Что называется чистым изгибом

Вопрос 15.Изгиб, Виды изгиба, Внутренние силовые факторы, Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Изгиб — вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев.

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент.

Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения.

Косой изгиб в случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения.

Поперечный изгиб – это такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают не только изгибающие моменты Мх, но и поперечные силы Qу

Чистый косой – два изгибающих момента.

Поперечный косой – два момента и две силы.

Чистый прямой – один момент.

Поперечный прямой – один момент и одна сила.

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб.

Внутренние силовые факторы:

Изгибающий момент, численно равный алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к отбрасываемой части балки, относительно главной центральной оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения.

Поперечная сила, численно равная алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), действующих на отбрасываемую часть балки.

Построение эпюры изгибающих моментов захреначу в раздел задачи.

Источник

Чистый изгиб

Чистый изгиб

Чистокровный. В предыдущей главе мы упоминали, что величина напряжения на любом поперечном сечении балки определяется боковой силой этой детали и величиной изгибающего момента. При приложении боковых сил напряжение определяется с самого начала. Равный нулю, есть только изгиб moment. In этот случай, он называется Чистым bend. An пример такого изгиба показан на рисунке. 81.

To найдя законы распределения этих внутренних сил по поперечному сечению, необходимо учитывать деформацию beam. In в случае простой балки с симметричной продольной плоскостью с внешней изгибающей парой, действующей в этой плоскости, изгиб происходит в той же плоскости.

Если поперечное сечение балки прямоугольное, а на ее поверхности нанесены 2 смежные вертикальные линии ТТ и ПП, то видно, что эти линии остаются прямыми при изгибе и вращении, поэтому они остаются перпендикулярными продольным волокнам балки (рис.82)

Теория изгиба, описанная ниже, основана не только на предположении, что линии, проведенные по краям, такие как TT, остаются прямыми, но и на предположении, что все поперечное сечение балки (первоначально плоское) является плоским после изгиба и перпендикулярным продольным волокнам балки. Людмила Фирмаль

Опыт показывает, что теория, основанная на этом предположении, дает очень точные результаты для отклонения луча и продольной деформации волокна. Из приведенного выше предположения следует, что при изгибе поперечные сечения ТТ и ПП вращаются относительно друг друга вокруг оси, перпендикулярной плоскости изгиба, так что выпуклые продольные волокна подвергаются растяжению и сжатию в вогнутой стороне.

Линия PPG, есть следы пересечения сторон Да. К Да. Рисунок 82. Края поверхности, где волокна не изменяются. Эта поверхность Называется нейтральным слоем, а пересечение с любым поперечным сечением называется нейтральной осью. Удлинение B’b4 волокон на расстоянии y от нейтрального слоя получается, если линию l, b провести параллельно линии TT(рис. 82, а).Обозначим радиус кривизны изогнутой оси пучка через r и воспользуемся подобием треугольника nOphi b ^ b ’, чтобы найти относительное удлинение волокна BB’.

Из этого уравнения видно, что деформация продольных волокон пропорциональна расстоянию y от нейтрального слоя и обратно пропорциональна радиусу кривизны. Эксперимент показывает, что продольное растяжение волокон на выпуклой стороне пучка сопровождается боковым сжатием, а продольное сжатие на вогнутой стороне сопровождается боковым расширением той же величины, что и в случае простого растяжения или сжатия(см. п. 14). * ) Ось луча является локусом точки центра тяжести сечения b ^ lok. O означает центр кривизны оси балки.

В поперечном сечении, как показано на фиг. 82 b, вертикальные стороны прямоугольного поперечного сечения наклонены друг к другу. Относительная деформация в поперечном направлении (53） Где IX-коэффициент Пуассона. Это искажение приводит к тому, что все линии в поперечном сечении, параллельные оси z, изгибаются так, что они перпендикулярны стороне поперечного сечения.

Радиус кривизны/?Только в несколько раз больше, чем r из ex, который численно больше, чем e (см. уравнение 53）、 I = 1 г (54） Из продольной деформации волокна соответствующее напряжение определяется на основе закона крюка (уравнение 4). 0,= ^ * Г (55） Законы распределения этих напряжений показаны на рисунке. 83.

Напряжение волокна пропорционально расстоянию от нейтральной оси расположение нейтральной оси и радиус кривизны r (2 неизвестных в уравнении (55)) можно определить из условия, что сила, распределенная в поперечном сечении балки, создает пару сопротивлений, уравновешенную внешней парой M (рис.81). 。 Dp означает основную площадь поперечного сечения на расстоянии y от нейтральной оси (Рисунок 83).

Сила, действующая на эту базовую платформу Произведение напряжения на площадь yP (уравнение 55), то есть-yP Все такие силы, распределенные в поперечном сечении, представляют собой систему сил, соответствующих парам сил, так что результат действия этих сил равен нулю и становится:

Среди них Существует момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси r (приложение п. (см. 350).Из уравнения (56)видно, что кривизна прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна величине изгибающей жесткости балки. Исключение r из уравнений (55)и (56)дает следующее уравнение для определения напряжения: (57）

В этом уравнении, как показано на Рис. 5, момент M, вызывающий изгибную деформацию за счет выпуклой части, является положительным. 82; координата y положительна вниз. Было приведено предыдущее рассуждение. Для прямоугольных cross-section. It также эффективен для балок с другими формами поперечного сечения.

Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения возникают в крайних волокнах. Людмила Фирмаль

Также в прямоугольном или любом месте Другое поперечное сечение с центроидом вдоль серого К середине высоты A относится случай y =±2.Тогда он берется в случае положительного М. Единое время.»Э (ОЖ) m1n =-57—(58） Для простоты используйте следующие обозначения: (5Э） И затем… «Юта,= U. (0) w1n = * — (60）

Величина V / g называется моментом сопротивления площади поперечного сеченияния. Для прямоугольного сечения(рис. 82, б)мы имеем. В’ • • * ТГ ’ Для круглого поперечного сечения с диаметром / В ——— * Y = −12,5 см, (a) Шах » 230 кг / СМГ. Тогда n £6 2-10M2. 5, почтовое отделение № — а.’2〜= 250’〜 = 108700 см. Рис.84.

Обратите внимание, что при вычислении /(рис. 84) ось кривой представляет собой дугу Окружность радиусов r и yB представляет собой прямоугольный треугольник вокруг ноги. Где o-центр окружности. Так… Вт — р * — (р-р?= Ч1-Т-、 /Очень мало по сравнению с радиусом r, и в этом уравнении мы используем значение/ * Двухместный 147.5 * 2р 8 * 108,700 Ф= −0,025 см.

3.Деревянная балка с квадратным поперечным сечением 25×25 см опирается на A и B (рис.84), и на обоих концах приложена сила P. Для AB = 180 см, s = 30 см, (stL) goax = 67 кг / см *и E = \ 0 * кг / см определите величину P и Центрального прогиба. Вес балки игнорируется. Построить график боковых сил и изгибающих моментов. Ответ. P = 5816 кг,/ = 0,217 см. 4.As как показано на рисунке, поддерживаются двутавровые балки высотой 75 см.

Он нагружается на консоль с равномерно распределенными нагрузками 85 и 13 300 кг / м. Для 1K = 357 400 см определите максимальное напряжение в центре балки и отклонение в центре балки. SH II11 。 6.0 м► 0-и измеряет следующее: Изменение температуры другого волокна пропорционально. Соответствующее относительное удлинение и укорочение температуры также пропорционально y. то есть оно следует тем же законам, что и деформация, определенная в Формуле(52).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Тема 2.5. Изгиб

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается поперечная нагрузка, лежащая в плоскости проходящей через продольную ось (рис.1). Брус, работающий при изгибе, называется балкой.

Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.1).

Рис.1. Прямой изгиб

Если изгибающий момент M_x является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым (рис.2). При наличии поперечной силы Q_y изгиб называется поперечным. Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; попереч­ный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве слу­чаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на проч­ность можно пренебречь.

Далее будем рассматривать плоский изгиб, то есть все силы будем прилагать в плоскости симметрии балки.

Рис.2. Чистый изгиб

Осваивать расчет балок и рам удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:

— Определение внутренних усилий в балках и построение эпюр внутренних усилий.

— Проверка прочности балок.

— Определение перемещений и проверка жесткости балок.

§2.Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы.

Эпюра внутренней силы – график, показывающий изменение этой силы по длине балки.

Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направления и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.

Последовательно на каждом участке вводится скользящая система координатных осей (начало координат совмещается с началом участка) и для произвольного сечения составляются выражения для определения поперечной силы и изгибающего момента. Затем по этим выражениям в пределах каждого участка строятся графики (эпюры) внутренних сил.

Перед тем, как определять внутренние усилия (поперечные силы и изгибающие моменты) и строить эпюры, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 3 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 3,б) и подвижной (рис. 3,в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 6.5,а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реактивные силы (рис. 3,б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис.3,в).

Рис.3. Опорные реакции: а – в заделке; б – в шарнирно-неподвижной опоре;

в – в шарнирно-подвижной опоре.

После определения опорных реакций внутренние усилия в статически определимых конструкциях определяем с помощью метода сечений.

Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).

Для того чтобы можно было вести расчет с любого конца балки, необходимо принять правило знаков для внутренних силовых факторов.

Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке, то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.

Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является положительным. Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является отрицательным.

Поперечная сила Q в каком-либо поперечном сечении балки численно равная алгебраической сумме на ось у внешних сил действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент M равен алгебраической сумме моментов сил, относительно центра тяжести сечения.

Взаимосвязь между нагрузкой и очертаниями эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M:

Указанные закономерности позволяют упростить построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (в сложнoзагруженных балках) и обойтись без составления уравнений для каждого участка.

Для определения максимальных значений изгибающих моментов дополнительно подсчитываются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю. Построение без составления эпюр уравнений дает особенно значительный эффект для балок, нагруженных сложной нагрузкой, имеющих много участков нагружения.

Источник

Что называется чистым изгибом

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент М_х (рис. 1). Так как Q_y=dM_x/dz=0, то M_x=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент M_х по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики

.

Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон .

Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряжения

Рис.2. Модель чистого изгиба

Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: , выведем формулы для кривизны нейтрального слоя (—радиус кривизны) и нормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (M_х=сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а), нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.

Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.

а) расчетная схема, б) деформации и напряжения

Рис.3. Фрагмент чистого изгиба бруса

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б. Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:

.

Из подобия треугольников С00₁ и 0₁ВВ₁ следует, что

.

Продольная деформация оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений

Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на основании закона Гука будет равно

Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы

Подставляя в это уравнение выражение (2)

и учитывая, что , получаем, что

Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:

и учитывая, что где J_x—главный центральный момент инерции относительно оси Ох, для кривизны нейтрального слоя получаем формулу

Кривизна нейтрального слоя является мерой деформации стержня при прямом чистом изгибе. тем меньше, чем больше величина EJ_х, называемая жесткостью поперечного сечения при изгибе (по аналогии с жесткостью поперечного сечения при растяжении EF).

Подставляя (4) в (2), получаем формулу для нормальных напряжений в виде

Рис.4. Распределение нормальных напряжений

которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента М_х и нормальных напряжений в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при M_х>0 нормальные напряжения при y>0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е.

Итак, максимальные нормальные напряжения в сечении с изгибающим моментом M_х определяются по формуле

Рис.5. Конфигурации поперечных сечений бруса

Этой формулой удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид

где max M_х—максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре), — допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором ).

Рис.6. Модель изгиба хрупкого материала

При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие max и наибольшие сжимающие напряжения (рис. 6.), которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение и сжатие . Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

.

Источник