Что называется диагональным сечением

Справочный материал и задачи по теме «Призма»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выбранный для просмотра документ Призма. Справочный материал и задачи.docx

Призма. Виды призмы

Если вы уже знакомы с призмой, и хотите для себя просто что-то уточнить, то вам вполне может хватить таблицы, что дана в конце статьи.

Мы же поведем подробный разговор.

Боковые грани – все грани, кроме оснований ( являются параллелограммами ).

Боковые ребра – общие стороны боковых граней ( параллельны между собой и равны ).

Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Высота призмы – перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.

Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.

Диагональное сечение –пересечение призмы и диагональной плоскости.

Перпендикулярное сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Различают призмы прямые (боковые ребра перпендикулярны плоскости основания) и наклонные (не прямые).

Среди прямых призм выделяют правильные.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.п.).

Параллелепипед – это призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Среди параллелепипедов выделяют наклонные, прямые и прямоугольные параллелепипеды.

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники (или прямой параллелепипед с прямоугольником в основании).

Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Частный случай прямоугольного параллелепипеда – куб.

Куб – прямоугольный параллелепипед, все грани которого – квадраты.

Далее – обещанная таблица, в которой собраны все основные виды призмы, с которыми приходится встречаться на ЕГЭ по математике

Вопросы для повторения:

— Что называется многогранником?

— Из каких частей состоит многогранник?

— Что называется гранью многогранника?

— Что называют диагональю многогранника?

Общие теоретические сведения

Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , лежащих в параллельных плоскостях, и n параллелограммов .

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы

Основания призмы являются равными многоугольниками.

Боковые грани призмы являются параллелограммами.

Боковые ребра призмы параллельны и равны.

Различают призмы прямые,наклонныеи правильные. (слайд 6,7,8)

Диагональным сечением призмы называется ее сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, которые не лежат в одной грани.

Если секущая плоскость пересекает все боковые ребра призмы и перпендикулярна им, то получающееся при этом сечение называется перпендикулярным сечением призмы.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности.

.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

.

, где S – площадь основания, H – высота призмы.

Объем призмы можно найти, умножив площадь перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. .

Частным случаем призмы является параллелепипед.

Параллелепипед– это призма, основаниями которой являются параллелограммы

Различают прямой, наклонный, прямоугольный параллелепипеды.

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называют его линейными размерами (измерениями).

У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Повтори необходимые формулы :

1. Прямоугольный параллелепипед

Пусть a, b, с – стороны, d – диагональ параллелепипеда,

S_n – полная поверхность.

d 2 = a 2 + b 2 + c 2

d=a

Ответь на теоретические вопросы по теме «Призма»

Ребро куба равно a. Найдите: диагональ грани, диагональ куба, периметр основания, площадь грани, площадь диагонального сечения; площадь поверхности куба; периметр и площадь сечения, проходящего через концы трёх рёбер, выходящих из одной и той же вершины. (слайд 14)

Существует ли призма, имеющая 50 рёбер? 54 ребра?

Решение: Число ребер n – угольной призмы 3n, поэтому призмы, имеющей 50 ребер, не существует, а 54 ребра имеет 18-угольная призма.

В правильной треугольной призме плоскость сечения BCА₁ образует с плоскостью основания двугранный угол φ. Постройте линейный угол этого двугранного угла. Дайте объяснение.

Построение: Проведём из вершины A правильного треугольника ABC высоту AK. Точка K принадлежит ребру BC. Соответственно, отрезок А₁К перпендикулярен ребру BC (по теореме о трёх перпендикулярах). Угол A₁КА– искомый.

1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2. Чему будет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро увеличить в 3 раза.

Решение. Пусть ребра данного параллелепипеда равны a, b и c. Тогда имеем: V=abc=2. После увеличения каждого ребра в 3 раза его объём будет равен

V=3a*3b*3c =27 abc=27*2=54.

2. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда высотой 30 см. Если в него налить 30 л. воды, то до верхнего края останется 5 см. Сколько литров воды нужно, чтобы наполнить пустой аквариум доверху?

Решение. Пусть V и H соответственно объем и высота параллелепипеда.

После заполнения пустого аквариума доверху H=30. Значит, 30*S=V.

Найдем отношение =, V=36 л.

3. Кубик весит 10 гр. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3 раза больше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала.

Решение. Пусть V- объём данного параллелепипеда. После увеличения каждого ребра в 3 раза, его объём будет равен 27 V.

, x=270 гр.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой AС₁ и плоскостью BСC₁.

Из точки А опускаем перпендикуляр.

Т.к. , , то и

Тогда AC₁ – наклонная, ВС₁– проекция прямой AC₁ на плоскость BСC₁. Т.к. угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость, то — искомый.

Треугольник ABC₁— прямоугольный.

.

Пусть сторона куба равна a. Тогда .

.

Ответ: .

2.Сторона основания правильной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 12, а боковое ребро.Найдите градусную меру угла между плоскостями AB₁C и ABC.

Плоскость AB₁C пересекает плоскость ABC по прямой AC. Построим линейный угол двугранного угла между этими плоскостями.

Для этого из точки B проведём перпендикуляр к прямой AC. Т.к. призма правильная, то её основанием является правильный четырёхугольник – квадрат. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, искомый перпендикуляр-отрезок BO – половина диагонали BD, причём точка O – середина отрезка AC.

Следовательно, угол BOB₁ является линейным углом двугранного угла между плоскостями AB₁C и ABC.

В квадрате ABCD AB=12, BD=, BO=:2 =

Рассмотрим треугольник BB₁O.

, следовательно, .

3. В прямоугольном параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁найдите угол между плоскостью АА₁С и прямой А₁В, если АА₁=3, АВ=4, ВС= 4.

Решение. Из точки В проведем перпендикуляр ВН к АС. А₁Н – проекция А₁В на плоскость АА₁С. Значит, угол ВА₁Н- искомый.

Из прямоугольного треугольника АВС находим ВН=2.

Из прямоугольного треугольника А₁АВ находим А₁В= 5.

Из прямоугольного треугольника А₁НВ находим sinА₁==

Ответ: arcsin.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 32. Чему будет равен объём

параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в 2 раза. (4)

2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 36 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд той же формы, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого. Ответ выразите в сантиметрах. (4)

3. Закрытый сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами 30, 40 и 45 см. стоит на горизонтальной поверхности таким образом, что наименьшая грань является дном. В сосуд налили воду до уровня 36 см. На каком уровне окажется вода, если сосуд поставить на наибольшую грань? Ответ дайте в сантиметрах. ( 24 )

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой AA₁ и плоскостью BC₁D. ()

5. Основание прямой призмы АВСА₁В₁С₁— треугольник АВС, в котором, ВС=2, sinА=0,3. Высота призмы равна. Найдите синус угла между прямой ВС₁ и плоскостью АСС₁. ( 0,2)

6. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием, равным 6 см., и углом при вершине 120º. Диагональ боковой грани, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности. (48 +32)

Источник

Сечение многогранников

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Если многогранник лежит по одну сторону от данной плоскости, то он может: а) не иметь с плоскостью ни одной общей точки; б) иметь одну общую точку – вершину многогранника; в) иметь общий отрезок – ребро многогранника; г) иметь общий многоугольник – грань многогранника.
Если у многогранника имеются точки, лежащие по разные стороны от данной плоскости, то общая часть многогранника и плоскости называется сечением многогранника плоскостью.
СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ

Описание слайда:

Сечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания и два прилежащих к ней боковых ребра, называется диагональным сечением призмы.
Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и вершину, называется диагональным сечением пирамиды.
Диагональные сечения
Пусть плоскость пересекает пирамиду и параллельна ее основанию. Часть пирамиды, заключенная между этой плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. Сечение пирамиды также называется основанием усеченной пирамиды.

Описание слайда:

Какой фигурой может быть сечение многогранника плоскостью?
Упражнение 1
Ответ: Многоугольником или объединением нескольких многоугольников.

Описание слайда:

Описание слайда:

Может ли в сечении куба плоскостью получиться:
а) треугольник?
Упражнение 3
Ответ: а) Да;
б) правильный треугольник?
в) равнобедренный треугольник?
г) прямоугольный треугольник?
д) тупоугольный треугольник?
в) да;
г) нет;
д) нет.
б) да;

Описание слайда:

Может ли в сечении куба плоскостью получиться:
а) квадрат;
б) прямоугольник;
в) параллелограмм;
г) ромб;
д) трапеция;
е) прямоугольная трапеция?
Упражнение 4
Ответ: а) Да;
б) да;
в) да;
е) нет.
г) да;
д) да;

Описание слайда:

Может ли в сечении куба плоскостью получиться:
а) пятиугольник;
б) правильный пятиугольник?
Упражнение 5
б) нет. У пятиугольников, которые получаются в сечении куба, имеются две пары параллельных сторон, а у правильного пятиугольника таких сторон нет.
Ответ: а) Да;

Описание слайда:

Может ли в сечении куба плоскостью получиться:
а) шестиугольник;
б) правильный шестиугольник;
в) многоугольник с числом сторон больше шести?
Упражнение 6
Ответ: а) Да;
в) нет.
б) да;

Описание слайда:

Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться: а) остроугольный треугольник; б) прямоугольный треугольник; в) тупоугольный треугольник?
Упражнение 7
Ответ: а) да;
б) да. Пусть ABCD – единичный тетраэдр. Точка E на ребре AD отстоит от вершины A на расстояние ¼. Точка F на ребре AB отстоит от вершины A на расстояние x. Найдем x, для которого угол CEF будет прямым.
По теореме косинусов находим CE2 = 13/16, CF2 = x2 + 1 – x, EF2 = 1/16 + x2 – x/4. Используя теорему Пифагора находим x = 1/6.
в) да. Если точку G на ребре AB взять между A и F, то угол CEF будет тупой.

Описание слайда:

Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться квадрат?
Упражнение 8
Ответ: Да. Если сечение проходит через середины ребер.

Описание слайда:

Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке?
Упражнение 9
Ответ: Нет.

Описание слайда:

Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью?
Упражнение 10
Ответ: Треугольник, четырехугольник, пятиугольник.

Описание слайда:

Может ли в сечении октаэдра плоскостью получиться:
а) треугольник;
б) четырехугольник;
в) пятиугольник;
г) шестиугольник;
д) семиугольник;
е) восьмиугольник?
Упражнение 11
Ответ: а) Нет;
б) да;
в) нет;
г) да;
д) нет;
е) нет.

Описание слайда:

При построении сечений многогранников, базовыми являются построения точки пересечения прямой и плоскости, а также линии пересечения двух плоскостей.
Если даны две точки A и B прямой и известны их проекции A’ и B’ на плоскость, то точкой С пересечения данных прямой и плоскости будет точка пересечения прямых AB и A’B’
Если даны три точки A, B, C плоскости и известны их проекции A’, B’, C’ на другую плоскость, то для нахождения линии пересечения этих плоскостей находят точки P и Q пересечения прямых AB и AC со второй плоскостью. Прямая PQ будет искомой линией пересечения плоскостей.
Построение сечений

Описание слайда:

Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F и вершину B,
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба и вершину B.
Соединим отрезками точки E и B, F и B.
Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE, соответственно.
Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением.
Упражнение 1

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, принадлежащие граням BB1C1C, CC1D1D, AA1B1B, соответственно.
Решение. Из данных точек опустим перпендикуляры EE’, FF’, GG’ на плоскость грани ABCD, и найдем точки I и H пересечения прямых FE и FG с этой плоскостью.
IH будет линией пересечения искомой плоскости и плоскости грани ABCD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой IH с AB и BC.
Проведем прямые PG и QE и обозначим R, S их точки пересечения с AA1 и CC1.
Проведем прямые SU, UV и RV, параллельные PR, PQ и QS.
Полученный шестиугольник RPQSUV будет искомым сечением.
Упражнение 5

Описание слайда:

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба, параллельно диагонали BD.
Решение. Проведем прямые FG и EH, параллельные BD.
Проведем прямую FP, параллельную EG, и соединим точки P и G.
Соединим точки E и G, F и H.
Полученный пятиугольник EGPFH будет искомым сечением.
Упражнение 6

Описание слайда:

Описание слайда:

Постройте сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G.
Решение. Соединим точки E и F.
Проведем прямую FG и ее точку пересечения с CC1 обозначим H.
Проведем прямую EH и ее точку пересечения с A1C1 обозначим I.
Соединим точки I и G.
Полученный четырехугольник EFGI будет искомым сечением.
Упражнение 8

Описание слайда:

Постройте сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G.
Решение. Проведем прямую EG и обозначим H и I ее точки пересечения с CC1 и AC.
Проведем прямую IF и ее точку пересечения с AB обозначим K.
Проведем прямую FH и ее точку пересечения с B1C1 обозначим L.
Соединим точки E и K, G и L.
Полученный пятиугольник EKFLG будет искомым сечением.
Упражнение 9

Описание слайда:

Постройте сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, параллельной AC1, проходящей через точки D и D1.
Упражнение 10
Решение. Через точку D проведем прямую параллельную AC1 и обозначим E ее точку пересечения с прямой BC1. Эта точка будет принадлежать плоскости грани ADD1A1.
Проведем прямую DE и обозначим F ее точку пересечения с ребром BC.
Соединим отрезком точки F и D.
Через точку D проведем прямую параллельную прямой FD и обозначим G точку ее пересечения с ребром A1C1, H – точку ее пересечения с прямой A1B1.
Проведем прямую DH и обозначим P ее точку пересечения с ребром AA1.
Соединим отрезком точки P и G.
Полученный четырехугольник EFIK будет искомым сечением.

Описание слайда:

Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки E на ребре BC, F на грани ABB1A1 и G на грани ACC1A1.
Решение. Проведем прямую GF и найдем точку H ее пересечения с плоскостью ABC.
Проведем прямую EH, и обозначим P и I ее точки пересечения с AC и AB.
Проведем прямые PG и IF, и обозначим S, R и Q их точки пересечения с A1C1, A1B1 и BB1.
Соединим точки E и Q, S и R.
Полученный пятиугольник EQRSP будет искомым сечением.
Упражнение 11

Описание слайда:

Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B, D1.
Решение. Заметим, что сечение будет проходить через точку E1.
Проведем прямую AB и найдем ее точки пересечения K и L с прямыми CD и FE.
Проведем прямые KD1, LE1 и найдем их точки пересечения P, Q с прямыми CC1 и FF1.
Шестиугольник ABPD1E1Q будет искомым сечением.
Упражнение 12

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру AD и проходящей через точки E, F.
Решение. Соединим точки E и F.
Через точку F проведем прямую FG, параллельную AD.
Соединим точки G и E.
Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.
Упражнение 15

Описание слайда:

Описание слайда:

Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G,
проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с BD.
Обозначим Q точку пересечения прямых PG и CD.
Соединим точки F и Q, E и G.
Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G.
Полученный четырехугольник EFQG будет искомым сечением.
Упражнение 17

Описание слайда:

Описание слайда:

Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G,
проведем прямую FG и обозначим P её точку пересечения с SB.
Проведем прямую PE и обозначим Q её точку пересечения с AB.
Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G.
Полученный пятиугольник ETFGQ будет искомым сечением.
Соединим точки T и F.
Проведем прямую GQ и обозначим R её точку пересечения с AD.
Проведем прямую RE и обозначим T её точку пересечения с SD.
Упражнение 19

Описание слайда:

Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной AS и проходящей через точки E, F.
Решение. Соединим точки E и F.
Через точку F проведем прямую, параллельную AS, и обозначим G ее точку пересечения с AC.
Проведем прямую EG и обозначим H ее точку пересечения с AD.
Через точку H проведем прямую, параллельную AS, и обозначим I ее точку пересечения с SD.
Соединим точки I и F.
Полученный четырехугольник EFIH будет искомым сечением.
Упражнение 20

Описание слайда:

Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной BD и проходящей через точки E, F.
Решение. Проведем прямую EF и обозначим Q ее точку пересечения с AC.
Проведем прямую SO и обозначим P её точку пересечения с EF.
Через точку P проведем прямую GH, параллельную BD.
Соединим точки F, G, E, H.
Полученный четырехугольник FGEH будет искомым сечением.
Упражнение 21

Описание слайда:

Решение. Найдем точку пересечения P прямой A1C1 с плоскостью основания.
Найдем точку Q пересечения прямой E1C1 с плоскостью основания.
Проведем прямую ED и обозначим R, её точку пересечения с прямой PQ.
Прямая PQ будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания.
Построить сечение пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через точки A1, C1, E1.
Аналогичным образом находятся точки F1 и B1.
Проведем прямую E1R и обозначим D1 её точку пересечения с SD.
Шестиугольник A1B1C1D1E1F1 будет искомым сечением.
Упражнение 22

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

Гемобластозы

Пластиды

Заказники и национальные парки

Патологическая анатомия и секционное вскрытие

Геометризация качественных показателей Эльгинского месторождения каменного угля

Сепсис. Характеристика и патологоанатомический диагноз

Площади фигур

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5378276 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Утверждены сроки заключительного этапа ВОШ

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

До конца 2024 года в РФ построят около 1 300 школ

Время чтения: 1 минута

Учителям истории предлагают предоставить право бесплатно посещать музеи

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник