Что называется множеством истинности предложения p x
Урок 22
§18. Алгебра логики
Содержание урока:
 | 18.4. Предикаты и их множества истинности |  |
| 18.3. Логические выражения |  | САМОЕ ГЛАВНОЕ Вопросы и задания |
18.4. Предикаты и их множества истинности
Равенства, неравенства и другие предложения, содержащие переменные, высказываниями не являются, но они становятся высказываниями при замене переменной каким-нибудь конкретным значением. Например, предложение х 2 + у 2 = 1) — множество точек окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Следует отметить, что многие задания, выполняемые вами на уроках математики, прямо связаны с предикатами. Например, стандартное задание «Решить квадратное уравнение x 2 — 3x + 2 = 0» фактически означает требование найти множество истинности предиката Р(х) = (x 2 — 3x + 2 = 0).
Из имеющихся предикатов с помощью логических операций можно строить новые предикаты.
Пусть А и В соответственно являются множествами истинности предикатов А(х) и В(х). Тогда пересечение множеств А и В будет являться множеством истинности для предиката А(х) & В(х), а объединение множеств А и В будет множеством истинности для предиката А(х) ∨ В(х).
Пример 5. Найдём все целые числа 2, превращающие предикат
Зачастую задания такого рода формулируют несколько иначе.
Например, так: «Найдите все целые числа х, для которых истинно высказывание (50 (х + 1)2)».
Проанализируем отдельно каждый из элементарных предикатов (50 2 ) и (50 > (x + 1) 2 ), решив соответствующие неравенства:
Cкачать материалы урока
Лекция 3. Логика предикатов. Логические операции над предикатами
3.1. Понятие предиката
«Предикат» с английского переводится как сказуемое. Формально предикатом называется функция, аргументами которой могут быть произвольные объекты из некоторого множества, а значения функции «истина» или «ложь». Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания.
Средства, предоставляемые логикой высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математических рассуждений. В алгебре логики не рассматриваются ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.
3.2. Логика предикатов
Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат(буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).
Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании, а предикат – это то, что утверждается о субъекте.
Логика предикатов – это расширение логики высказываний за счет использования предикатов в роли логических функций.
Например, в высказывании «7 – простое число», «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».
Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х – простое число». При одних значениях х (например, х = 13, х = 17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10, х = 18) эта форма дает ложные высказывания.
Определение 1. Одноместным предикатом Р(х) называется всякая функция одного переменного, в которой аргумент x пробегает значения из некоторого множества M, а функция при этом принимает одно из двух значений: истина или ложь.
Множество M, на котором задан предикат, называется областью определения предиката.
Множество 
, на котором предикат принимает только истинные значения, называется областью истинности предиката Р(х).
Определение 2. Предикат Р(х), определённый на множестве M, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если
Определение 3. Двухместным предикатом P(x, у) называется функция двух переменных х и у, определённая на множестве М=М1×М2 и принимающая значения из множества <1,0>.
В качестве примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты: Q(x, у) – «х = у» предикат равенства, определённый на множестве R 2 =R×R; F(x, у) – «х || у» прямая х параллельна прямой у, определённый на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.
Говорят, что предикат Р(х) является следствием предиката Q(х) 
, если 
; и предикаты Р(х) и Q (х) равносильны 
, если 
.
Пример 1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истинности:
Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х).
Определение 4. Конъюнкциейдвух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)&Q(х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях 
, при которых каждый из предикатов Р(х) и Q(х) принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Очевидно, что областью истинности предиката Р(х)&Q(х) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), т.е. пересечение 
.
Так, например, для предикатов Р(х): «х – четное число» и Q(х): « х кратно 3» конъюнкцией Р(х)&Q(х) является предикат «х – четное число и х кратно 3», то есть предикат «х делится на 6».
Определение 5. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат 
, который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Ясно, что областью истинности предиката 
является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), то есть объединение 
.
Определение 6. Отрицаниемпредиката Р(х) называется новый предикат 
, который принимает значение «истина» при всех значениях , при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях , при которых предикат Р(х) принимает значение «истина». Очевидно, что, 
.
Определение 7. Импликацией предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат 
, который является ложным при тех и только тех значениях 
, при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», а Q(х) – значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.
Ясно, что при выполнении логических операций над предикатами к ним применимы и равносильности алгебры логики. Для детального изучения темы необходим курс «Дискретной математики».
MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)
При изучении высказываний мы отмечали, что утверждение с переменными не является высказыванием. Можно, например, рассмотреть предложение %%P(x) : x^2 + 1 > 2%% с переменной %%x \in \mathbb R%%. Это предлождение не является высказыванием, так как нельзя сказать истинно оно или ложно. Однако, если заменить переменную %%x%% на какое-либо значение, например, %%x = 1%%, получаем высказывание %%2 > 2%%, которое является ложным. Заменив переменную %%x%% на значение %%x = 2%%, получим истинное высказывание %%5 > 2%%. Итак есть выражение %%P(x)%% не являющиееся высказыванием, но превращающееся в него при замене переменной %%x%% на ее произвольное значение из соответствующего множества.
Определение
Одноместным предикатом, определенным на множестве %%D%%, называется предложение с переменной, которое превращается в высказывание при замене этой переменной на ее значение из множества %%D%%. Одноместный предикат будем называть унарным или предикатом от одной переменной.
Примеры
Следующие предложения являются одноместными предикатами:
Следующие предложения не являются одноместными предикатами:
%%n%%-местный предикат
%%n%%-местым предикатом с областью определения %%D = D_1 \times D_2 \times \ldots \times D_n%% называется предикат %%P(x_1, x_2, \ldots, x_n)%% от %%n%% переменных, который превращается в высказывание при замене переменных %%x_1, x_2, \ldots, x_n%% на их значения из множеств %%D_1, D_2, \ldots, D_n%% соответственно.
Тогда предложение прямая %%x%% параллельна прямой %%y%% является двуместным предикатом %%P(x, y)%%, где %%X, Y%% — множество всех прямых.
Область определения предиката
Рассмотрим %%n%%-местный предикат %%P(x_1, x_2, \ldots, x_n)%%. В этом случае переменные берутся из множеств %%D_1, D_2, \ldots, D_n%% соответственно. Можно рассмотреть множество %%D = D_1 \times D_2 \times \ldots \times D_n%% — декартово произведение множеств %%D_1, D_2, \ldots, D_n%%, элементами которого являются всевозможные упорядоченные %%n%%-ки %%(d_1, d_2, \ldots, d_n)%% элементов исходных множеств.
Множество %%D%% называется областью определения предиката.
Область истинности
Пример
На множестве %%D = \< 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\>%% рассмотрим одноместный предикат %%P(x): x%% — простое число. Найти область истинности предиката %%P(x)%%.
Обозначим область истинности буквой %%A%%. Тогда %%A%% состоит из таких элементов, при которых выполняется предикат %%P(x)%%. Поэтому %%A = \<2, 3, 5, 7\>%%.
Операции над предикатами
Аналогично операциям для высказываний вводятся операции для предикатов.
Пусть %%P(x)%% и %%Q(x)%% — одноместные предикаты, определенные на множестве %%D%%.
Отрицанием предиката %%P(x)%% называется новый предикат, обозначаемый %%\overline
Конъюнкцией предикатов %%P(x)%% и %%Q(x)%% называется новый предикат, обозначаемый %%P(x) \land Q(x)%% и являющийся истинным для тех и только тех %%x%%, для которых предикаты %%P(x)%% и %%Q(x)%% истинны.
Дизъюнкцией предикатов %%P(x)%% и %%Q(x)%% называется новый предикат, обозначаемый %%P(x) \lor Q(x)%% и являющийся ложным для тех и только тех %%x%%, для которых предикаты %%P(x)%% и %%Q(x)%% ложны.
Импликацией предикатов %%P(x)%% и %%Q(x)%% называется новый предикат, обозначаемый %%P(x) \rightarrow Q(x)%% и являющийся ложным для тех и только тех %%x%%, для которых предикаты %%P(x)%% истинный, а %%Q(x)%% ложный.
Эквиваленцией предикатов %%P(x)%% и %%Q(x)%% называется новый предикат, обозначаемый %%P(x) \leftrightarrow Q(x)%% и являющийся истинным для тех и только тех %%x%%, для которых предикаты %%P(x)%% и %%Q(x)%% имеют одинаковые значения.
Применяя операции над предикатами, мы получаем составные предикаты, которые будем называть формулами алгебры предикатов.
Законы алгебры предикатов
В случае тождественно истинных и тождественно ложных предикатов имеем следующие определения.
Предикат %%P(x_1, x_2, \ldots, x_n)%% называется тождественно истинным если при любой замене переменных %%x_1, x_2, \ldots, x_n%% на их значения предикат превращается в истинное высказывание.
Предикат %%P(x_1, x_2, \ldots, x_n)%% называется тождественно ложным если при любой замене переменных %%x_1, x_2, \ldots, x_n%% на их значения предикат превращается в ложное высказывание.
Высказывание является частным случаем предиката, когда в предикате нет переменных. То есть высказывание является предикатом %%0%% порядка (от %%0%% переменных).
Презентация «Алгебра предикатов» по дисциплине «Элементы математической логики»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
АЛГЕБРА ПРЕДИКАТОВ Преподаватель ГБПОУ КК «АМТ»: Беляева Т.Ю.
1. ПОНЯТИЕ ПРЕДИКАТА Если в предикате одну переменную заменить ее конкретным значением, то местность предиката уменьшается на 1. Т.к. одноместный предикат после подстановки вместо переменной конкретного значения превращается в высказывание, то высказывание – нульместный предикат
2. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬ ИСТИННОСТИ ПРЕДИКАТА Примеры: 1) Р(х) – «х –четное число» UP = N IP=
2. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬ ИСТИННОСТИ ПРЕДИКАТА
2. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬ ИСТИННОСТИ ПРЕДИКАТА Напр.: 1) «(х – у)(х + у) = х2 – у2» – тождественно истинный двуместный предикат 2) «х2 – 2х = 0» – выполнимый одноместный предикат 3) «х + 1 = х» – тождественно ложный одноместный предикат
2. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬ ИСТИННОСТИ ПРЕДИКАТА Опр. Два предиката называются эквивалентными (равносильными), если они определены на одном и том же множестве и их множества истинности совпадают.
ПРИМЕР Идентифицируйте следующие предложения. Для предикатов найдите их область определения и область истинности. Укажите вид предиката. «х2 + 1» «y 0» «х – 5 = 4х + 1» «n – кратно 5» «х2 – 2х + 3 ≥ 0» «с2 = а2 + в2 »
II. КОНЪЮНКЦИЯ ПРЕДИКАТОВ Опр. Конъюнкцией 2-х предикатов P(x) и Q(x) называется предикат P(x) /\ Q(x), который становится истинным высказыванием лишь при тех значениях х, при которых оба предиката становятся истинными высказываниями. (!!) Очевидно, что множество истинности предиката P(x) /\ Q(x) – есть пересечение множеств истинности исходных предикатов.
III. ДИЗЪЮНКЦИЯ ПРЕДИКАТОВ Опр. Дизъюнкцией 2-х предикатов P(x) и Q(x) называется предикат P(x) \/ Q(x), который становится истинным высказыванием при тех значениях х, при которых хотя бы один из предикатов становится истинными высказываниями. (!!) Очевидно, что множество истинности предиката P(x) \/ Q(x) – есть объединение множеств истинности исходных предикатов.
V. ЭКВИВАЛЕНЦИЯ ПРЕДИКАТОВ Опр. Эквиваленцией 2-х предикатов P(x) и Q(x) называется предикат P(x) ↔ Q(x), который становится истинным высказыванием при тех значениях х, при которых предикаты Р(х) и Q(x) становятся высказыванием с одинаковыми значениями истинности.
ПРИМЕР На множестве А = <3; 4; 5; …; 17>заданы предикаты: Р(х) – «х кратно 3», Q(x) – «х – составное число», S(x) – «х – нечетное число». Найдите множества истинности следующих предикатов: 1) Q (x) 2) P(x) /\ Q(x) 3) P(x) \/ S(x); 4) S(x) → Q(x); 5) P(x) ↔ Q(x).
I. КВАНТОР ВСЕОБЩНОСТИ Обозначается: x P(x) Читается: для всех, для любого, для каждого x выполняется условие P(x) все х из U обладают свойством Р(х) Например: 1) P(x) – «Река x имеет исток» x P(x) – «Любая река имеет исток» 2) Р(х) – «х – простое число» x P(x) – «Все натуральные числа простые»
I. КВАНТОР ВСЕОБЩНОСТИ Опр. Переход от одноместного предиката Р(х) к высказыванию xP(x) называется операцией связывания предметной переменной х квантором общности. При этом переменная х называется связанной. (!!) Очевидно, что такое высказывание является истинным тогда и только тогда, когда Р(х) – тождественно истинный предикат.
I. КВАНТОР ВСЕОБЩНОСТИ Рассмотрим теперь двуместный предикат Р(х; у) – «х делится на у», определенный на множестве 2 Ясно, что х Р(х; у) – одноместный предикат от предметной переменной у: «Все натуральные числа делятся на у» При у = 3 – ложное высказывание При у = 1 – истинное высказывание Т.о., это одноместный выполнимый предикат Очевидно, что предикат у Р(х; у) является тождественно ложным предикатом, а х у Р(х; у) – есть ложное высказывание.
II. КВАНТОР СУЩЕСТВОВАНИЯ Обозначается: x P(x) Читается: существует, найдется некоторое, какое-то x, для которого выполняется P(x) Например: 1) P(x) – «Дверь x закрыта» x P(x) – «Существует дверь, которая закрыта» 2) Р(х) – «х – простое число» x P(x) – «Существует простое натуральное число»
II. КВАНТОР СУЩЕСТВОВАНИЯ Опр. Переход от одноместного предиката Р(х) к высказыванию xР(х) называется операцией связывания предметной переменной х квантором существования. (!!) Высказывание xР(х) является ложным тогда и только тогда, когда Р(х) – тождественно ложный предикат.
II. КВАНТОР СУЩЕСТВОВАНИЯ (!!) В п-местном предикате Р(х1; х2; …; хп) некоторые предметные переменные могут быть связаны квантором общности, а некоторые – квантором существования. Местность такого предиката определяется числом свободных переменных. Напр.: х у P(x; y; z) – одноместный предикат от переменной z.
3. ПРЕДИКАТНАЯ ФОРМУЛА 4) Если Ф1 и Ф2 – формулы, имеющие одинаковый характер вхождения предметных переменных, то Ф1 Ф2, Ф1 Ф2, Ф1 → Ф2, Ф1 ↔ Ф2 – формулы алгебры предикатов. В этих формулах те переменные, которые в исходных формулах были свободны, являются свободными, а те, которые были связанными, остаются связанными.
5. ПРЕДИКАТНАЯ ФОРМУЛА (!!)1 Очевидно, что все формулы алгебры высказываний являются формулами алгебры предикатов. (!!)2 Иерархия логических операций остается та же, что и в алгебре высказываний, однако, следует иметь в виду, что кванторы связывают сильнее, чем другие логические связки.
5. ПРЕДИКАТНАЯ ФОРМУЛА Опр. Две формулы алгебры предикатов называются равносильными на области U, если они принимают одни и те же истинностные значения, какие бы значения ни придавались входящим в них переменным из области U. (!!) Все равносильности, известные в алгебре высказываний, распространяются на алгебру предикатов. Кроме них в алгебре предикатов существуют равносильности c кванторами.
6. РАВНОСИЛЬНОСТИ С КВАНТОРАМИ 1. Если предикат определен на конечном множестве М = <а1,…, ап>, то а) x P(x) ≡ Р(а1) Р(а2) … Р(ап) б) x P(x) ≡ Р(а1) Р(а2) … Р(ап) Т.о., кванторы – другая форма записи конъюнкции и дизъюнкции. (!!) Кванторная форма записи конъюнкции и дизъюнкции пригодна и в случае, когда область определения предиката – бесконечное множество.
6. РАВНОСИЛЬНОСТИ С КВАНТОРАМИ 2. Знак отрицания можно внести под знак квантора, изменив квантор на двойственный, т.е.: а) x P(x) ≡ x P(x); б) х P(x) ≡ x P(x). (!!) Это правило справедливо для многокванторных предикатов.
6. РАВНОСИЛЬНОСТИ С КВАНТОРАМИ 3. Квантор общности обладает распределительным свойством относительно конъюнкции, т.е.: x (P(x) Q(x)) ≡ x P(x) x Q(x); 4. Квантор существования обладает распределительным свойством относительно дизъюнкции, т.е.: х (P(x) Q(x)) ≡ x P(x) x Q(x).
6. РАВНОСИЛЬНОСТИ С КВАНТОРАМИ 5. Одноимённые кванторы можно менять местами, т.е.: x у P(x; у) ≡ у x P(x; у); x у P(x; у) ≡ у x P(x; у). (!!) Разноименные кванторы менять местами нельзя.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-983290
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах
Время чтения: 2 минуты
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Апробацию новых учебников по ОБЖ завершат к середине 2022 года
Время чтения: 1 минута
До конца 2024 года в РФ построят около 1 300 школ
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.