Что называется алгебраическим выражением
Алгебраическое выражение
Смотреть что такое «Алгебраическое выражение» в других словарях:
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Большой Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN algebraic expression … Справочник технического переводчика
Алгебраическое выражение — Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую… … Википедия
алгебраическое выражение — выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение,… … Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение — algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expression vok. algebraischer Ausdruck, m rus. алгебраическое выражение, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебр. действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Естествознание. Энциклопедический словарь
Алгебраическое выражение — Алгебраическим выражением относительно данного переменного, в отличие от трансцендентного, называют такое выражение, которое не содержит иных функций от данного количества, кроме сумм, произведений или степеней этого количества, причем слагаемыми … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ВЫРАЖЕНИЕ — ВЫРАЖЕНИЕ, выражения, ср. 1. Действие по гл. выразить выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности. 2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение,… … Толковый словарь Ушакова
Алгебраическое уравнение — уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений (См. Алгебраическое выражение). А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под… … Большая советская энциклопедия
ВЫРАЖЕНИЕ — первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия
Алгебраические выражения определение, виды, формулы, математические действия, смысл значений, примеры преобразований и упрощений
Запись, состоящую из совокупности буквенных и числовых величин или их отдельных значений, называют алгебраическим выражением. Вместе с ними могут использоваться и разделительные знаки, обозначающие арифметические действия. Обязательным условием при этом должен быть смысл значения, а не бессмысленный набор символов. Выражение является базовым понятием в математике, поэтому неважно, явная это запись или нет. Под ней всегда понимается численное значение.
Математические термины
Алгебра — это наука, изучающая действия над числовыми и буквенными величинами. Кроме того, она занимается решениями уравнений и связанными с ними действиями. Под буквенными величинами обычно понимают конкретные или переменные числовые значения. Входящие в состав записи буквы могут иметь различные числовые величины. Например, в формуле S * 4 + 12 символом S может быть заменена известная или неизвестная величина или даже целое выражение.
Математики под алгебраическим выражением понимают запись, составленную со смыслом, состоящую из букв и цифр, обозначающих числа. При этом она может содержать скобки и знаки арифметических действий. Исходя из этого простейшего определения можно утверждать, что формулы 2 * k — s, 4 * (y — 3/2), 0,89 * a — g * (9a + 4b), a 2 и (29p — 56) / log (a + c) являются примерами алгебраических выражений. Так как буквы в записях обозначают различные числа, то их считают переменными, а само уравнение — выражением с переменной.
Если же значение переменной известно и его можно подставить на место буквенного обозначения, то результат, полученный после выполнения указанных в уравнении действий, называется ответом алгебраического выражения. Но если число, подставляемое вместо буквы, приводит к бессмысленности записи, то оно считается недопустимым. Из этого можно сделать вывод, что одна и та же алгебраическая запись при различных величинах букв может иметь отличные значения.
На практике приходится сталкиваться с довольно сложными и громоздкими алгебраическими выражениями, поэтому над ними приходится выполнять ряд действий, правил, законов или использовать свойства для упрощения записи.
Кроме определений здесь применяется понятие «тождественность». Под ним понимают два выражения, для которых при любых значениях переменных, входящих в их состав, будет справедливо их равенство, например, 56* (x+с) = 56 * x + 56 * с.
Эти два выражения можно заменить друг другом или, выражаясь математическим языком, — «выполнить тождественное преобразование».
Виды выражений
В школе на уроках алгебры приходится сталкиваться с различными видами выражений. Обычно они состоят из нескольких членов. В математике существует группирование, объединяющее сходные элементы. Обучение понятиям начинают в седьмом классе с того, что приводят следующие определения:
Многочлен всегда подразумевает выполнение действий. При описании понятия используют и такие термины, как коэффициент, член, степень. Во время работы с одночленами применяют тождественное их приведение к стандартному виду.
В нём выражение представляют как произведение числового множителя и натуральной степени разных переменных, например, 2 * a, −x * 3.
Выражения в алгебре могут быть следующих видов:
Все указанные виды относят к простым, но с 7 класса алгебраические выражения будут усложняться. Сложный вид записи обычно состоит из многочлена, включающего в себя извлечение корня, логарифмы и возведение в степень, например, ln (x 2 — 1) * tg ((x + p) / cos x). И хоть среди них попадаются перечисленные типы, их относят к общему виду.
Вычисление сложных выражений подразумевает выполнение преобразований, которые позволят проще решить задание и найти правильный ответ.
Алгебраические действия
Решая задачу, приходится выполнять те или иные преобразования. Чаще всего сложность задания определяется громоздкостью и объёмом соответствующих преобразований, поэтому в школе на уроках элементарной математики часто попадаются задачи на упрощения.
Основу всех алгебраических действий составляют три закона. Это правила, касающиеся сложения и умножения: переставное, соединительное и распределительное. Но наряду с ними применяют и формулы сокращённого умножения.
На начальном этапе обучения рекомендуется даже записать данные правила отдельно на листик и пользоваться им, пока применение законов не дойдёт до автоматизма. Вот некоторые практические рекомендации, решаться с которыми примеры будут намного легче:
Не стоит забывать и о такой операции, как деление многочлена. Для этого используют метод столбика. Заключается он в размещении слагаемых многочлена в порядке убывания степени переменной и разделения первого слагаемого числителя многочлена на первое слагаемое знаменателя.
Затем результат умножают на делитель и отнимают ответ от делимого.
Применение преобразований
Алгебраические выражения, показывающие, что одна величина больше другой или равна ей, называют уравнениями и равенствами. При этом их используют для составления формул, то есть для записи, выражающей зависимость между двумя или несколькими переменными. Это удобно, так как преобразования позволяют привести формулу к простому для запоминания виду.
При решении примеров важно знать все существующие методы. Какой из них применять, конкретно указать нельзя, всё зависит от личных предпочтений и опыта решения подобных заданий. Например, пусть нужно упростить сложное выражение (a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b)) / (a 2 (b — c) + b 2 (c — a) + c 2 (a — b)).
Сначала можно попробовать разложить на множители делитель и делимое. Один из вариантов преобразования числителя следующий:
a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b) = a 3 b — b 3 c — a 3 c + b 3 c + c 3 (a — b) = ab (a 2 — b 2 ) = ab (a 2 — b 2 ) — c (a 3 — b 3 ) + c 3 (a — b) = (a — b) (ab (a + b) — c (a 2 + ab + b 2 ) + c 3 = (a — b) (a 2 b — a 2 c + ab 2 — abc + c 3 — cb 2 ) = (a — b) (a 2 (b — c) + ab (b — c) — c (b 2 — c 2 ) = (a — b) (b — c) (a 2 — c 2 + ab — cb) = (a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c).
По аналогии раскладывая знаменатель, можно прийти к результату: (a — b) (b — c) (a — c). В итоге получится равенство (a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b)) / (a 2 (b — c) + b 2 (c — a) + c 2 (a — b)) = ((a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c)) / ((a — b)(b — c)(a — c)) = a + b + c.
В числителе возможно выделить множитель (a — b) на том основании, что делимое равно нулю, когда a совпадает с b. Обычно в двух взаимно обратных операциях выполнение одной сложнее, чем другой. Это касается, в частности, выполнения умножения алгебраических выражений и разложения на множители или возведения в степень с извлечением корня. Например, легко увидеть, что (5 + 3 √2) 2 = 43 + 30 √2, но значительно труднее прочитать это равенство справа налево.
Следует помнить, что когда при решении задачи встречается выражение подкоренного вида √с + n * √k или √a + b√k, то необходимо попытаться добыть соответствующий корень. Если же это невозможно, то нужно воспользоваться подбором.
Если нужно упростить выражение √11 + 6 √ 2, то его можно представить как c + b √2. Следовательно, справедливо будет следующее равенство: 11 + 6 √2 = с 2 + 2b 2 + 2 cb √2. Поиск целых (рациональных) c и b приведёт к решению системы: a 2 + 2b 2 = 11, ab = 3.
При этом подобрать нужную пару целых легко: a = 3, b = 1, то есть можно записать равенство как √11 + 6√ 2 = 3 + √2.
Математические термины
Алгебра — это наука, изучающая действия над числовыми и буквенными величинами. Кроме того, она занимается решениями уравнений и связанными с ними действиями. Под буквенными величинами обычно понимают конкретные или переменные числовые значения. Входящие в состав записи буквы могут иметь различные числовые величины. Например, в формуле S * 4 + 12 символом S может быть заменена известная или неизвестная величина или даже целое выражение.
Математики под алгебраическим выражением понимают запись, составленную со смыслом, состоящую из букв и цифр, обозначающих числа. При этом она может содержать скобки и знаки арифметических действий. Исходя из этого простейшего определения можно утверждать, что формулы 2 * k — s, 4 * (y — 3/2), 0,89 * a — g * (9a + 4b), a 2 и (29p — 56) / log (a + c) являются примерами алгебраических выражений. Так как буквы в записях обозначают различные числа, то их считают переменными, а само уравнение — выражением с переменной.
Если же значение переменной известно и его можно подставить на место буквенного обозначения, то результат, полученный после выполнения указанных в уравнении действий, называется ответом алгебраического выражения. Но если число, подставляемое вместо буквы, приводит к бессмысленности записи, то оно считается недопустимым. Из этого можно сделать вывод, что одна и та же алгебраическая запись при различных величинах букв может иметь отличные значения.
На практике приходится сталкиваться с довольно сложными и громоздкими алгебраическими выражениями, поэтому над ними приходится выполнять ряд действий, правил, законов или использовать свойства для упрощения записи.
Кроме определений здесь применяется понятие «тождественность». Под ним понимают два выражения, для которых при любых значениях переменных, входящих в их состав, будет справедливо их равенство, например, 56* (x+с) = 56 * x + 56 * с.
Эти два выражения можно заменить друг другом или, выражаясь математическим языком, — «выполнить тождественное преобразование».
Виды выражений
В школе на уроках алгебры приходится сталкиваться с различными видами выражений. Обычно они состоят из нескольких членов. В математике существует группирование, объединяющее сходные элементы. Обучение понятиям начинают в седьмом классе с того, что приводят следующие определения:
Многочлен всегда подразумевает выполнение действий. При описании понятия используют и такие термины, как коэффициент, член, степень. Во время работы с одночленами применяют тождественное их приведение к стандартному виду.
В нём выражение представляют как произведение числового множителя и натуральной степени разных переменных, например, 2 * a, −x * 3.
Выражения в алгебре могут быть следующих видов:
Все указанные виды относят к простым, но с 7 класса алгебраические выражения будут усложняться. Сложный вид записи обычно состоит из многочлена, включающего в себя извлечение корня, логарифмы и возведение в степень, например, ln (x 2 — 1) * tg ((x + p) / cos x). И хоть среди них попадаются перечисленные типы, их относят к общему виду.
Вычисление сложных выражений подразумевает выполнение преобразований, которые позволят проще решить задание и найти правильный ответ.
Алгебраические действия
Решая задачу, приходится выполнять те или иные преобразования. Чаще всего сложность задания определяется громоздкостью и объёмом соответствующих преобразований, поэтому в школе на уроках элементарной математики часто попадаются задачи на упрощения.
Основу всех алгебраических действий составляют три закона. Это правила, касающиеся сложения и умножения: переставное, соединительное и распределительное. Но наряду с ними применяют и формулы сокращённого умножения.
На начальном этапе обучения рекомендуется даже записать данные правила отдельно на листик и пользоваться им, пока применение законов не дойдёт до автоматизма. Вот некоторые практические рекомендации, решаться с которыми примеры будут намного легче:
Не стоит забывать и о такой операции, как деление многочлена. Для этого используют метод столбика. Заключается он в размещении слагаемых многочлена в порядке убывания степени переменной и разделения первого слагаемого числителя многочлена на первое слагаемое знаменателя.
Затем результат умножают на делитель и отнимают ответ от делимого.
Применение преобразований
Алгебраические выражения, показывающие, что одна величина больше другой или равна ей, называют уравнениями и равенствами. При этом их используют для составления формул, то есть для записи, выражающей зависимость между двумя или несколькими переменными. Это удобно, так как преобразования позволяют привести формулу к простому для запоминания виду.
При решении примеров важно знать все существующие методы. Какой из них применять, конкретно указать нельзя, всё зависит от личных предпочтений и опыта решения подобных заданий. Например, пусть нужно упростить сложное выражение (a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b)) / (a 2 (b — c) + b 2 (c — a) + c 2 (a — b)).
Сначала можно попробовать разложить на множители делитель и делимое. Один из вариантов преобразования числителя следующий:
a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b) = a 3 b — b 3 c — a 3 c + b 3 c + c 3 (a — b) = ab (a 2 — b 2 ) = ab (a 2 — b 2 ) — c (a 3 — b 3 ) + c 3 (a — b) = (a — b) (ab (a + b) — c (a 2 + ab + b 2 ) + c 3 = (a — b) (a 2 b — a 2 c + ab 2 — abc + c 3 — cb 2 ) = (a — b) (a 2 (b — c) + ab (b — c) — c (b 2 — c 2 ) = (a — b) (b — c) (a 2 — c 2 + ab — cb) = (a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c).
По аналогии раскладывая знаменатель, можно прийти к результату: (a — b) (b — c) (a — c). В итоге получится равенство (a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b)) / (a 2 (b — c) + b 2 (c — a) + c 2 (a — b)) = ((a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c)) / ((a — b)(b — c)(a — c)) = a + b + c.
В числителе возможно выделить множитель (a — b) на том основании, что делимое равно нулю, когда a совпадает с b. Обычно в двух взаимно обратных операциях выполнение одной сложнее, чем другой. Это касается, в частности, выполнения умножения алгебраических выражений и разложения на множители или возведения в степень с извлечением корня. Например, легко увидеть, что (5 + 3 √2) 2 = 43 + 30 √2, но значительно труднее прочитать это равенство справа налево.
Следует помнить, что когда при решении задачи встречается выражение подкоренного вида √с + n * √k или √a + b√k, то необходимо попытаться добыть соответствующий корень. Если же это невозможно, то нужно воспользоваться подбором.
Если нужно упростить выражение √11 + 6 √ 2, то его можно представить как c + b √2. Следовательно, справедливо будет следующее равенство: 11 + 6 √2 = с 2 + 2b 2 + 2 cb √2. Поиск целых (рациональных) c и b приведёт к решению системы: a 2 + 2b 2 = 11, ab = 3.
При этом подобрать нужную пару целых легко: a = 3, b = 1, то есть можно записать равенство как √11 + 6√ 2 = 3 + √2.
Алгебраическое выражение
Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую степень (причём показатели корня и степени должны обязательно быть целыми числами) и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида). Количество величин, входящих в алгебраическое выражение должно быть конечным. [1]
Пример алгебраического выражения:
«Алгебраическое выражение» — понятие синтаксическое, то есть нечто является алгебраическим выражением тогда и только тогда, когда подчиняется некоторым грамматическим правилам (см. Формальная грамматика). Если же буквы в алгебраическом выражении считать переменными, то алгебраическое выражение обретает смысл алгебраической функции.
Понятие алгебраического выражения можно дать и несколько иначе — это комбинация чисел, операторов, группировочных символов (скобок)) и/или свободных и связанных переменных, значение которых известно или может быть определено.
Примечания
Литература
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Алгебраическое выражение» в других словарях:
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Большой Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN algebraic expression … Справочник технического переводчика
алгебраическое выражение — выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение,… … Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение — algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expression vok. algebraischer Ausdruck, m rus. алгебраическое выражение, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Алгебраическое выражение — выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется… … Большая советская энциклопедия
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебр. действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Естествознание. Энциклопедический словарь
Алгебраическое выражение — Алгебраическим выражением относительно данного переменного, в отличие от трансцендентного, называют такое выражение, которое не содержит иных функций от данного количества, кроме сумм, произведений или степеней этого количества, причем слагаемыми … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ВЫРАЖЕНИЕ — ВЫРАЖЕНИЕ, выражения, ср. 1. Действие по гл. выразить выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности. 2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение,… … Толковый словарь Ушакова
Алгебраическое уравнение — уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений (См. Алгебраическое выражение). А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под… … Большая советская энциклопедия
ВЫРАЖЕНИЕ — первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия
Алгебраические выражения
Алгебраическое выражение — это запись, составленная со смыслом, в которой числа могут быть обозначены и буквами, и цифрами. Также она может содержать знаки арифметических действий и скобки.
Любую букву, обозначающую число, и любое число, изображённое с помощью цифр, принято считать в алгебре также алгебраическим выражением.
Алгебраические выражения, входящие в состав формул, могут применяться к решению частных арифметических задач, если в них заменить буквы данными числами и произвести указанные действия. Число, которое получится, если взять вместо букв какие-либо числа и произвести над ними указанные действия, называется численной величиной алгебраического выражения. Из этого легко сделать вывод, что одно и то же алгебраическое выражение при различных значениях входящих в него букв может иметь различные числовые величины.
при a = 2, m = 5, b = 1, n = 4 вычисляется:
а при a = 3, m = 4, b = 5, n = 1 вычисляется:
3 · 4 + 5 · 1 = 17 и т. д.
при a = 1, b = 2, c = 3 равно:
а при a = 2, b = 3, c = 4 равно:
Коэффициент
Коэффициент — это числовой множитель алгебраического выражения, представляющего собой произведение нескольких сомножителей. Коэффициент в выражении ставится перед всеми остальными буквенными множителями. Таким образом,
произведение чисел a, b, c, d, 4 записывается так: 4abcd;
произведение чисел m, n, 
, p записывается так: 
.
Числа 4 и — это коэффициенты. Очевидно, что
.
Итак, коэффициент показывает, сколько раз целое алгебраическое выражение или известная его часть берется слагаемым.
Если в алгебраическом выражении нет числового множителя, то подразумевается, что коэффициент равен единице, так как
Виды выражений
Алгебраическое выражение, в которое не входят буквенные делители, называется целым, в противном случае дробным или алгебраической дробью.
Целые алгебраические выражения:
Дробные алгебраические выражения:
Выражения, не содержащие корней, называются рациональными, а содержащие корни — иррациональными или радикальными. Например, все выражения, приведённые выше, являющиеся целыми или дробными, так же можно назвать и рациональными.