Что называется начальной фазой

10.04.202213.04.2022 admin 0 Comments

Фаза колебаний.

Фаза колебаний — это аргумент периодически изменяющейся функции, описывающей колебательный или волновой процесс. Для гармонических колебаний:

где φ = ωt + φ₀ — фаза колебания, А — амплитуда, ω — круговая частота, t — время, φ₀ — начальная (фиксированная) фаза колебания; в момент времени t = 0φ = φ₀. Фаза выражается в радианах.

Фаза гармонического колебания при постоянной амплитуде определяет не только координату колеблющегося тела в любой момент времени, но и скорость и ускорение, которые тоже изменяются по гармоническому закону (скорость и ускорение гармонических колебаний — это первая и вторая производные по времени функции (см. рис. ниже), которые, как известно, снова дают синус и косинус). Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени.

Два колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут отличаться друг от друга фазами. Так как ω = 2π/Т, то

Отношение t/T показывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому значению времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженной в радианах.

Сплошная кривая на рисунке — это зависимость координаты от времени и одновременно от фазы колебаний (верхние и нижние значения на оси абсцисс соответственно) для точки, совершающей гармонические колебания по закону:

Здесь начальная фаза равна нулю φ₀ = 0. В начальный момент времени амплитуда максимальна. Это соответствует случаю колебаний тела, прикрепленного к пружине (или маятника), которое в начальный момент времени отвели от положения равновесия и отпустили. Описание колебаний, начинающихся из положения равновесия (например, при кратковременном толчке покоящегося шарика), удобнее вести с помощью функции синуса:

Как известно, cos φ = sin (φ + π/2), поэтому колебания, описываемые уравнениями x = x_m cos ω₀ t и x = x_m sin ω₀ t, отличаются друг от друга только фазами. Разность фаз, или сдвиг фаз, составляет π/2. Чтобы определить сдвиг фаз, нужно колеблющуюся величину выразить через одну и ту же тригонометрическую функцию — косинус или синус. Пунктирная кривая на рисунке выше (это график уравнения x = x_m sin ω₀ t) сдвинута относительно сплошной на π/2.

Источник

Начальная фаза колебаний

Всего получено оценок: 250.

Одной из характеристик колебательного процесса в физике является фаза. Особенно важным этот параметр становится, когда сравниваются два колебания одинаковой частоты. Начальная фаза колебаний характеризует начало отклонения, когда система выводится из равновесия.

Понятие фазы колебательного процесса

Любой колебательный процесс может быть представлен в виде бесконечной суммы простейших гармонических колебаний. Гармоническое колебание — это колебание, которое совершается по закону круговых функций (синуса или косинуса).

Рис. 1. График гармонической функции.

Формула гармонического колебания имеет следующий вид:

$$X = X_m sin(\omega t+\varphi)$$

Рис. 2. Фаза колебания.

Значение начальной фазы колебательного процесса

Точка начальной фазы колебаний характеризует значение параметра функции в нулевой момент времени. Учитывая, что для того, чтобы система начала колебаться, она должна быть выведена из положения равновесия, начальная фаза колебаний характеризует именно это начальное отклонение, которое хорошо видно на графике функции.

Для нитяного или пружинного маятника зачастую начальная фаза колебаний также характеризует точку максимального отклонения.

Но наибольшее значение начальная фаза колебаний принимает для случая, когда происходит два и более колебательных процесса одинаковой частоты. При одинаковой частоте разность фаз колебаний в этих процессах будет постоянна. Следовательно, именно от начальной фазы зависит взаимное значение колебаний.

Например, если в обоих колебательных процессах, происходящих с равной частотой, начальные фазы будут равны, то нулевые и амплитудные значения обоих процессов будут всегда достигаться одновременно. Говорят, что процессы происходят синфазно.

При других начальных фазах такие процессы будут меняться «с отставанием» или «с опережением», в зависимости от конкретных значений. И, поскольку их частота одинакова, то отставание или опережение будет постоянно. Нулевые и амплитудные значения никогда не будут достигнуты одновременно.

Что мы узнали?

Фаза колебания — это аргумент гармонической функции в ее формуле. Фактически это конкретный момент колебания. Начальная фаза — это аргумент в нулевой момент времени. Наибольшее значение начальная фаза колебаний играет при сравнении различных колебаний с одинаковой частотой.

Источник

Начальная фаза колебаний – точки, формулы, единица измерения в физике

Понятие фазы колебательного процесса

Рис. 1. График гармонической функции.

Формула гармонического колебания имеет следующий вид:

$$X = X_m sin(omega t+varphi)$$

Рис. 2. Фаза колебания.

Значение начальной фазы колебательного процесса

Рис. 3. Разность фаз колебаний.

Что мы узнали?

Источник

Начальная фаза колебаний

Определение фазы колебаний

Начальная фаза колебаний и способ возбуждения колебаний

Возведем в квадрат оба уравнения (2) и сложим их:

Из выражения (4) имеем:

Разделим уравнение (3) на (2), получим:

с начальными условиями:

\[x\left(0\right)=x_0;;\ \dot\left(0\right)=0\ \left(8\right).\]

При таком возбуждении колебания пружинного маятника можно описывать выражением:

Сложение колебаний и начальная фаза

Тело, совершающее колебания, способно принимать участие в нескольких колебательных процессах одновременно. В таком случае возникает необходимость выяснить, каким будет результирующее колебание.

Допустим, что два колебания с равными частотами происходят по одной прямой. Уравнением результирующих колебаний будет выражение:

тогда амплитуда суммарного колебания равна:

В случае равенства начальных фаз составляющих колебаний уравнение траектории имеет вид:

что говорит о движении точки по прямой линии.

что означает, траектория движения эллипс.

Примеры задач с решением

начальными условиями будут:

Решение. Запишем уравнение гармонических колебаний по оси X:

Преобразуем заданные в условии задачи уравнения к этому же виду:

Сравнивая уравнения (2.2) с (2.1) получим, что начальные фазы колебаний равны:

Изобразим на рис.1 векторную диаграмму колебаний.

Источник

Характеристики колебаний

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени $\large \Delta t$, на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина $ \large x $. Тогда символом $ \large x_ <0>$ обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

$ \large T \left( c \right) $ – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» $ \large \nu $.

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

$ \large \nu \left( \frac<1> \right) $.

Иногда в учебниках встречается такая запись $ \large \displaystyle \nu \left( c^ <-1>\right) $, потому, что по свойствам степени $ \large \displaystyle \frac<1> = c^ <-1>$.

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол $\large 2\pi$ радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный $\large 2\pi$ секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

$ \large \displaystyle \omega \left( \frac<\text<рад>> \right) $

Примечание: Величину $ \large \omega $ так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за $\large 2\pi$ секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный $\large 2\pi$ секунд?».

Обычная $ \large \nu $ и циклическая $ \large \omega $ частота колебаний связаны формулой:

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину $ \large \omega $, нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой $ \large \displaystyle \nu = \frac<1>$ и вычислить частоту $ \large \nu $.

И только после этого, с помощью формулы $ \large \omega = 2\pi \cdot \nu $ посчитать циклическую $ \large \omega $ частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину $ \large \omega $ по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный $\large 2\pi$, а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, $\large \varphi_ <0>$.

$\large \varphi_ <0>\left(\text <рад>\right) $ — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рассмотрим теперь, как величина $\large \varphi_ <0>$ влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы $\large \varphi_ <0>$ принимаем равной нулю.

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время $\large \Delta t$, начальный угол $\large \varphi_ <0>$ будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол $\large \varphi_ <0>$ с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина $\large \varphi_ <0>$ — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени $\large \Delta t$ и соответствующий ему начальный угол $\large \varphi_ <0>$.

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

\[\large T = 5 – 1 = 4 \left( \text <сек>\right)\]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

Для этого используем формулу:

$\large \displaystyle \frac<1> <4>\cdot 2\pi = \frac<\pi > <2>=\varphi_ <0>$

Значит, интервалу $\large \Delta t$ соответствует угол $\large \displaystyle \frac<\pi > <2>$ – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол $\large \displaystyle \frac<\pi > <2>$ имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая $\large \varphi_ <0>= 0 $.

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину $\large \varphi_ <0>$ записываем со знаком «-».

Примечания:

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают $\varphi$.

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной $ \varphi_<0>$ фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто $ \varphi$ фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза $\large \varphi$ выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины $\large \omega$ — циклическая частота и $\large \varphi_<0>$ — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу $\large \varphi$, соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

$ \large \varphi_<01>$ – для первого процесса и,

$ \large \varphi_<02>$ – для второго процесса.

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

Величина $\large \Delta \varphi $ показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

$ \large T \left( c \right) $ – время одного полного колебания (период колебаний);

$ \large N \left( \text <шт>\right) $ – количество полных колебаний;

$ \large t \left( c \right) $ – общее время для нескольких колебаний;

$\large \nu \left( \text <Гц>\right) $ – частота колебаний.

$\large \displaystyle \omega \left( \frac<\text<рад>> \right) $ – циклическая (круговая) частота колебаний.

$\large \varphi_ <0>\left( \text <рад>\right) $ — начальная фаза;

$\large \varphi \left( \text <рад>\right) $ – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

$\large \Delta t \left( c \right) $ — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

Источник

Что и для чего?

Что называется начальной фазой

Фаза колебаний.

Начальная фаза колебаний

Понятие фазы колебательного процесса

Значение начальной фазы колебательного процесса

Что мы узнали?

Начальная фаза колебаний – точки, формулы, единица измерения в физике

Понятие фазы колебательного процесса

Значение начальной фазы колебательного процесса

Что мы узнали?

Начальная фаза колебаний

Определение фазы колебаний

Начальная фаза колебаний и способ возбуждения колебаний

Сложение колебаний и начальная фаза

Примеры задач с решением

Характеристики колебаний

Что такое амплитуда

Что такое период

Что такое частота

Что такое циклическая частота

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения