Что называется испытанием опытом приведите примеры
Испытания и события
Основные понятия теории
Вероятностей
Испытания и события
Испытание (опыт, эксперимент) – реализация определенного комплекса условий, который может быть повторен неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которых в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.
Пример:
1. Подбрасывание монеты.
2. Стрельба по некоторой цели.
Событие – всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, или другими словами – это результат опыта независимо от его значения.
Пример:
1. При подбрасывании монеты событием может быть выпадение «герба», выпадение «цифры».
2. При стрельбе по некоторой цели событием может быть поражение цели, промах, поражение определенного сектора цели.
События относительно их появления подразделяется на три группы:
Достоверное событие – событие, которое всегда произойдет в результате испытания.
Пример:
1. При подбрасывании монеты выпадение «герба» или «цифры» есть событие достоверное.
2. При наблюдении за состоянием воды в сосуде при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 0 С событие «вода в сосуде находиться в жидком состоянии» есть событие достоверное.
Невозможное событие – событие, которое никогда не произойдет в результате испытания.
Пример:
1. При подбрасывании монеты выпадение «герба» и «цифры» является событиями невозможным.
2. При наблюдении за состоянием воды при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 0 С событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» является событием невозможным.
Случайное событие – событие, которое в результате испытания может произойти или не произойти, либо при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.
Пример:
1. При бросании игральной кости выпадение 6-ти очков есть событие случайное.
2. При стрельбе по цели поражение цели, попадание в определенный сектор цели являются случайными событиями.
События как объекты исследования разделяются на две группы:
Простое событие (элементарный исход) – один из возможных результатов опыта, исключающий появление других результатов. Другими словами простое событие – это результат одного и только одного опыта.
Пример:
2. При одновременном подбрасывании двух монет выпадение двух «гербов», выпадение двух «цифр» являются простыми событиями.
Сложное событие – событие, которое можно разложить на простые события. Другими словами сложное событие – это комбинация простых событий с помощью логических операций.
Пример:
1. При подбрасывании одной монеты выпадение «герба» или «цифры», а также выпадение «герба» и «цифры» есть сложные события.
2. При одновременном подбрасывании двух монет выпадение «герба» на любой из монет – это сложное событие.
События по отношению друг к другу подразделяются на :
7) образующие полную группу;
События называются несовместными,если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пример:
2. Попадание и промах при одном выстреле – несовместные события.
3. Ни одного попадания, одно попадание, два попадания – несовместные события при двух выстрелах по мишени.
События называются совместными,если появление одного события не исключает появления других событий в данном испытании.
Пример:
2. При одновременном подбрасывании монеты и игральной кости события «выпадения 2-х очков» и «выпадение герба» являются совместными.
События в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример:
1. Выпадение «герба», выпадение «цифры» при бросании монеты один раз.
2. Появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при однократном бросании игральной кости.
3. Появление карты бубновой, червовой, трефовой, пиковой масти при вынимании карты из колоды.
Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.
Пример:
1. Выпадение «герба», выпадение «цифры» при бросании монеты образуют
полную группу событий.
2. Попадание, промах при выстреле – полная группа событий.
4. Появление не менее 3-х очков, появление не более 4-х очков при бросании игральной кости образуют полную группу событий.
Противоположными называются два несовместных события, образующих полную группу. Иногда говорят, событие 
называется противоположным событию 
, если оно состоит в не появлении события 
.
Пример:
1. Безотказная работа всех элементов технической системы, отказ хотя бы одного элемента – противоположные события.
2. Обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии, обнаружение не более одного бракованного изделия – противоположные события.
Вероятность
Определение. Вероятность события – это численная мера степени возможности этого события.
Вероятность события 
обозначается 
. Свойства вероятности:
1.Вероятность достоверного события равна 1.
2.Вероятность невозможного события равна 0.
3. Вероятность случайного события есть положительное число между 0 и 1.
,
где — случайное событие.
4. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
,
где 
— любое событие.
Дата добавления: 2015-11-18 ; просмотров: 3831 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
ИСПЫТАНИЯ И СОБЫТИЯ. ВИДЫ СОБЫТИЙ
К основным понятиям теории вероятности относятся испытания и события.
Под испытанием понимают осуществление некоторого комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие. Случайным событием называют такое событие, которое может произойти или не произойти в результате данного испытания.
Случайные события обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C, D и т.д. Например, событие А – «выпадение герба при подбрасывании монеты», событие В – «выпадение решки при подбрасывании монеты».
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.
Например, подбрасывание игральной кости – испытание, выпадение целого числа от 1 до 6 – достоверное событие.
Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате данного испытания.
Например, подбрасывание игральной кости – испытание, выпадение 0, выпадение 10 – невозможные события.
События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться одновременно. Если события могут произойти одновременно, то они называются совместными.
Например, подбрасывание игральной кости – испытание, событие А – «выпадение 2», событие В – «выпадение 3», событие С – «выпадение четного числа очков». События А и В, В и С– несовместные, т.к. они не могут произойти одновременно, а события А и С – совместны, т.к. могут произойти одновременно при выпадении числа 2.
События называют равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие.
Так в предыдущем примере события А и В равновозможны, а события В и С, А и С неравновозможны в силу условий проведения испытания.
Множество, элементами которого являются все несовместные равновозможные исходы данного испытания, называют пространством элементарных исходов (событий) и обозначают Ω.
Например, при подбрасывании игральной кости пространство W элементарных событий состоит из шести точек: Ω = <1, 2, 3, 4, 5, 6>(выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6).
Контрольные вопросы:
1. Перечислите основные понятия теории вероятностей.
2. Что в теории вероятностей называют испытанием?
3. Какое событие называют случайным? Приведите примеры случайных событий.
4. Какое событие называют достоверным? Приведите примеры достоверных событий.
5. Какое событие называют невозможным? Приведите примеры невозможных событий.
6. В каком случае два события являются попарно совместными? Приведите примеры двух совместных событий.
7. В каком случае два события являются попарно несовместными? Приведите примеры двух совместных событий.
8. В каком случае два события называются равновозможными? Приведите примеры двух равновозможных событий.
9. В каком случае два события называются неравновозможными? Приведите примеры двух неравновозможных событий.
10. Что называют пространством элементарных исходов?
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Испытания и события. Виды случайных событий. Действия над событиями.
Опытом или испытанием называется всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием.
Например, стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие.
Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте.
Например, если в ящике находятся только голубые шары, то событие «из ящика извлечен голубой шар» является достоверным.
Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в этом опыте. Так, если в ящике находятся только красные шары, то событие «из ящика извлечен голубой шар» является невозможным.
Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте. Случайными событиями являются «выпадение орла при бросании монеты», «выигрыш по лотерейному билету», «увеличение курса доллара в следующем месяце» и т. д.
Одно и то же событие на некотором опыте может быть достоверным, в другом – невозможным, в третьем – случайным.
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте. Например, в магазин вошел покупатель. События «в магазин вошел покупатель старше 50 лет» и «в магазин вошла женщина» – совместные, т. к. в магазин может войти женщина старше 50 лет.
Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Например, несовместными являются попадание и промах при одном выстреле. Несколько событий называются несовместными, если они попарно-несовместны.
Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают 
. Например, если 
– «попадание», то 
– «промах» при одном выстреле по мишени.
Множество событий А1, А2, … Аn называют полной группой событий, если они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием. Рассмотрим события, появляющиеся при подбрасывании игрального кубика, т. е. кубика, на гранях которого записаны цифры от 1 до 6. Когда кубик упадет, то верхней гранью окажется грань с одной из этих цифр. Событие: «верхней гранью оказалась грань с цифрой к» обозначим через Ак, 
. События А1, А2, А3, А4, А5, А6 образуют полную группу. Они попарно несовместны, появление одного и только одного из них является достоверным событием.
События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие А (появление цифры) и событие В (появление герба) равновозможны, т. к. предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты (герб или цифра) окажется верхней.
Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом или элементарным событием. Например, события А1, А2, А3, А4, А5, А6 – элементарные исходы при подбрасывании кубика.
Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. Так, при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы А2, А4, А6 являются благоприятствующими событию «Выпало четное число очков».
Суммой, или объединением двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается через А+В или 
. Аналогично определяется и обозначается сумма n событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.
В частности, если два события А и В несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.
Произведением, или пересечением, двух событий, называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается через 
или 
. Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего числа событий. Например, если при выборе одного числа от 1 до 13 событие А означает выбор четного числа, событие В – выбор числа, кратного 3. Тогда событие означает выбор числа, кратного и 2 и 3 одновременно, т. е. событие состоит из элементарных событий – выбор одного из чисел 6, 12.
Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что наступает событие А и не происходит событие В. Разность событий А и В обозначается так: 
, или А \ В.
Пример 1.1.Взятая наугад деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С) сорта. Что представляют собой следующие события:
а) событие А+В состоится при наступлении хотя бы одного из событий А и В. Следовательно, А+В в нашем случае – деталь первого или второго сорта;
б) так как А+С – деталь первого или третьего сорта, то противоположное этому событие 
– деталь второго сорта;
г) событие АВ+С как сумма невозможного события и события С равно С, т. е. АВ+С – деталь третьего сорта.
Если событие А обязательно произойдет при появлении некоторого другого события В, то говорят, что событие В представляет собой частный случай события А, и пишут 
или 
(говорят также, что В влечет А). Если 
т. е. события А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными, или эквивалентными, и пишут А=В.
Пример 1.2.Пусть производится выбор одного из чисел от 1 до 100. Пусть событие В означает выбор четного числа, событие А – выбор числа, кратного 10. Тогда 
так как каждое число, кратное 10, является четным.
Пример 1.3.Пусть производится выбор одного из чисел от 1 до 100. Если событие В – выбор числа, кратного 3, а событие А – это выбор числа, сумма цифр которого делится на 3, то А=В по признаку делимости на 3.
Операции над событиями можно представить как операции над множествами. При этом события представляются подмножествами некоторого множества 
. Сумме событий А+В соответствует объединение этих подмножеств, а их произведению – пересечение . Достоверное событие представляется множеством , а невозможное событие – пустым подмножеством в нем. Несовместность событий А и В означает, что соответствующие подмножества А и В не пересекаются: 
Ø. Событие , противоположное событию А, является дополнением к событию А во множестве . Эти операции в графическом виде иллюстрируются диаграммами Венна:
Вопросы для самопроверки
1. Что называется опытом, или испытанием?
2. Что называется событием?
3. Какое событие называется достоверным?
4. Какое событие называется невозможным?
5. Какое событие называется случайным?
6. Какие события называются совместными?
7. Какие события называются несовместными?
8. Какие события называются противоположными?
9. Какие события считают равновозможными?
10. Что называется полной группой событий?
11. Что называется элементарным исходом?
12. Какие элементарные исходы называются благоприятствующими данному событию?
13. Что называется суммой, или объединением, событий?
14. Что называется произведением, или пересечением, событий?
Основные понятия теории вероятностей
Что нужно знать
Это самая первая, вводная статья по теории вероятностей. Сама наука является достаточно самостоятельным разделом математики, и, чтобы понять её основы (а также для того, чтобы научиться решать простейшие задачи вроде задания 4 из ЕГЭ), нужно лишь уметь совершать арифметические действия с числами и дробями. Так что, если вам тяжело даются логарифмы и тригонометрия или совершенно непонятна производная, это никак не помешает вам разобраться в теории вероятностей.
Что вы узнаете
Что такое испытание и исход
Испытанием в теории вероятностей называют какой-нибудь эксперимент (не обязательно научный). Например, подбросили монетку — испытание. Вытянули лотерейный билет — испытание. Провели жеребьёвку спортивного соревнования — тоже испытание. Вообще говоря, эксперимент должен быть повторяемым. То есть, чтобы мы могли говорить о вероятности, у нас должна быть возможность провести эксперимент не один (а если совсем строго, то сколько угодно) раз.
Если есть эксперимент, есть и возможные результаты — то, чем он может закончиться. Список возможных результатов можно составлять по-разному, но стандартный способ — выбрать максимальное дробление результатов. Например, при бросании кубика можно сказать, что есть два результата: <выпало 6 6 6 > и <выпало не 6 6 6 >, — но это не очень удобно, так как второй результат можно раздробить на более мелкие. Составляя список возможных результатов, мы должны также помнить, что два результата никогда не могут случиться одновременно (условие взаимоисключения).
На столе лежит колода карт, а мы вытягиваем оттуда одну карту. Это пример случайного испытания. У этого испытания 5 2 52 5 2 исхода, так как мы можем вытянуть любую из 5 2 52 5 2 карт (в каждой из четырех мастей 1 3 13 1 3 карт от двойки до туза).
Бросок обыкновенного игрального кубика является классическим примером испытания. Сколько исходов возможно у этого испытания?
Важно понимать, что список возможных результатов мы очерчиваем сами (исходя из «здравого смысла»). Так, при броске монеты мы считаем «возможным», что она упадёт вверх аверсом («орлом») или вверх реверсом («решкой»), просто не рассматривая возможности того, что монета встанет на ребро, будет проглочена пролетающей птицей и т.п. В то же время мы считаем несущественным, упадёт монета на стол или на пол, со звоном или бесшумно и пр.; мы ограничили себя двумя интересующими нас исходами.
Рассмотрим чуть более сложный пример: мы одновременно подкинули монету и бросили игральный кубик. Сколько (и каких) исходов у этого испытания?
Для ответа на этот вопрос попробуем составить список результатов. Для монеты: Орёл (О) и Решка (Р). Для кубика: 1, 2, 3, 4, 5, 6. А теперь посмотрим, что может быть с кубиком, если монета выпала на Орла? Но ведь кубику в некотором смысле «всё равно», как выпала монета (в теории вероятностей это называется «независимые события», но об этом позже). То есть для него по-прежнему возможны все 6 вариантов. То же самое и если она выпала на Решку. Значит, можно перечислить все возможные исходы подряд, в виде «результат монеты» — «результат кубика». Сделаем это:
| О — 1 | О — 2 | О — 3 | О — 4 | О — 5 | О — 6 | всего 6 |
| Р — 1 | Р — 2 | Р — 3 | Р — 4 | Р — 5 | Р — 6 | всего 6 |
Представим следующее испытание: два игральных кубика бросают одновременно. Сколько исходов будет в этом случае?
Что такое случайное событие
Случайное событие — это подмножество множества исходов испытания.
Из скольки исходов состоит случайное событие «выпал дубль» (то есть одинаковые числа на кубиках) при испытании «бросание двух кубиков одновременно»?
Попробуйте ответить на вопрос посложнее:
Из скольки исходов состоит случайное событие «сумма очков на двух кубиках меньше 4»? Испытание то же — два кубика бросают одновременно.
Как считать вероятность события
Исходы, входящие в событие, называются благоприятными для этого события.
Прежде чем перейти к классическому определению вероятности, заметим, что для его применения требуется выполнение определённого условия — равновозможности всех исходов. Это условие может быть недостаточно строго определено, но интуитивно оно понятно. Например, если в качестве исходов при бросании монеты выбрать «орёл», «решка» и «ребро», то классическое определение вероятности применять нельзя, так как шансы на последний исход меньше, чем на первые два. А если выбрать только «орёл» и «решка», то можно — ведь нет никаких оснований считать один исход более частым, чем другой.
Итак, пусть у нас есть испытание с определённым набором равновозможных исходов. Вероятностью некоторого случайного события называется отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов испытания.
P < Событие A >= Число исходов, благоприятных для A Общее число исходов P\<\text<Событие >A\>=\frac <\text<Число исходов, благоприятных для >A><\text<Общее число исходов>> P < Событие A >= Общее число исходов Число исходов, благоприятных для A
Конечно, «в жизни» в основном встречаются ситуации, когда одни исходы встречаются чаще других, и тогда нужно использовать скорректированное определение вероятности. Но в школьных задачах исходы всегда одинаково ожидаемы, так что для нахождения вероятности нужно только правильно посчитать количество исходов, входящих в событие, и общее количество исходов испытания, после чего поделить одно на другое.
Рассмотрим пример. Из стандартной колоды карт (от двойки до туза) наугад вытащили одну карту. Какова вероятность, что эта карта — с цифрой?
Чему равна вероятность достоверного события?
Попробуйте решить несложную задачу, чтобы убедиться, что всё понятно.
В классе 21 человек, среди них 2 Саши. Классный руководитель назначил дежурной Настю и случайным образом выбирает ей напарника. Какова вероятность, что напарником окажется Саша? (Запишите ответ в виде десятичной дроби.)
Эту статью написал для вас Сергей Вальковский, учитель математики Центра образования «Пятьдесят седьмая школа», Москва.