Что называется графиком числовой функции
Построение графиков функций
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.
Задача 1. Построим график функции 
Упростим формулу функции:
Задача 2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции 
Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.
Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b
| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Лекция по математике «Числовая функция, ее свойства и графики».
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Тема: Числовые функции, их свойства и графики
Тип урока: урок-лекция.
Целевая аудитория : обучающиеся 1 курса специальностей СПО 151031, 190631.
образовательные : систематизировать имеющиеся знания в области числовых функций и их свойств, научиться исследовать графики функций по их свойствам.
развивающие : формировать умения анализировать свойства функций на основе имеющихся знаний, формировать аналитическое мышление, развивать навыки по применению знаний в различных ситуациях.
воспитательные : формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
Метод обучения : объяснительно-иллюстративный.
Формы обучения : фронтальная, индивидуальная.
Оборудование : доска, проектор, экран. (Лекция построена исходя из реальных возможностей учебного кабинета. При наличии интерактивной доски необходимо работу с графиками проводить с ее помощью).
Приложение: презентация «Свойства числовой функции».
1. Организационный этап.
Приветствие, проверка присутствия на уроке, целеполагание.
2. Изложение теоретического материала
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Способы задания функции.
аналитический способ (с помощью математической формулы);
табличный способ (с помощью таблицы);
описательный способ (с помощью словесного описания);
графический способ (с помощью графика).
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Значение Y max =f(X max ) называется максимумом этой функции.
Х max – точка максимума
Значение Y min =f(X min ) называется минимумом этой функции.
X min – точка минимума
Нулём функции y=f(x) называется такое значение аргумента x 0 , при котором функция обращается в нуль.
Линейная функция y=kx+m
Свойства функции y=kx+m
2) возрастает, если k>0, убывает, если k
3) не ограничена ни снизу, ни сверху;
4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5) функция непрерывна
2) убывает на луче (−∞;0], возрастает на луче [0;+∞);
3) ограничена снизу, не ограничена сверху;
4) y наим =0, наибольшего не существует;
5) функция непрерывна;
2) возрастает на луче (−∞;0], убывает на луче [0;+∞);
3) не ограничена снизу, ограничена сверху;
4) наименьшего значения не существует, y наиб =0;
5) функция непрерывна;
Свойства функции y=k/x
2) если k>0, то функция убывает на открытом луче (−∞;0) и на открытом луче (0;+∞); если k
3) не ограничена ни снизу, ни сверху;
4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5) функция непрерывна на открытом луче (−∞;0) и на открытом луче (0;+∞);
Свойства функции y=√x
3) ограничена снизу, не ограничена сверху;
4)y наим =0, наибольшего не существует;
5) функция непрерывна;
Графиком функции является объединение двух лучей : y=x,x≥0 и y= −x, x≤0.
Свойства функции y=|x|
2) убывает на луче (−∞;0], возрастает на луче [0;+∞);
3) ограничена снизу, не ограничена сверху;
4) y наим =0, наибольшего не существует;
5) функция непрерывна;
Графиком функции y=ax 2 +bx+c является парабола с вершиной в точке (x 0 ;y 0 ), где x 0 =−b/2a,y 0 =f(x 0 )=ax 0 2 +bx 0 +c, и с ветвями направленными вверх, если a>0, и вниз, если a
Свойства функции y=ax 2 +bx+c
2) убывает на луче (−∞;−b/2a], возрастает на луче [−b/2a;+∞);
3) ограничена снизу, не ограничена сверху;
4) y наим =y0, наибольшего не существует;
5) функция непрерывна;
2) возрастает на луче (−∞;−b/2a], убывает на луче [−b/2a;+∞);
3) не ограничена снизу, ограничена сверху;
4) наименьшего значения не существует, y наиб =y0;
5) функция непрерывна;
3. Подведение итогов учебного занятия.
1. Что такое числовая функция?
2. Назовите способы ее задания.
3. Назовите основные свойства числовой функции.
4. Перечислите элементарные функции, изученные на уроке.
4. Домашнее задание.
Пользуясь теоретическим материалом лекции (основными свойствами функции), выполнить следующее:
1) построить графики функций: а) y =3 x 2 б) y =-5/ x
2) Записать их свойства, используя построенные графики.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Разработка урока-лекции по теме «Числовые функции их свойства и графики» с презентацией. Урок проводится на первом курсе технических специальностей среднего профессионального образования.
· образовательные : систематизировать имеющиеся знания в области числовых функций и их свойств, научиться исследовать графики функций по их свойствам.
· развивающие : формировать умения анализировать свойства функций на основе имеющихся знаний, формировать аналитическое мышление, развивать навыки по применению знаний в различных ситуациях.
· воспитательные : формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
Метод обучения : объяснительно-иллюстративный.
Формы обучения : фронтальная, индивидуальная.
Оборудование : доска, проектор, экран. (Лекция построена исходя из реальных возможностей учебного кабинета. При наличии интерактивной доски необходимо работу с графиками проводить с ее помощью).
Номер материала: 317617
Не нашли то что искали?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Исследования вакцины для детей младше 12 лет начнутся с 2022 года
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Утверждено стратегическое направление цифровой трансформации образования
Время чтения: 2 минуты
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Апробацию новых учебников по ОБЖ завершат к середине 2022 года
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.