Что называется эпюром монжа

Научная электронная библиотека

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф. Ф.,

1.6. Система трех плоскостей проекций. Эпюр Монжа

Эти координатные плоскости обозначаются:

Линии пересечения этих плоскостей образуют координатные оси: ось абсцисс – Х; ось ординат – Y; ось аппликат – Z. Точка О пересечения координатных осей принимается за начало координат и обозначается буквой О. Положительными направлениями осей считают: для оси x − влево от начала координат, для оси Y − в сторону зрителя от плоскости π₂, для оси z – вверх от плоскости π₁; противоположные направления считают отрицательными.

.

Рис. 1.12. Изображение системы трех плоскостей проекций

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать только часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекций π₃.

При таком допущении три координатные плоскости проекций образуют четыре пространственных угла – октанта ( в общем случае – 8 октантов).

Оси ординат Y и аппликат Z делят профильную плоскость проекций π₃ на четыре части:

Для того, чтобы получить плоскую (двухмерную) модель пространственных координатных плоскостей проекций, горизонтальную π₁ и профильную π₃ плоскости совмещают с фронтальной π₂ в том порядке как это показано стрелками на рис. 1.12.

.

Рис. 1.13. Пространственная модель точки А

При этом горизонтальная плоскость проекций π₁ вращается вокруг оси Х на 90°, а профильная плоскость проекций π₃ вращается вокруг оси Z также на 90° (направление вращения показано на рис. 1.12).

Полученное таким образом совмещение трех плоскостей проекций (рис. 1.13) является плоской моделью системы трех пространственных координатных плоскостей

Для построения плоской модели пространственной геометрической фигуры каждая ее точка проецируется ортогонально на плоскости проекций π₁, π₂ и π₃, которые затем совмещаются в одну плоскость. Полученная таким образом плоская модель пространственной геометрической фигуры называется эпюром Монжа.

Порядок построения эпюры точки, расположенной в первом октанте.

На рис. 1.13 изображена пространственная точка А, координаты которой (x, y, z) показывают величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.

Для того чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций.

Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А:

А₁ – горизонтальную проекцию точки;

А₂ – фронтальную проекцию точки;

А₃ – профильную проекцию точки.

.

Рис. 1.14. Эпюр точки А

На рис. 1.14 плоскости проекций π₁ и π₃ совмещены с плоскостью чертежа ( с плоскостью проекции π₂), а вместе с ними совмещены с плоскостью чертежа и проекции точки А (А₁, А₂, А₃) и таким образом получена плоскостная модель координатных плоскостей проекций и плоскостная модель пространственной точки А – ее эпюра.

Положение проекций точки А на эпюре однозначно определяется ее тремя координатами (рис. 1.14).

На рис. 1.13 и рис. 1.14 также видно, что на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси Х, а также фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси Z:

А₁А₂ Х, А₂А₃ Z.

Из рис 1.12 видно, что точки, расположенные в различных октантах, имеют определенные знаки координат.

В таблице приведены знаки координат точек, расположенных в различных октантах

Источник

Чертежик

Метки

эпюра монжа или комплексный чертеж

Эпюра монжа или комплексный чертеж — это чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.

Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что при его переносе на лист бумаги, на плоскостях H и W происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры.
Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета используется эпюра Монжа.

Эпюра Монжа получается преобразованием пространственного макета путем совмещения плоскостей H и W с фронтальной плоскостью проекций V:
— для совмещения плоскости H с V поворачиваем ее на 90 градусов вокруг оси x в направлении движения часовой стрелки. На рисунке, для наглядности, плоскость H повернута на угол чуть меньший 90 градусов, при этом ось y, принадлежащая горизонтальной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью z;
— после совмещения горизонтальной плоскости, поворачиваем вокруг оси z также на угол 90 градусов профильную плоскость в направлении противоположном движению часовой стрелки. При этом ось y, принадлежащая профильной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью x.

Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций. Излишне также напоминать, где отрицательное направление координатных осей. Тогда, в окончательном виде эпюра Монжа, заменяющая чертеж пространственного макета примет вид, показанный на рисунке.

— обычных чертежных инструментов и приспособлений:
Чертежные инструменты;
Чертежные принадлежности и приборы;
— Программы для построения (рисования) эпюра Монжа: Выполнение чертежа в графическом редакторе.

В качестве примера оформления эпюра Монжа предлагаем решение задачи на построение равнобедренного прямоугольного треугольника ABC:

— в черном цвете отображается известное по условию задачи;
— в зеленом цвете отображаются все построения которые ведут к решению задачи;
— в красном цвете отображается найденные искомые задачи.
По условию задачи заданы проекции треугольника ABC(A`B`C`, A»B»…»). Для решения задачи необходимо найти недостающую проекцию C».

Источник

Лекция 1. Введение. Метод проекций. Эпюр Монжа

Конспект лекционных занятий.

Начертательная геометрия, являясь одним из разделов математики, изучает методы отображения трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений пространственных задач на чертеже.

Геометрические фигуры делятся на линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность), составные (многогранники и др.). Основным элементом пространства принято считать точку, поэтому все геометрические фигуры представляются как множества точек. Основным методом начертательной геометрии является метод проецирования.

— строят проецирующую прямую SA;

— определяют точку А_i пересечения SA с плоскостью П_i.

Свойства центрального проецирования:

1. проекцией точки является точка: А®А_i;

2. прямая проецируется в прямую: m®m_i (проецирующая прямая проецируется в точку);

Параллельное проецирование. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проецирования S становится несобственным. Поэтому обычно вместо несобственного центра проецирования S ¥ говорят о направлении проецирования s. Первые три свойства центрального проецирования будут справедливыми и в случае параллельного проецирования. Свойства параллельного проецирования:

5. отношения длин проекций отрезков параллельных прямых к длинам самих отрезков постоянны;

6. Отрезки прямых, плоские фигуры, параллельные плоскости проекций, проецируются без искажения (в натуральную величину).

7.

Теорема. Прямоугольной проекцией прямого угла является также прямой угол, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей (рисунок 1.3).

Чертеж Монжа – основной вид обратимого изображения. Французский математик и инженер Гаспар Монж (1746-1818гг.), систематизировав и обобщив накопленные к тому времени знания по теории и практике построения изображений предметов пространства, предложил получать их изображения путем прямоугольного проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. В зависимости от этого также чертежи называют двухкартинными (рисунок 1.4) или трехкартинными (рисунок 1.5). На рисунке 1.4а видно, что плоскости П₁(фронтальная), П₂ (горизонтальная) делят пространство на четыре части, называемые четвертями. Полученный чертеж на рисунке 1.4б является обратимым, так как по нему можно определить координаты точки А в пространстве. Следовательно, на двухкартинном чертеже можно решать любые позиционные и метрические задачи.

Трехкартинный чертеж Монжа получается из двух картинного путем добавления третьей плоскости проекций П₃, перпендикулярной оси Оx (рисунок 1.5). Эта плоскость называется профильной плоскостью проекций.

Плоскости П₁, П₂, П₃ делят пространство на восемь частей, называемых октантами. Построение третьей проекции по двум заданным показано на рисунке 1.5б. В ряде случаев на чертеже Монжа не указываются проекции осей координат. Такие чертежи принято назвать безосными.

Основная литература: 1 осн.[8-20 ], 2 осн. [4-30 ]

Дополнительная литература: 1 доп.14.

Контрольные вопросы:

1.Что составляет предмет начертательной геометрии?

1. Перечислите свойства центрального проецирования.

2. Перечислите свойства параллельного проецирования.

3. Перечислите основные требования, предъявляемые к чертежу.

4. Что называют ортогональной проекцией точки?

5. Как образуются проекции точки на плоскостях П₁, П₂, П₃?

6. Что называют координатами точки пространства в декартовой системе координат и какие координаты на эпюре определяют ее горизонтальную, фронтальную проекции?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Эпюра Монжа

Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что при его переносе на лист бумаги, на плоскостях H и W происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры. Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета используется эпюра Монжа.

После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рисунке. На этом рисунке указана также последовательность взаимного положения пол плоскостей проекций, так запись V[H(W)] указывает, что в этой части эпюра Монжа (ограниченного положительным направлением осей x и z) ближе к нам находится верхняя левая пола фронтальной плоскости проекции V, за ней располагается задняя левая пола горизонтальной плоскости проекции H, далее следует верхняя задняя пола профильной плоскости W.

Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций. Излишне также напоминать, где отрицательное направление координатных осей. Тогда, в окончательном виде эпюра Монжа, заменяющая чертеж пространственного макета примет вид, показанный на рисунке.

В качестве примера оформления эпюра Монжа предлагаем решение задачи на построение равнобедренного прямоугольного треугольника ABC:

Источник