Что называется единичной матрицей
Единичная матрица
Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.
Содержание
Определение
Квадратная матрица 
размера (порядка 
), где 
для всякого 
, и 
для всяких 
, называется единичной матрицей порядка .
Единичную матрицу можно определить как матрицу 
, у которой 
, где 
— символ Кронекера.
Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.
Обозначение
Единичная матрица размера 
обычно обозначается 
и имеет вид:
Так же используется и другое обозначение: 
.
Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: 
, 
.
Свойства
Примеры
Единичные матрицы первых порядков имеют вид
Замечание
Если взять две матрицы —: матрицу 
и единичную — то, приведением матрицы к единичной методом Гаусса, можно добиться одновременного приведения матрицы к матрице 
.
Литература
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Единичная матрица» в других словарях:
единичная матрица — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] единичная матрица Такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу — единицы, а остальные… … Справочник технического переводчика
Единичная матрица — [unit matrix, identity matrix] такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу единицы, а остальные нули, например: Е.м. применяется в процессе обращения матриц, в … Экономико-математический словарь
единичная матрица — vienetinė matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. identity matrix; unit matrix vok. Einheitsmatrix, f rus. единичная матрица, f pranc. matrice unité, f; matrice unitaire, f … Fizikos terminų žodynas
Матрица — [matrix] система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы, над которой можно производить определенные действия. Таблица имеет следующий вид: Элемент матрицы в общем виде обозначается aij это… … Экономико-математический словарь
матрица — Логическая сеть, сконфигурированная в виде прямоугольного массива пересечений входных/выходных каналов. [http://www.vidimost.com/glossary.html] матрица Система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной… … Справочник технического переводчика
МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ — (статистический оператор), оператор, при помощи к рого можно вычислить ср. значение любой физ. величины в квант. статистич. механике и, в частном случае, в квант. механике. Термин «М. п.» связан с тем, что статистич. оператор задаётся обычно в… … Физическая энциклопедия
Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия
Матрица линейного оператора — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия
Матрица поворота — Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения … Википедия
Матрица Адамара — Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Матрица … Википедия
Что называется единичной матрицей
Трудно представить себе систему чисел, которая бы не содержала единичный элемент. В частности, именно единица является результатом умножения числа a на ему обратное. Алгебра любых объектов (вещественных или комплексных чисел, векторов и так далее) должна включать в себя единичный элемент. Не является исключением и матричная алгебра, в которой роль единицы играет диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице.
В качестве определения единичной матрицы могло бы выступать примерно такое.
Матрица E называется единичной, если при умножении на нее любой матрицы A (слева и справа) матрица A остается неизменной: AE = EA = A.
Связано это с тем, что операция умножения определена не для любых матриц и, следовательно, требуется определенное согласование размеров иатриц-сомножителей. В результате под единичной матрицей понимается матрица вышеуказанной структуры, порядок которой выбирается таким, чтобы соответствующее произведение было определено.
), называется единичной матрицей и обозначается символом E. Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:
 . | (1) |
В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно – при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:
Рассмотрим теперь i,j-ый элемент матричного произведения EA, где E – единичная матрица m-го порядка:
Единичная матрица
Содержание:
Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице 
, называется единичной матрицей и обозначается символом 
.
Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:
(2)
| Единичная матрица представляет собой квадратную матрицу, элементы которой находятся на главной диагонали, а остальные элементы равны нулю. Обозначается символом Е. |
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,
(3)
для любых допустимых значений индексов 
, следовательно, АЕ = А.
Умножение матрицы на единичную матрицу дает ту же матрицу.
Примеры с решением
Пример 1
диагональная матрица второго порядка,
диагональная матрица третьего порядка.
Определение Если у диагональной матрицы 
-го порядка Е все диагональные элементы равны единице, то такая матрица называется единичной матрицей -го порядка.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Пример 2
— единичная матрица третьего порядка.
Определение Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю: 
В отличие от чисел, где число 0 единственно, нулевых матриц бесконечно много, т. к. каждому размеру матриц соответствует нулевая матрица этого размера.
Нетрудно убедиться, что при умножении единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел: единичная матрица -го порядка перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем
Чтобы доказать это, введем обозначения: АЕ = F, ЕА = G. Используя правило умножения матриц и определение единичной матрицы
(2.13)
находим, что для всех 
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Матрица (математика)
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Для матрицы определены следующие алгебраические операции:
Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. [2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.
То же можно сказать о представлении матрицами билинейный (квадратичных) форм.
В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.
Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.
Содержание
История
Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г. [3]
Определение
Пусть есть два конечных множества 
и 
, где 
и — натуральные числа.
Назовём матрицей размера 
(читается на ) с элементами из некоторого кольца или поля 
отображение вида
.
называется элементом матрицы, находящимся на пересечении 
-той строки и 
-ого столбца;
Если индекс пробегает множество 
, а пробегает множество 
, то совокупность элементов полностью определяет матрицу.
Таким образом, матрица размера состоит в точности из
В соответствии с этим
Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве 
, имеющем размерность 
. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.
Если у матрицы количество строк совпадает с количеством столбцов , то такая матрица называется квадратной, а число 
называется размером квадратной матрицы или её порядком.
Обозначения
Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть
,
тогда — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля вида 
, где
таким образом, 
— элемент матрицы , находящийся на пересечении -той строки и -того столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера :
если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.
Иногда, вместо , пишут 
, чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.
Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида
Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями «||…||»).
Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:
— это -тая строка матрицы ,
— это -тый столбец матрицы .
Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по строкам:
.
Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.
Транспонированная матрица
С каждой матрицей 
размера связана матрица 
размера 
вида
Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается так 
.
Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .
Диагональная матрица
Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые 
, иногда записывается как:
Единичная матрица
Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:
Для ее обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).
Для обозначения ее элементов также используется символ Кронекера , определяемый как:
при 
Нулевая матрица
Для обозначения нулевой матрицы — матрицы, все элементы которой нули (при сложении ее с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например 
.
Вектор-строка и вектор-столбец
Матрицы размера 
и 
являются элементами пространств 
и 
соответственно:
Операции над матрицами
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы на число 
(обозначение: 
) заключается в построении матрицы 
, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы на это число, то есть каждый элемент матрицы равен
Свойства умножения матриц на число:
Сложение матриц
Сложение матриц 
есть операция нахождения матрицы 
, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен
Свойства сложения матриц:
Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:
Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образуют линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и четкого уточнения употребления термина называть векторами.
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: 
, реже со знаком умножения 
) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , — 
, то размерность их произведения 
есть 
.
Свойства умножения матриц:
Умножение вектора на матрицу
По обычным правилам матричного умножения осуществляется умножение на матрицу слева вектора-столбца, а также умножение вектора-строки на матрицу справа. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать (что обычно и делается), используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:
для вектора-столбца v (получая новый вектор-столбец Av):
для вектора-строки s (получая новый вектор-строку sA):
Вектор-строка, матрица и вектор столбец могут быть умножены друг на друга, давая число (скаляр):
(Порядок важен: вектор-строка слева, вектор-столбец справа от матрицы).
Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат (смены базисов), таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также (последнее) матричного представления билинейных (квадратичных форм.
Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения (см.тж.в статье об умножении матриц) является именно введение их, начиная с умножения вектора на матрицу (которое вводится исходя из преобразований базиса или вообще линейных операций над векторами), а уже затем композиции преобразований сопоставляется произведение матриц. Действительно, если новый вектор Av, полученный из исходного вектора v преобразованием, представимым умножением на матрицу A, преобразовать теперь еще раз, преобразованием, представимым умножением на матрицу B, получив B(Av), то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведенного в начале этого параграфа (используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования), нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы (BA), представляющую композицию первого и второго преобразований, и совпадающую с обычным определением матричного умножения.
Комплексное сопряжение
Если элементами матрицы являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна 
. Здесь 
— число, комплексно сопряжённое к 
.
Транспонирование и эрмитово сопряжение
Транспонирование уже обсуждалось выше: если , то 
. Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: 
. С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.
Для квадратной матрицы определен след:
(иногда также обозначается как Sp или Spur).
Является инвариантом ортогональных (унитарных) преобразований матрицы, соответствующих преобразованию матричного представления линейного оператора или билинейной (квадратичной) формы при соотвестствующем преобразовании векторного пространства (например, вращении).