Что называется конъюнкцией двух высказываний р и q

Лекция 8. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Лекция 8. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний.

КОНЪЮНКЦИЕЙ (или логическим произведением) двух высказываний называется высказывание «А и В», которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны ( А истинно и В истинно). Во всех остальных случаях высказывание «А и В» ложно.

Для задания таких связок удобно записывать таблицы истинности:

Согласно определению, конъюнкция двух элементарных высказываний истинна только в том случае, когда истинны оба высказывания, ее образующие (строка 1), и ложна в любом другом случае (строка2,3,4).

КОНЪЮНКЦИЯ А = истинна только тогда, когда Петя любит физику, а математику не любит. В остальных трех случаях, т.е. когда Петя:

не любит математику и не любит физику,

любит математику и физику,

любит математику, но не любит физику

высказывание А В ложно.

Достаточно часто для выражения конъюнкции вместо союза «и» используются союзы «а», «но», «хотя», «однако» и др. Но союз «и» не всегда обозначает конъюнктивную связь предложений. Рассмотрим два высказывания: «7и13 – взаимно простые числа». Здесь первое предложение – сокращенная запись конъюнкции «7 – простое число и 13 – простое число». Второе предложение – элементарное, которое выражает отношение между двумя числами 7 и 13, состоящее в том, что у них нет общего делителя, отличного от единицы. Значит, во втором предложении союз «и» связывает не два суждения, а два предмета, которые находятся в определенном соотношении. Логический союз «и» отличается от грамматического союза «и» еще и тем, что грамматическим союзом «и» соединяют суждения, имеющие между собой что-нибудь общее по содержанию, а логический союз «и» может соединять любые суждения. Например, суждение «Т.Г. Шевченко – поэт и число 3201 делится на 3» в логике являются истинными, так как единственным условием для того, чтобы конъюнктивное суждение было истинным, является истинность его составных суждений.

Таблица истинности для дизъюнкции имеет вид:

Дизъюнкция А VВ = будет истинной, если на первом уроке будет литература (вторая строка таблицы истинности) или математика (третья строка таблицы истинности), и ложной, если на первом уроке будет любой другой предмет или если урока вообще не будет (четвертая строка таблицы истинности).

Согласно Единой спортивной квалификации и высказывание А, и высказывание В истинны, следовательно, и дизъюнкция их истинна (1-я строка таблицы истинности).

Как видно из приведенных примеров, для образования дизъюнкции используется союз «или». В обычной речи этот союз чаще всего имеет разделительный смысл (как в примере 1: либо математика, либо литература), но не всегда. В примере 2 союз «или» лишен разделительного оттенка: шахматист одновременно может набрать 11,5 очка и занять 1-е место.

В математике союз «или» всегда понимается в широком смысле.

Задания для самостоятельной работы по теме:

Определите значение истинности следующих высказываний:

а) «Париж расположен на Сене и 2+3=4»;

б) «Число 4 – простое и это число четное»;

в) «Днепропетровск – столица Украины и Миссисипи протекает в Австралии»;

2. Составьте 2-4 сложных высказывания на конъюнкцию, определите их истинность.

3. Определите значение истинности высказываний А,В, если:

4. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции условие истинности каждого предложения

(а, в ϵ R ): а) а×в≠0; б) а÷в=0; в) а 2 + в 2 = 0;

Определите значение истинности следующих высказываний:

а) «Число 4 простое или это число четное»;

б) «2 + 2 = 4 или белые медведи живут в Африке»;

в) «2 + 2 = 5 или Днепр впадает в белое море»;

г) «2 + 2 = 4 или Днепр впадает в Черное море».

5. Составьте 2-4 сложных высказывания на дизъюнкцию, определите их истинность.

6. Определите значение истинности высказываний С и D, если:

7. Сформулируйте и запишите в виде дизъюнкции условие истинности каждого предложения (а, в ϵ R ):а) а × в = 0, б) >2.

Источник

Конъюнкция и дизъюнкция высказываний

Рассмотрим составное высказывание, которое образуется из элементарных высказываний с помощью союза «и».

Союз «и» в русском языке имеет различные смысловые оттенки. Например, предложение «Кубик маленький и красный» будет истинным, если истинны оба составляющих предложения. А предложение «На этих местах сидят дети и инвалиды» истинно, если истинно хотя бы одно из составляющих предложений. В математической речи союз «и» употребляется только в первом смысле.

Пусть даны высказывания А и В.

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно, когда истинны оба данные высказывания одновременно.

Конъюнкция высказываний А и В обозначается: АÙВ. Читаем: «Конъюнкция высказываний А и В» или «А и В».

Название «конъюнкция» произошло от латинского слова «conjunctio», что означает «союз, связь или единение». Определение конъюнкции высказываний А и В можно записать в следующей таблице.

Замечание. В этой таблице, кроме первой строки для обозначения высказываний, еще – 4 строки для комбинаций значений истинности высказываний А и В. Для подсчета числа комбинаций используется комбинаторная задача – размещение с повторениями, т.к. мы два значения истинности («и» или «л») распределяем на два высказывания.

Используя формулу для подсчета числа размещений с повторениями Ā =m , получаем Ā = 2² = 4. Если данных высказываний будет 3, то комбинаций (строк) будет 8 по той же формуле Ā = 2³ = 8. Для четырех данных высказываний число комбинаций значений истинности и, соответственно, число строк будет равно уже 16, т.к. Ā = 2 = 16.

1. Составное высказывание «Число 2 чётное и простое» будет истинным, т.к. оно является конъюнкцией двух истинных высказываний «Число 2 чётное» и «Число 2 простое».

2. Составное высказывание «Число 14 четное и простое» будет ложным, т.к. оно представляет собой конъюнкцию двух высказываний «Число 14 четное» и «Число 14 простое», из которых первое истинно, а второе ложно.

3. Составное высказывание «8

Например, «Число 16 делится не только на 2, но и на 4».

Рассмотрим составное высказывание, которое образуется из элементарных высказываний с помощью союза «или».

Предложение «Идет дождь или светит солнце» будет истинным, если истинно хотя бы одно из составляющих предложений, причем не исключается возможность истинности обоих предложений. Именно в этом смысле понимается союз «или» и в математическом языке.

Пусть даны высказывания А и В.

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.

Дизъюнкция высказываний А и В обозначается: А В.Читаем: «Дизъюнкция высказываний А и В» или «А или В».

Название «дизъюнкция» произошло от латинского слова «disjunctio», что означает «разделение, разобщение».

Определение дизъюнкции высказываний А и В можно записать в следующей таблице.

А	В	А В
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

1. Составное высказывание «Число 14 чётное или простое» будет истинным, т.к. оно представляет собой дизъюнкцию высказываний «Число 14 чётное» и «Число 14 простое», где первое – истинно, а второе – ложно.

2. Составное высказывание «Число 36 делится на 6 или на 9» будет также истинным, т.к. оно является дизъюнкцией двух истинных высказываний «Число 36 делится на 6» и «Число 36 делится на 9».

3. Составное высказывание «4≥6» будет ложным, т.к. оно представляет собой дизъюнкцию двух ложных высказываний «4>6» и «4=6».

4. Пример использования составного высказывания «А или В» в работе с детьми дошкольного возраста. Наглядный материал изображён на рисунке 17:

Задание ребенку: «Возьми фигуру, похожую на яблоко по цвету или по форме».

Элементарные предложения: А – «форма как у яблока», В – «цвет как у яблока».

Выбор ребенка	Значение истинности элементарных предложений	Оценка воспитателя
А	В
	и	и	«правильно»
	и	л	«правильно»
	л	и	«правильно»
	л	л	«неправильно»

Замечание. Определения конъюнкции и дизъюнкции двух высказываний можно обобщить на n составляющих их высказываний.

Конъюнкцией высказываний A , А , …, А называется высказывание, которое истинно, когда истинны все данные высказывания одновременно.

Дизъюнкцией высказываний A , А , …, А называется высказывание, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.

Для операций конъюнкции и дизъюнкции высказываний выполняются одинаковые законы, поэтому рациональнее рассматривать их одновременно.

I. Закон коммутативности

а) конъюнкции высказываний: ( A,B)(A B=B A),

б) дизъюнкции высказываний: ( A,B)(A B=B A).

I а) читаем: «Для любых высказываний А и В конъюнкция высказываний А и В равносильна конъюнкции высказываний В и А».

I б) читаем: «Для любых высказываний А и В дизъюнкция высказываний А и В равносильна дизъюнкции высказываний В и А».

Название этого закона произошло от латинского слова «commutatio», что означает «перемена», поэтому закон иначе называется переместительным (от перемены мест высказываний конъюнкция или дизъюнкция не меняется).

Доказательство законов Iа и Iб проводят в таблицах истинности.

А	В	AB	BA	А	В	AB	BA
и	и	и	и	и	и	и	и
и	л	л	л	и	л	и	и
л	и	л	л	л	и	и	и
л	л	л	л	л	л	л	л

Сравнивая в этих таблицах значения истинности для результатов операций AB и BA (AB и BA) по строкам, убеждаемся, что эти значения совпадают, следовательно, составные высказывания AB и BA (AB и BA) равносильны, а равенства: AB = BA и AB = BA верны.

II. Закон ассоциативности

а) конъюнкции высказываний: ( A,B,C)[A (B C)=(A B) C],

б) дизъюнкции высказываний: ( A,B,C)[A (B C)=(A B) C].

II а) читаем: «Для любых высказываний А, В и С конъюнкция высказывания А с конъюнкцией высказываний В и С равносильна конъюнкции высказывания С с конъюнкцией высказываний А и В».

II б) читаем: «Для любых высказываний А, В и С дизъюнкция высказывания А с дизъюнкцией высказываний В и С равносильна дизъюнкции высказывания С с дизъюнкцией высказываний А и В».

Название закона произошло от латинского слова «associatio», что означает «сочетание, соединение», поэтому он иначе называется сочетательным (от перемены мест скобок конъюнкция или дизъюнкция не меняется).

В следующей таблице истинности докажем закон II а.

А	В	С	BC	A(BC)	AB	(AB)C
и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	л	л	и	л
и	л	и	л	л	л	л
и	л	л	л	л	л	л
л	и	и	и	л	л	л
л	л	и	л	л	л	л
л	л	л	л	л	л	л

Сравнивая в этой таблице по строкам значения истинности для результатов операций A(BC) и (AB)C (столбцы, помеченные знаком «*»), убеждаемся, что эти значения совпадают, следовательно, равенство A(BC)=(AB)C – верно.

Закон II б предлагается доказать самостоятельно.

III. Закон дистрибутивности

а) конъюнкции относительно дизъюнкции: ( A,B,C)[A (B C)= (A B) (А C)],

б) дизъюнкции относительно конъюнкции: ( A,B,C)[A (B C)= (A В) (A C)].

Название закона произошло от латинского слова «distributio», что означает «распределение», поэтому иначе его называют распределительным законом.

III а) читаем: «Для любых высказываний А, В и С конъюнкция высказывания А с дизъюнкцией высказываний В и С равносильна дизъюнкции конъюнкции А и В с конъюнкцией высказываний А и С».

III б) читаем: «Для любых высказываний А, В и С дизъюнкция высказывания А с конъюнкцией высказываний В и С равносильна конъюнкции дизъюнкции А и В с дизъюнкцией А и С».

Докажем закон IIIа дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции, используя таблицу истинности и определения операций конъюнкции и дизъюнкции.

А	В	С	BC	A(BC)	AB	AС	(AB)(АC)
и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	и	и	л	и
и	л	и	и	и	л	и	и
и	л	л	л	л	л	л	л
л	и	и	и	л	л	л	л
л	и	л	и	л	л	л	л
л	л	и	и	л	л	л	л
л	л	л	л	л	л	л	л

Сравнивая по строкам значения истинности для результатов операций A(BC) и (AB)(АC) (столбцы, помеченные знаком «*»), убеждается, что все значения совпадают, значит составные высказывания A(BC) и (AB)(АC) равносильны и равенство A(BC) = (AB)(АC) – верно.

Закон III б предлагается доказать самостоятельно.

IV. Законы де Моргана

а) отрицание конъюнкции: ( A,B) ( =`А `B),

б) отрицание дизъюнкции: ( A,B)( =`А `B).

IV а) читаем: «Для любых высказываний А и В отрицание конъюнкции высказываний А и В равносильно дизъюнкции отрицаний высказываний А и В».

IV б) читаем: «Для любых высказываний А и В отрицание дизъюнкции высказываний А и В равносильно конъюнкции отрицаний высказываний А и В».

Доказательство этих законов выполнено в следующих таблицах.

А

В

AB

Ā

`В

`А `B

А

В

AB

Ā

`В

`А `B

и

и

и

л

л

л

л

и

и

и

л

л

л

л

и

л

л

и

л

и

и

и

л

и

л

л

и

л

л

и

л

и

и

л

и

л

и

и

л

и

л

л

л

л

л

и

и

и

и

л

л

л

и

и

и

и

Сравнивая по строкам значения истинности для результатов операций и `А `B в левой таблице (и `А `B – в правой таблице) в столбцах, отмеченным знаком «*», убеждаемся, что все значения совпадают, значит, законы де Моргана доказаны.

Рассмотрим применение этих законов на следующих примерах.

Источник