Ā: «3+4≠7» (три плюс четыре не равно 7»), это будет ложное высказывание.
2. В: «7>9» – это ложное высказывание.
`В: «Неверно, что 7>9» или «7 не больше 9». Слова «не больше» означают «меньше или равно», поэтому в символах `Взапишется: «7≤9», это высказывание истинное.
Определение отрицания высказывания можно записать в так называемой таблице истинности.
Таблицей истинности называется таблица, в которой устанавливается значение истинности составного высказывания при различных комбинациях значений истинности входящих в него элементарных высказываний.
Таблица истинности отрицания высказывания имеет вид:
Пример ознакомления дошкольников с отрицанием «Не А». Наглядный материал изображён на рисунке 15:
яблоко груша апельсин лук
Задание ребенку: «Выбери лишний предмет, объясни, почему ты так думаешь».
Элементарное предложение: А – «предмет фрукт». Составное предложение: «Не А» – «предмет не является фруктом».
Если предложение А – элементарное высказывание, то для построения отрицания следует либо предварить его словами «неверно, что…», либо поставить частицу «не» перед сказуемым (если А содержит частицу «не», то отбросить ее).
| Выбор ребенка | Значение истинности элементарных предложений А | Оценка воспитателя |
| и | «неправильно» | |
| л | «правильно» |
Для операции отрицания высказывания А выполняется закон, называемый закономдвойного отрицания:
( 
А) ( 
=А).
Читаем: «Для любого высказывания А двойное отрицание высказывания А равно высказыванию А».
Доказательство этого закона выполняем в следующей таблице истинности, используя определение отрицания высказывания и определение равносильных высказываний.
| А | Ā | |
| и л | л и | и л |
Как видно из таблицы, значения истинности высказываний А и по строкам совпадают, поэтому высказывания А и равносильны и равенство А= является верным.
Убедимся в справедливости этого закона и на примерах.
Операции над высказываниями
Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое 
(читается «не А», «неверно, что А»), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.
Отрицающие друг друга высказывания А и 
называются противоположными.
Построим отрицание высказывания «число 
=3,14». Это истинное высказывание. Тогда его отрицание будет следующим: «
3,14» – ложное высказывание.
2. Операция конъюнкции.
Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А
В (читается «А и В»), истинные значения которого определяются в том и только том случае, когда оба высказывания А и В истинны.
Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.
Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0
С до +7
С» и высказывание В – «в Витебске идет дождь». Тогда А
В будет следующей: «в марте температура воздуха от 0
С до +7
С и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0
С или в Витебске не было дождя, то А
В будет ложной.
3. Операция дизъюнкции.
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А
В (А или В), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.
Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.
Формула, принимающая значение истины хотя бы при одном значении входящих высказываний, называется выполнимой.
Например, А
В, А
В – выполнимые.
Формулы, принимающие значение истинности при всех наборах значений входящих в них высказывательных переменных, называются тождественно истинными формулами или тавтологиями.
Формулы, принимающие значение лжи при всех наборах значений входящих в них высказывательных переменных, называются тождественно ложными или противоречиями.
Если формулы при всех наборах истинности и лжи входящих высказывательных переменных принимают одинаковые значения, то их называют равносильными. Запись А
В читается так: А равносильно В.
Логические операции над высказываниями
Эта логическая операция соответствует в обыденной жизни частице «не».
Определение. Отрицанием высказывания x называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание 
ложно, и ложным, если высказывание x истинно.
2. Дизъюнкция (логическое сложение).
Эта логическая операция соответствует союзу «или».
x 
y
В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в неисключающем смысле. Из определения дизъюнкции и отрицания следует, что высказывание x всегда истинно.
Эта логическая операция соответствует союзу «и».
x – «6 делится на 2», y – «6 делится на 3». Тогда – «6 делится на 2» 
«6 делится на 3» истинно.
Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.
Из определения операций конъюнкции и отрицания следует, что высказывание 
всегда ложно.
Эта логическая операция соответствует словам «если …, то…».
2) x – «12 делится на 2 и 3», y – «12 делится на 7». Тогда импликация x → y – «если 12 делится на 2 и 3, то оно делится на 7» ложна, так как условие истинно, а заключение ложно.
Эта логическая операция соответствует словам «тогда и только тогда, когда».
Операции над высказываниями и предикатами. Таблицы истинности
п.1. Отрицание
Расшифровка первого правила: высказывание «неверно, что для любого x выполняется A(x)» совпадает с высказыванием «найдётся x, для которого A(x) не выполняется».
Расшифровка второго правила: высказывание «неверно, что найдётся x, для которого выполняется A(x)» совпадает с высказыванием «для любого x A(x) не выполняется».
п.2. Конъюнкция
Обозначение конъюнкции A ∧ B, читается «А и В». Таблица истинности:
С точки зрения операций над множествами, конъюнкция аналогична пересечению двух множеств (см. §10 справочника для 8 класса).
С точки зрения записи условий, конъюнкция аналогична системе с фигурной скобкой.
п.3. Дизъюнкция
Обозначение дизъюнкции A ∨ B, читается «А или В». Таблица истинности:
С точки зрения операций над множествами, дизъюнкция аналогична объединению двух множеств (см. §10 справочника для 8 класса).
п.4. Импликация
Обозначение импликации A → B, читается «если A, то B».
Высказывание A называют «посылкой», а высказывание B – «заключением».
Значение импликации зависит от порядка высказываний.
Таблица истинности:
п.5. Эквиваленция
Обозначение эквиваленции A ↔ B, читается «A то же самое, что B» или «A эквивалентно B».
Таблица истинности:
п.6. Законы де Моргана
Докажем эквивалентность с помощью таблиц истинности:
Мы видим, что итоговые столбцы слева и справа полностью совпадают.
Значит, высказывания эквивалентны.
Докажем эквивалентность с помощью таблиц истинности:
Высказывания слева и справа эквивалентны.
Не путайте эквиваленцию и эквивалентность.
Эквиваленция – это логическая операция с 0 или 1 на выходе, в зависимости от исходных А и В.
Эквивалентность(равносильность) – это отношение, при котором эквиваленция A ↔ B истинна при всех значениях логических переменных на области определения. Тогда A ⇔ B (пишут также A=B, A≡B, A
B).
Если A ⇔ B, то каждое из предложений является и необходимым и достаточным условием для другого предложения; используются словосочетания «необходимо и достаточно», «равносильно».
п.7. Алгоритм доказательства эквивалентности высказываний с помощью таблиц истинности
Например:
Докажем следующее свойство:
Что называется отрицанием высказывания
 Пусть х высказывание. Так как \(\bar<х>\) так же является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания \(\bar<х>\), то есть высказывание \(\bar<\bar
 Например, для высказывания «Река Волхов вытекает из озера Ильмень» отрицание будет высказывание «Неверно, что река Волхов вытекает из озера Ильмень» или «Река Волхов не вытекает из озера Ильмень», а двойное отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов не вытекает из озера Ильмень».
 2. Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнкцией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х, у истинны, и ложными, если хотя бы одно из них ложно.
 Конъюнкция высказываний х, у обозначается символом х&у или \((x \wedge y)\), читается «х и у». Высказывания х, у называются членами конъюнкции.
 Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:
 Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3», их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.
 3. Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкцией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны.
 Дизъюнкцией высказываний х, у обозначается символом \((x \vee y)\), читается «х или у». Высказывания х, у называются членами дизъюнкции.
 Логические значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:
 Например, высказывание «Если число 12 делится на 6, то оно делится на 3», очевидно, истинно, так как здесь истинна посылка «Число 12 делится на 6» и истинно заключение «Число 12 делится на 3».
 Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме «Если х, то у». Если при этом известно, что х истинно и доказана истинность импликации \(x\rightarrow y\), то мы вправе сделать вывод об истинности заключения у.
 5. Эквиваленция. Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложны во всех остальных случаях.
 Эквиваленция высказываний х, у обозначается символом \(x \leftrightarrow y\), читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х, у называются членами эквиваленции.
 Логические значения операции эквиваленции описываются следующей таблицей истинности:
 Например, эквиваленция «Треугольник SPQ с вершиной S и основание PQ равнобедренный тогда и только тогда, когда \(\prec P= \prec Q\)» является истинной, так как высказывания «Треугольник SPQ с вершиной S и основание PQ равнобедренный» и » В треугольник SPQ с вершиной S и основание PQ \(\prec P= \prec Q\)» либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.
 Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинности самой эквивалентности, мы заключаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.