Что на комплексном чертеже является характерным признаком скрещивающихся прямых
Научная электронная библиотека
Пиралова О. Ф., Ведякин Ф. Ф.,
3.4. Взаимное положение прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.
1. Пересекающиеся прямые
Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.
Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).
.
Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые
2. Параллельные прямые
На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).
Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.
На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).
.
Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых
.
Глава 7. Изображение линий на чертежах
§ 41. Взаимное расположение двух прямых
Две прямые пространства могут иметь различное расположение (рис. 74). Они могут совпадать а ≡ b, быть параллельными с ׀׀ d, пересекаться m ∩ n и скрещиваться (k°/l).
Если две прямые параллельны, то на комплексном чертеже (рис. 75, а) их одноименные проекции параллельны.
Если две прямые пересекаются в некоторой точке М, то проекции этой точки должны принадлежать одноименным проекциям прямых, т. е. точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых должны лежать на одной линии связи (рис. 75, б):
Если две прямые скрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи (рис. 75, в):
В другом случае одна пара проекций будет пересекаться, а вторая может быть параллельными прямыми (рис. 75, г):
Следует обратить внимание на особые случаи определения взаимного расположения двух прямых в пространстве. Если одна из них (рис. 76, а) или обе (рис. 76, 6) окажутся профильными прямыми, то для определения взаимного расположения их необходимо построить третью, профильную проекцию этих прямых.
Если рассматривать рис. 76, а, можно ошибочно сделать предположение, что прямые АВ и CD пересекаются. Однако если построить профильные проекции этих прямых, станет видно, что они скрещиваются, так как точки 1 и 2 не совпадают, а являются фронтально конкурирующими точками.
Рассматривая рис. 76, б,можно ошибочно предположить, что прямые АВ и CD параллельны. Но после построения их профильных проекций увидим, что они скрещиваются, так как на этой плоскости проекции их пересекаются.
Прямые а и b горизонтально конкурирующие, имеют общую горизонтально проецирующую плоскость (рис. 77, б).
© Красноярский государственный аграрный университет
© Управление информационных технологий
© Кафедра Технологии машиностроения
Чертежи точки, отрезка прямой в начертательной геометрии с примерами
Содержание:
Чертежи точки, отрезка прямой:
Эпюр Монжа, построенный по схеме рассмотренной выше, позволяет однозначно судить как о форме и положении объектов в пространстве, так и о расположении их по отношению к плоскостям проекции.
Комплексные чертежи точки
Чертеж точек, лежащих в плоскостях проекций, представлен на рисунке 2.2. Точка 
лежит в горизонтальной плоскости проекции 
а вторая точка 
— во фронтальной плоскости проекции 
Отличием этого чертежа от предыдущего является то, что одна из проекций этих точек оказывается на оси чертежа Ох.
Точки, лежащие на координатных осях, изображены на рисунке 2.3. Точка 
лежит на оси Ох, точка 
— на оси Оу, а точка 
-на оси Oz. Для чертежей этих точек характерно следующее.
У точки С, лежащей на оси Оу, фронтальная проекция совпадает с точкой начала координат 
Аналогичная ситуация и с точкой В, лежащей на оси Oz, ее горизонтальная проекция совпадает с точкой начала координат 
Комплексные чертежи прямых
Будем прямую на чертеже задавать ее симплексом (отрезком). Для этого достаточно на чертеже задать две произвольные точки (в случае их совпадения длина отрезка будет нулевой). Чертеж отрезка прямой АВ приведен на рисунке 2.4. 
Все прямые могут быть классифицированы в зависимости от их расположения по отношению к плоскостям проекций.
Прямая, не параллельная ни одной плоскости проекции, получила название прямой общего положения. Чертеж такой прямой приведен выше на рисунке 2.4.
Характерной особенностью чертежа такой прямой является непараллельность ее проекций ни одной из координатных осей.
Прямые, параллельные плоскостям проекций, получили название линий уровня.
Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной линией уровня.
Фронтальная проекция 
такой прямой параллельна оси чертежа, а горизонтальная проекция 
проецируется в отрезок, равный по длине самому отрезку АВ (рисунок 2.5).
Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной линией уровня.
Горизонтальная проекция 
такой прямой параллельна оси чертежа, а фронтальная проекция 
проецируется в отрезок, равный по длине отрезку АВ (рисунок 2.6).
Характерным для чертежей линий уровня является то, что одна из их проекций параллельна оси чертежа.
Линии, перпендикулярные плоскостям проекций, получили название проецирующих прямых.
На чертеже прямой (рисунок 2.7) горизонтальная проекция 
вырождается в точку, а фронтальная 
перпендикулярна оси чертежа (совпадает по направлению с линиями связи).
Следы прямой
Очевидно, что прямая и плоскость пересекаются в точке. Точки пересечения прямой с плоскостями проекции получили название следов прямой. Точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций 
называется фронтальным следом, а с горизонтальной плоскостью проекций 
— горизонтальным следом.
Следы прямой, заданной на чертеже отрезком AВ, можно найти исходя из определения данного выше.
При определении положения фронтального следа N прямой необходимо продлить горизонтальную проекцию 
до пересечения с осью чертежа (рисунок 2.9). Эта точка пересечения 
может быть принята за горизонтальную проекцию искомого следа. Фронтальная проекция 
следа найдется по соответствию на фронтальной проекции прямой 
(см. рисунок 2.9). Очевидно, что точка N лежит на прямой АВ (ее проекции лежат на соответствующих проекциях этой прямой).
Вместе с этим у нее координата Y равна нулю (горизонтальная проекция 
лежит на оси чертежа). Следовательно, можно утверждать, что точка N- это фронтальный след прямой.
Аналогично может быть построен и горизонтальный след М. Для этого
следует продлить фронтальную проекцию отрезка А 
до пересечения с осью чертежа и принять точку пересечения за фронтальную проекцию искомого следа 
Горизонтальная проекция следа 
найдется по соответствию на горизонтальной проекции прямой 
Взаимное расположение прямых
Прямые могут быть классифицированы и по такому признаку, как взаимное расположение в пространстве
Рассмотрим вариант пересекающихся прямых, лежащих в произвольной плоскости. По определению две прямые пересекаются, если имеют одну общую точку.
На рисунке 2.10 изображен чертеж пересекающихся прямых АВ и CD. Точка пересечения К одновременно принадлежит двум этим прямым.
Частным случаем пересечения прямых являются параллельность. Параллельные прямые пересекаются в несобственной точке.
Характерной особенностью чертежа параллельных прямых является параллельность одноименных проекций. В соответствие с рисунком 2.11
Прямые в пространстве, не имеющие общих точек, называются скрещивающимися (рисунок 2.12).
Точки пересечения их горизонтальных 
и фронтальных 
являются совпадающими проекциями различных точек. Такие точки, принадлежащие разным прямым, называют конкурирующими.
Конкурирующие точки используются для анализа видимости и глубины сцены в системах машинной графики. 
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Что на комплексном чертеже является характерным признаком скрещивающихся прямых
Прямые линии в пространстве могут быть параллельными , пересекающимися и скрещивающимися . Рассмотрим подробнее каждый случай.
1. Параллельные прямые линии.
Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Рисунок 33. Параллельные прямые
Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 3 4 ). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П 3 пересекаются, следовательно, они не параллельны.
Решение этого вопроса можно получить сравнением двух соотношений если:
Рисунок 34. Прямые параллельные профильной плоскости проекций
2. Пересекающиеся прямые.
Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.
Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рис. 3 5 ).
Рисунок 35. Пересекающиеся прямые
В общем случае справедливо и обратное утверждение, но есть два частных случая:
1. Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, например, профильной (рис.3 6 ), то по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СД пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, однако сами отрезки не пересекаются, потому что точка пересечения профильных проекций этих отрезков не лежит на одной линии связи с точками пересечения их горизонтальной и фронтальной проекций.
2. Пересекающие прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 3 7 ).
О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной горизонтальной проекции ( А 1В1 ∩ С 1D1 Þ АВ ∩ СD ).
3. Скрещивающиеся прямые
Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.
Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.
Определение по чертежу взаимного положения прямых линий
Такое определение связано с решением позиционных и метрических задач.
Прямые линии в пространстве могут занимать одно из следующих трёх возможных взаимных положений:
1. Прямые параллельны.
2. Прямые пересекаются.
2.1. Прямые пересекаются под прямым углом.
3. Прямые скрещиваются.
3.1. Прямые скрещиваются под прямым углом.
1. Определение по чертежу параллельных прямых линий
 |
b 
||a
a
B
B 
a
b ||a
2. Определение по чертежу пересекающихся прямых линий(позиционные задачи)
Признак пересекающихся прямых на чертеже (рис.3.15): точки пересечения одноимённых проекций пересекающихся прямых лежат на одной линии связи, являясь проекциями точки пересечения этих прямых.
M
a b
 |
a M b
2.1. Определение по чертежу перпендикуляно пересекающихся прямых (комплексные задачи)
Определение таких прямых базируется на признаке пересекающихся прямых (позиционная задача) и на свойстве проецирования прямого угла (ОМЗ-2): прямой угол проецируется на плоскость без искажения только в том случае, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости.
Признакперпендикулярно пересекающихся прямых (рис. 3.16):
если одна из перпендикулярно пересекающихся прямых является прямой уровня, то на плоскости проекций, которой она параллельна, прямой угол изображается без искажения.
b
A h
 |
A
 |
b
h
3. Определение по чертежу скрещивающихся прямых (позиционные задачи)
Признак скрещивающихся прямых на чертеже (рис. 3.17):
точки пересечения одноимённых проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи, а являются слиянием двух проекций конкурирующих точек этих прямых.
B = (A ) C
 |
a D
a A 
b
b
B C =(D )
4. Определение по чертежу перпендикулярно скрещивающихся прямых (комплексные задачи).
a
h
 |
h a
 |
Примеры решения задач о взаимном положении прямых
A C A C A 
C
 |
 |
B D B D D B
 |  |
A D A D
B C B C
Решение задачи (рис. 3.19б)
Так как заданные отрезки принадлежат профильным прямым, то построим профильные проекции этих отрезков, которые показывают, что заданные прямые линии скрещиваются.
a f a
N
M M
 |
 |
M f N M
a a
Решение задачи (рис. 3.20б)
1. M 
f 
л.с., f 
a = N ;
2. N a , f = N M .
h N M
a M a 
 |
 |
 |
 |
a a h
M
 |
N
Решение задачи (рис. 3.21б)
2. N a , MN = h a 
M N a .
Задача 4 (рис. 3.22а). Заданы профильно конкурирующие точки Аи В, через которые проходят взаимно перпендикулярные прямые aиh. Построить недостающие проекции этих прямых.
a a
A B A h B
 |
 |
h 
a
 |
h
A B A B
Решение задачи (рис. 3.22б).
1. В h л.с.
2. a h А а h
Вопросы для самоконтроля
1. Какие прямые линии относят к прямым частного положения?
2. Какие проекции прямых уровня называют определяющими проекциями?
3. Какие проекции проецирующих прямых называют главными проекциями?
4. На какой плоскости проекций прямая уровня изображается в истинную величину?
5. На каких плоскостях проекций углы наклона к ним прямых уровня изображаются без искажения?
6. Назвать метод определения длины отрезка прямой общего положения и углов его наклона к плоскостям проекций? Объяснить дополнительные построения, связанные с этим методом?
7. Назвать признак параллельных прямых на чертеже.
8. Назвать признак пересекающихся прямых на чертеже.
9. Назвать признак перпендикулярно пересекающихся прямых на чертеже.
10. Назвать признак скрещивающихся прямых на чертеже.
11. Назвать признак перпендикулярно скрещивающихся прямых на чертеже.
Кривые линии на чертеже
Кривая линия, как и прямая, это простейшая геометрическая фигура (элемент моделирования), которую можно представить, как траекторию непрерывного движения точки по определённому закону. Построение кривых линий на чертеже производят с помощью достаточно большого числа её точек.
D
A
 |
B C
D
A
C
B
2-й вариант. Хорды не пересекаются, а скрещиваются. Это значит, что заданная кривая пространственная.
В нашем примере кривая – пространственная.
Среди пространственных кривых широко известна в машиностроении цилиндрическая винтовая линия (рис. 4.2). Она моделируется траекторией непрерывного сложного движения образующей точки: вращательного(при постоянном радиусе и скорости) и поступательного параллельно оси вращения (тоже с постоянной скоростью). Расстояние, на которое переместится образующая точка вдоль оси вращения за один оборот, называют ходом винтовой линии.
B
 |
Ход
 |
 |
1
A
 |
 |
B = (A )
 |
1
Примером плоских кривых линий являются: окружность, эллипс,парабола, гипербола. Эти кривые описываются уравнениями второго порядка и поэтому их называют кривые второго порядка.
Плоские кривые (рис. 4.3), составленные из нескольких сопрягаемых дуг кривых линий различных уравнений называют обводами (обводы корпуса корабля, яхты, лодки).
 |
Рис. 4.3. Обводы судна
Если плоские кривые линии составлены из сопряжённых дуг окружностей различных радиусов, то их называют коробовыми.
Решим задачу (рис. 4.4): через заданные точки A, B, C, D провести коробовую линию.
A C D
Рис. 4.4. Коробовая линия
Замкнутые коробовые кривые линии, имеющие не более двух точек пересечения с произвольной прямой, называются овалами(рис. 4.5).
 |
O 
O 