Что называется линейной комбинацией векторов

Инейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где — коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если — нетривиальной.

Линейная зависимость и независимость векторов

Система линейно зависима что

Система линейно независима

Критерий линейной зависимости векторов

Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Размерность линейного пространства

Линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Обозначения : n = dim V; .

Система векторов называется линейно зависимой, если существует ненулевойнаборчисел таких, что линейная комбинация

.

Система векторов называется линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации

следует равенство нулю всехкоэффициентов

Вопрос о линейной зависимости векторов в общем случае сводится к вопросу о существовании ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений с коэффициентами, равными соответствующим координатам данных векторов.

Для того чтобы хорошо усвоить понятия «линейная зависимость», «линейная независимость» системы векторов, полезно решить задачи следующего типа:

11. Лінійна залежність.І і ІІ критерії лінійної залежності.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов , что , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что . Тогда

то есть является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор , то есть . Очевидно, что . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).

Предложение 10.7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Пусть в системе векторов подсистема , , является линейно зависимой, то есть , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

12. База системи векторів, її основна властивість.

Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.

Свойство 1:
База линейной независимой системы совпадает с ней самой.

Пример:



Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.

Свойство 2:(Критерий Базы)
Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Доказательство:
Дана система
Необходимость
Пусть база .
Тогда по определению и, если , где , система линейно зависима, так как линейно вырожается через , следовательно максимально линейно независима.
Достаточность
Пусть максимально линейно независимая подсистема, тогда где .
линейно зависима линейно вырожается через следовательно база системы .

Свойство 3:(Основное свойство базы)
Каждый вектор системы вырожается через базу единственным образом.

Доказательство
Пусть вектор вырожается через базу двумя способами, тогда:

, тогда

13. Ранг системи векторів.

Определение:Рангом ненулевой системы векторов линейного пространства называется число векторов её базы. Ранг нулевой системы по определению равен нулю. Свойства ранга:1) Ранг линейно независимой системы совпадает с числом её векторов. 2) Ранг линейно зависимой системы меньше числа её векторов. 3) Ранги эквивалентных систем совпадают — rank rank . 4) Ранг под системы меньше либо равен рангу системы. 5) Если и rank rank , тогда и имеют общую базу. 6) Ранг системы не изменить, если в неё добавить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы. 7) Ранг системы не изменить, если из неё удалить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов.

Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гаусса и привести систему к треугольной или трапециевидной форме.

14. Еквівалентні системи векторів.

Пример:

Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы.
Получим:

Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:

1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки от второй отнимим первую умноженную на , от третьей отнимим первую умноженную на , а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу :

2) Теперь в матрице , поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу :

3)В матрице анулируем все элементы под элементом .
Поскольку вновь элемент нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на . Получим матрицу :

4)Вновь поменяем в матрице строки 3 и 4 местами. Получим матрицу :

5)В матрице прибавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу , которая будет иметь треугольный вид:

Системы , их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank rank

Замечания:
1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число.
2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку.
Пример:

Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2.
В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим:

В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.

Вот так же пример системы векторов в виде графика:
Дана система где , , и . Базой данной системы очевидно буду вектора и , поскольку через них выражаются векторы .
Данная система в графическом виде будет иметь вид:

15. Елементарні перетворення. Системи ступінчатого виду.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

· перестановку местами любых двух строк матрицы;

· умножение любой строки матрицы на константу , , при этом определитель матрицы увеличивается в k раз;

· прибавление к любой строке матрицы другой строки.

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

Источник

Линейные комбинации векторов в пространстве

Линейные комбинации векторов

Определение 1. Линейной комбинацией 1) векторов называется сумма произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражения вида

,

где — любые вещественные числа.

.

Предложение 1. Если хотя бы один из векторов нулевой, то эти векторы являются линейно зависимыми.

Предложение 2. Если среди векторов какие-либо 5) векторов являются линейно зависимыми, то и все векторов являются линейно зависимыми.

Предложение 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них представим в виде линейной комбинации остальных.

Обобщение понятия «линейная зависимость» можно посмотреть в соответствующей статье.

Линейная зависимость двух векторов

Предложение 4. Два вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Линейная зависимость трех векторов

Предложение 5. Три вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они компланарны.

Линейная зависимость четырех векторов

Предложение 6. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Базис в пространстве, на плоскости и на прямой

Определение 4. Базисом в пространстве 6) называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение 5. Базисом на плоскости 7) называется пара неколлинеарных векторов, взятых в определенном порядке.

Определение 6. Базисом на прямой 8) называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Определение 7. Пусть — базис в пространстве. Если

,

то говорят, что вектор разложен по базису. Числа называются координатами 9) вектора в этом базисе. Аналогично определяются координаты на плоскости и на прямой.

Координаты вектора в каждом случае определяются однозначно.

Предложение 8. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Источник