Что называется главным вектором

Главный вектор и главный момент плоской системы сил

Рассмотрим плоскую систему сил ( ), действующих на твердое тело в координатной плоскости 0XY (рис.1.29).

Главным вектором системы сил называется вектор , равный векторной сумме этих сил:

Для плоской системы сил её главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Модуль R главного вектора плоской системы сил вычисляется по следующим формулам:

,

(1.28)

Главным алгебраическим моментом М₀ плоской системы сил, называют сумму алгебраических моментов этих сил относительно некого центра (точки 0).

Величина M₀ может быть вычислена по формуле:

К вершинам квадрата со стороной a = 0.5(м) приложены силы: F₁ = 4(Н); F₂ = F₃ = 8(Н); F₄ = 12(Н). Определить главный вектор этой системы сил и её главный алгебраический момент относительно центра квадрата 0.

Решение. Введем координатную систему 0XY, оси которой параллельны сторонам квадрата.

Вычисление главного алгебраического момента M₀ проведем с использованием плеч сил F₁ и F₄, равных половине длины стороны квадрата (a/2):

Таким образом, для заданной системы сил её главный вектор равен по модулю R = 8(Н) и направлен вдоль оси 0X, а её главный алгебраический момент M₀ = 0.

Замечание. В случае, когда главный алгебраический момент M₀ = 0, главный вектор R является равнодействующей силой заданной системы сил.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое главный вектор системы сил?

2. Сформулируйте определение для главного момента системы сил.

3. Зависят ли значения главного вектора и главного момента системы сил от выбора центра?

Источник

Главный вектор и главный момент сил.

Связи и реакции связей.

Связь осуществляется при помощи гибкого тела, нити, каната или троса. Реакция такой связи приложена к телу в точке прикрепленной к нему нити. Перечислим некоторые типы связей, предполагая, что они изготовлены из абсолютно твердых материалов и трение в местах их соприкосновения с рассматриваемыми телами отсутствует.

2)Шарнирное соединение тел (сферический шарнир, шарнирная опора неподвижная).

Система сходящихся сил.

Системой сходящихся сил наз-ют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Сходящиеся системы сил могут быть пространственными или плоскими, расположенные в одной плоскости.

Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

Момент силы относительно точки и оси.

Моментом силы относительно точки называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.Численное значение момента силы F относительно точки О будем обозначать mo(F). Тогдаmo(F) = ±Fh.Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина момента проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения этой плоскости с осью. Момент силы F относительно оси считается положительным, если наблюдатель, смотрящий с положительного направления оси, видит поворот, совершаемый составляющей Fxy силы F, происходящим против хода часовой стрелки.Из определения момента силы относительно оси следует

9Приведение к равнодействующей силе сходящихся сил.

Сложить 2 силы или неск. сил – это значит найти их равнодействующую. Задача о сложении 2х сил, приложенных к тв. телу в одной точке решается на основании правила параллелограмма.

Системой сходящихся сил называют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке

Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

.величина равнодействующей определится следующей формулой:

Для определения направления равнодействующей к воспользуемся обычными выражениями для направляющих косинусов:

Пара сил и ее момент.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на тело. Действие пары сил на тело сводится к вращательному эффекту. Для характеристики этого эффекта вводится понятие момента пары.:Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы модуль векторного момента эквивалентной пары сил был равен нулю или чтобы векторный многоугольник, построенный на векторных моментах заданных пар сил, был замкнут.Момент пары считается положительным, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.

Главный вектор и главный момент сил.

Главным вектором системы сил называют вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки O тела называют сумму векторных моментов всех сил системы относительно этой точки. Таким образом, основную теорему статики (теорему Пуансо) в краткой форме можно выразить так: Каждую систему сил можно привести к главному вектору и главному моменту относительно произвольного центра.

Источник

Главный вектор и главный момент

Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил:

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор LO, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор LO при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Для плоской системы сил вместо векторного главного момента используют понятие алгебраического главного момента. Алгебраическим главным моментом LO плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов этих сил относительно центра О.

Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил,необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно произвольного центра О были равны нулю:

Вытекающие отсюда аналитические условия равновесия (уравнения равновесия) пространственной системы сил можно сформулировать следующим образом:

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и сумма их моментов относительно этих осей были равны нулю:

Fix = 0; Fiy = 0; Fiz = 0;

MOx(Fi) = 0; MOy(Fi) = 0; MOz(Fi) = 0.

Если на тело кроме сил действуют пары сил, заданные их векторными моментами Mk, то при этом вид первых трех уравнений равновесия не изменится (сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю), а в последние три уравнения добавляются суммы проекций векторов Mk на координатные оси:

MOx(Fi) + Mkx = 0; MOy(Fi) + Mky = 0; MOz(Fi) + Mkz = 0.

Уравнения равновесия твердого тела под действием произвольной плоской системы сил

Вытекающие отсюда аналитические условия равновесия (уравнения равновесия) плоской системы сил можно сформулировать в следующих трех формах:

Основная форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей и сумма их алгебраических моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

Fix = 0; Fiy = 0; MO(Fi) = 0. (I)

Вторая форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ox, не перпендикулярную оси Ox, были равны нулю:

Fix = 0; MА(Fi) = 0; MВ(Fi) = 0. (II)

Третья форма уравнений равновесия (уравнения трех моментов):

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно любых трех центров А,В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

MА(Fi) = 0; MВ(Fi) = 0; MС(Fi) = 0. (III)

Уравнения равновесия в форме (I) считаются основными, так как при их использовании нет никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов.

Уравнения равновесия твердого тела под действием плоской системы параллельных сил

В частном случае, если все силы плоской системы параллельны, то условия равновесия таких сил выражаются не тремя, а двумя уравнениями:

Источник

Тема 1.4. Система произвольно расположенных сил

§1. Приведение пространственной системы сил к данному центру

Произвольной плоской системой сил называется совокупность сил, линии действия которых находятся в одной плоскости.

Теорема о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы

из точки А (рис. 1, а) в точку О прикладываем в точке О силы и

Рис.1. Произвольной плоской системой сил

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сло­жить векторы моментов этих пар. В результате система пар заме­нится одной парой, момент которой или

называется главным моментом системы отно­сительно этого центра.

Рис.2. Система сил

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой

Векторы и обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.

Выражения для R_x, R_y, R_z нам известны. Проекции век­тора на оси координат будем обозначать M_x, M_y, M_z. По тео­реме о проекциях суммы векторов на ось будет

Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы:

При этом главный вектор пространственной системы сил: R₀ = ΣP_i отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен:

В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил:

5) R₀ ≠ 0, M₀ ≠0 и главный вектор R₀ неперпендикулярен главному моменту M₀ — система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме.

При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.

Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений.

Примечание: Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона: Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси).

§2.Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Источник

Произвольная пространственная система сил в теоретической механике

Произвольная пространственная система сил:

Если имеется п сил, расположенных как угодно в пространстве (рис. 113), то, выбрав произвольную точку О (центр приведения), осуществим параллельный перенос всех сил в точку О.

В результате такого переноса заданная нам система сил привелась к системе пар и к силам приложенным в точке О. Обозначив момент равнодействующей всех пар через , а результирующую сил, приложенных в точке О, через Р, можем написать:

Таким образом, силы, расположенные как угодно в пространстве, при сложении их приводятся, к некоторому моменту , называемому главным моментом и равному геометрической сумме моментов всех сил относительно центра приведения, и к некоторой силе Р, называемой главным вектором, равной геометрической сумме данных сил.

Проектируя главный момент и главный вектор на координатные оси, имеем:

откуда найдем величины главного вектора и главного момента:

Направление же Р и М определится косинусами углов [см. формулы (6)].

Если бы мы выбрали центр приведения не в точке , а в какой-либо другой точке (рис. 114), то от этого главный вектор не изменится и , главный же момент М, вообще говоря, изменится, так как изменятся радиусы-векторы, проведенные из центра моментов к началу каждой силы. Так, для силы новый радиус-вектор , где — радиус-вектор, проведенный из старого центра приведения в новый .

Для всех же сил новый главный момент будет:

Как постоянный для всех сил, вектор вынесен за знак суммы.

Рассмотрим теперь скалярное произведение ; имеем:

смешанное произведение обращается в нуль, так как векторы коллинеарны (см. § 1). Отсюда следует, что , или t, откуда , т. е. проекция главного момента на направление главного вектора для системы сил постоянна и не зависит от выбора центра приведения. Величины, неизменяющиеся при определенных операциях, называются инвариантами. В нашем случае инвариантами по отношению к центру приведения являются главный вектор и проекция главного момента на направление главного вектора или скалярное произведение:

При сложении пространственной системы сил возможны следующие случаи.

1. Если , то силы приводятся к равнодействующей. Следует заметить, что равнодействующая равна и параллельна главному вектору сил. Разница же между равнодействующей сил и их главным вектором заключается в том, что равнодействующая имеет определенное положение линии действия; положение же линии действия главного вектора определяется выбором центра приведения.

2. Если , то силы приводятся к паре.

3. Если , то силы, расположенные как угодно в пространстве, взаимно уравновешиваются и , а также .

Следовательно, а для этого необходимо, чтобы

Уравнения (52) называются уравнениями равновесия сил, расположенных как угодно в пространстве.

4. Если , то силы опять же приводятся к равнодействующей.

В самом деле, представляя момент М в виде пары (рис. 115) с силами Р и — Р, замечаем, что силы, приложенные в точке О,. взаимно уравновешиваются и остается только одна равнодействующая сила Р, расположенная от центра приведения на расстоянии .

Момент полученной равнодействующей относительно центра приведения О равен М, а М, в свою очередь равняется:

т. е. момент равнодействующей относительно равен геометрической сумме моментов сил составляющих относительно той же точки.

Проектируя равенство (53) на какую-либо ось, например z, имеем:

т. е. момент равнодействующей относительно оси z равен алгебраической сумме моментов сил составляющих относительно той же оси.

5. Если и не , то силы приводятся к динаме.

Разложим главный момент М на , из которых совпадает с , а (рис. 116).

Вектор представим в виде пары с силами Р и — Р и плечом , тогда силы Р и — Р в точке О взаимно уравновешиваются и мы получаем силу Р, проходящую через точку , и момент . Перенося момент как свободный вектор, в точку , мы в результате преобразования имеем совокупность векторов — силы Р и момента направленных по одной прямой. Эта совокупность называется динамой. Если представить в виде пары с плоскостью действия, перпендикулярной к силе Р, то совокупность усилий, получаемых от , будет такая же, как и при завинчивании винта, поэтому часто динаму называют винтовым усилием, а линию, вдоль которой направлены векторы Р и винтовой или центральной осью. Упростить динаму не представляется возможным, поэтому в подобных случаях говорят, что силы, расположенные как угодно в пространстве, приведены к канонической форме.

Найдем теперь уравнение центральной оси. Мы знаем, что при переходе от одного центра приведения к другому (рис. 114 и 116), главный момент изменится и согласно формуле (50) будет:

Для того чтобы точка лежала на центральной оси, должно быть выполнено условие , где — скалярная величину знак которой определяет одинаковое или противоположное направление векторов и Р.

Далее получим: . Обозначив координаты радиуса вектора а через х, у и z и принимая во внимание равенства (11), будем иметь:

Определяя из каждого полученного равенства , имеем:

Уравнение (55) и является уравнением центральной оси.

Задача:

Привести к каноническому виду систему трех сил , если силы совпадают с ребрами куба, сторона которого равна 1 м (рис. 117).

Решение. Найдем проекции главного вектора на координатные оси и его величину по формулам (49 и 49а):

Углы, которые образует главный вектор с осями координат будут:

откуда

Эти же углы составляет и центральная ось с координатными осями.

Проекции главного момента на координатные оси найдутся по равенствам (49):

Составляя выражение для инварианта по уравнению (51), получим:

Обозначая проекцию главного момента на направление главного вектора через , имеем:

откуда

Знак минус у указывает на то, что направления главного момента и главного вектора противоположны. Так как второй инвариант не равен нулю, то система заданных сил приводится к динамическому винту и уравнение центральной оси (55) примет вид:

Исключая из первого и второго, а также из второго и третьего уравнений z и у, получим:

Задача:

Однородный прямоугольный параллелепипед (рис. 119) весом Q= 100 кГ удерживается в равновесии шестью стержнями, па-‘ раллельными соответствующим ребрам параллелепипеда. Найти усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5 и 6 при действии на параллелепипед силы , параллельной стержням 1 и 6.

Решение. Освободившись от связей (рис. 119), выбираем координатные оси и составляй для параллелепипеда уравнения равновесия (52):

Решая полученные уравнения, имеем:

Задача:

Однородный навес ABCD весом Q = 200 кГ наклонен под углом к горизонтальной плоскости и удерживается в равновесии при помощи шарниров А и В и цепи ED. В точке С приложена вертикальная сила Р = 100 кГ. Определить реакцию шарниров и натяжение цепи Т (рис. 121, а).

Решение. Введем вместо связей их реакции (рис. 121, б)\ тогда по уравнениям (52) получим:

Отсюда находим, что

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник